Sujets Bac de Mathématiques de niveau Terminale

Kdouh

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Avec correction. Sujet et correction bac-stl-ph-2010
Sujets Bac en Mathématiques (2010) pour Terminale STL

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Extrait

BAC STL PH SESSION 2010 Exercice1s:p4ntoi  Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal (O;u,v) .  L’unité graphique est égale à 1 cm. 2 1. Résoudre dans l’ensemble C des nombres complexes l’équation : z%4z#16 = 0. 2. On considère les points du plan A et B d’affixe respectives : 1 % # z A 2 2i3 et z B 12 2i3 .  Déterminer le module et un argument de chacun de ces nombres. 1 % % 3.Soit le point C d’affixe z C 22 3 i a. Démontrer que A, B et C appartiennent `a un même cercle C dont on déterminera le centre  et le rayon. b. Construire le cercle C et les points A, B et C.(On laissera apparaître les traits de construction). 14 4. Soit le point D d’affixe z D i .Montrer que point D a pour image le point C par la rotation de centre O 2p  et d’angle 3 5. Montrer que le point E , image du point A par la translation de vecteur OB , appartient  Au cercle C . Placer le point E sur le graphique. Exercice 2.5 points Dans cet exercice toutes les probabilités sont données sous forme de fraction. Une urne contient des boules de couleur numérotées . ●Une boule blanche numérotée1 , que l’on note B 1 ; R R ● Deux boules rouges numérotées 2 et 3 , que l’on note 2 et 3 ; V V V ● trois boules vertes numérotées 1 ; 2 et 3 , que l’on note 1 , 2 et 3 .  Les boules sont indiscernables au toucher. 1. On extrait une boule de l’urne , puis une deuxième, sans avoir remis dans l’urne.  On appelle résultat un couple dont le premier élément est la boule obtenue au premier tirage , et le second  celle obtenue au second tirage. ( 2 V 3 ! st  Par exemple R un résultat ; il signifie que la première boule est rouge numérotée 2 ; e  et que la deuxième boule est verte numérotée 3.  Pour répondre aux questions posées on peut s’aider d’un arbre ou d’un tableau. a. Déterminer le nombre de résultats possibles. b. On admet que tous les tirages sont équiprobables. Calculer la probabilité de chacun des événements Suivants :  A : « Les deux boules sont de la même couleur. »  B : « le produit des numéros inscrits sur les boules est 6. »  C : « Il y a au moins une boule blanche . » 2. Un jeu consiste à tirer 2 boules de l’urne , selon la méthode décrite dans la question 1.  On note X la variable aléatoire qui associe , à chaque résultat, produit des numéros inscrits sur les deux  boules . ( B;V !  Exemple : on associe au tirage 1 2 le nombre 2 car 1 ´21 2 . a. Donner toutes les valeurs que peut prendre la variable aléatoire X . 1 b. Montrer que la probabilité que la variable aléatoire X prenne la valeur 9 est égale à 15 c. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X sous forme de tableau. d. Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire X .

Problème 11 points Partie A 2 g  Soit la fonction définie sur l’intervalle ]0;#¥[ par g(x)1x#3%2 ln ( x ! et dont la représentation g  graphique est donnée ci-après. Soit g' la fonction dérivée de la fonction 1. A l’aide du tableau de signes de la fonction g' ]0; sur l’intervalle #¥[ , indiquer les variations de la g #¥  La fonction sur l’intervalle ]0; [ . x 0 1 #¥ g'(x + ) 0

3.Calculer g en déduire le signe de (1) puis g(xl’intervalle ]0;) sur #¥[ . Partie B 1 1 ln(x)  Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0;#¥[ , par f(x)1x#1% # 2 2x x  On note C la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d’un repère orthonormal ( !  (O;i,j ) . 1. a . Etudier la limite de f en 0 .Interpréter graphiquement le résultat .  b. Etudier la limite de f en #¥ x 2. a. Montrer que pour tout nombre réel de l’intervalle ]0;#¥[ la fonction dérivée de f' g(x)  de la fonction f définie par : f'(x)1 2 2x En déduire le signe de f'(x) pour x if.  tout nombre strictement posit  b. Dresser le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle ]0;#¥[ . a 3. a. Montrer que l’équation f(x)10 admet sur l’intervalle ]0;#¥ .solution unique notée [ . Une a  b. Donner , en justifiant un encadrement d’amplitude 0,01 du nombre réel . 4. Déterminer une équation de la droite T tangente à la courbe C au point d’abscisse 1. ( ! 1 5. Soit D la droite d’équation y1x#1 . 2  a. Montrer que la droite D est asymptote oblique à la courbe C en #¥ . ( ! 1/ 2  b. Démontrer que la droite D coupe la courbe C en un point B d’abscisse e . ( ! ( ! ¥  c. Etudier les positions relatives de la courbe C et de la droite D sur l’intervalle ]0;#[ . 6. Tracer dans le repère (O;i,j unité graphique 2 cm, les droites T etprenant comme ) en D , ainsi  la courbe C . ( ! Partie C  1. Hachurer sur le graphique la partie E du plan délimitée parla courbe C , l’axe des abscisses ( ! 1/ 2 x e  et les droites d’équations respectives x1e et . 1 2  2. a. Montrer que la fonction H définie par H(x)1 ( lnx ! est une primitive de la fonction h définie sur 2 lnx  l’intervalle ]0;#¥[ par h(x)1 . x #¥  b. En déduire une primitive F de la fonction f sur l’intervalle ]0; [ .  c. Montrer que la valeur exacte de l’aire A de la partie du plan hachurée E est, en unité d’aire, 2 1/ 2 2e#6e%8e#1 A1 . 8 %2  En déduire une valeur arrondie à 10 de l’aire A.

CORRECTION Exercice 1 : (4 points) 2 2 2 1. z % 4z # 16 1 0 . D 1 b % 4ac 1 ( % 4 ! % 4 1 ´ 1 ´ 6 1 1 6 6 % 4 1 48 % ; D 1i4814i  Donc l’équation admet deux racines complexes conjuguées : 4 % 4i3 4 # 4i3 z 1 1 2 % 2i3  et z 1 z 1 1 2 # 2i3 1 2 1 2 2 2 2 z 2. Module et un argument de A : z 1 2 % 2i3 : z 1 2 # % 2 3 1 4 # 12 1 A ( ! A

3

16 1 4

1 1 14 z 1 z 1 2 # 2i3 et z B z A z A B A æ ö 1 3p p æ æ ö æ öö %ip/ 3 z12%2i314%i14 cos%isin14e A ç ç ¸ ç ¸¸ ç ¸ 2 2 3 3 è è ø è ø ø è ø p arg 2  Donc q A 1 z A 1 % # k p  avec k Î Z 3  Module et un argument de z B :z 1 2 # 2i3 B p q%1 1 g 1 # 2k p  On remarque que z 1 z , donc z B 1z1z14 et B argz A arz A A A B A 3 2 2 3.a. Soit le point C d’affixe 2 C z ( # % 1 # z 1 % 3 % 2i . C 1 % 2 3 ! ( 2 ! 12 4 1 16 1 4 4 1z 1 OB z 1 OC  Donc z A 1 z B 1 z C 1 .Or z OA , B et C A  Donc OA = OB = OC = 4 et par conséquent les points A, B, C appartiennent au cercle C de  centre O et de rayon 4.

b.Pour la construction de A et B :  On construit le cercle C de centre O et de rayon 4.On construit la droite verticale d’équation x 1 2 .  Les points A et B ayant pour abscisses 2, appartiennent donc à cette droite et également au cercle C.  Les points A et B seront donc les points d’intersection entre cette droite et le cercle.  Le point A sera celui d’ordonnée négative et B celui d’ordonnée positive.  Pour construire le point C : On construit la droite horizontale d’équation y 1 % 2 .  Le point C ayant pour ordonnée – 2, appartient donc à cette droite et également au cercle C.  Le point C sera donc le point d’intersection d’abscisse négative entre cette droite et le cercle.

z1i 4.Soit le point D d’affixe D 4 . 2 p  Soit D’ l’image de D par la rotation de centre O et d’angle . 3 æ ö 2ip/ 3 1 3 2  Donc L’a i ie i 3 2 3 2 ffixe z D 1 z D ´ 1 4 1 %% # 2 % 2i %1 % i C z 1 ' ç ¸ 2 2 è ø  Donc D’ et C sont confondus, donc le point D a pour image le point C par la rotation de 2 p  centre O et d’angle. 3 5.Le point E est l’image du point A par la translation de vecteur OB donc AE 1 OB .  L’affixe du vecteur OB est : z 1 2 # 2i3 est :. L’affixe du vecteur B AE z 1 z 1 OE 1 4 z % z 1 z Þ z 1 z # z 1 2 % 2i3 # 2 # 2i3 1 4donc E 4 et E E A B E A B  Et par conséquent le point E appartient au cercle C.

Exercice 2 : (5 points)

1. Tableau traduisant la situation :

1ère boule

B 1

R 2

R 3

V 1

V 2

V 3

2ième boule B B R B V B V B V 1 ( 1 ; 2 ) ( 1 ; R ) ( B 1 ; 1 ) ( 1 ; 2 ) ( 1 ; 3 ) 2 B R R R V R V R V R ( R ; 1 ) ( 2 ; 3 ) ( 2 ; 1 ) ( 2 ; 2 ) ( 2 ; 3 ) 2 2 R B RR V R R V R V 3 (R3 ; 1 ) ( 3 ; 2 ) ( 3 ; 1 ) ( 3 ; 2 ) ( 3 ; 3 ) V V B R V V R V V V V 1 ( 1 ; 1 ) ( 1 ; 2 ) ( 3 ; 1 ) ( 1 ; 2 ) ( 1 ; 3 ) V V B V R V R V V V V 2 ( 2 ; 1 ) ( 2 ; 2 ) ( 2 ; 3 ) ( 2 ; 1 ) ( 2 ; 3 ) V V B V R V R V V V V 3 ( 3 ; 1 ) ( 3 ; 2 ) ( 3 ; 3 ) ( 3 ; 1 ) ( 3 ; 2 )  a. Le nombre de résultats possibles est 6 ´ 5 1 30  b. A : « Les deux boules sont de la même couleur. ». L’événement A correspond à : R R R R V V V V V V V V V V V  A={( 2 ; 3 )/ ( 3 ; 2 )/ ( 1 ; 2 ) / ( 1 ; 3 )/ ( 2 ; 1 )/ ( 2 ; 3 )/ ( 3 ; 1 )/ ( 3 ; V 2 )} 8 4  Donc p(A) 1 1 30 15  B : « Le produit des numéros inscrits sur les boules est 6. » R R R R R V R V V V V V  L’événement B correspond à : B={( 2 ; 3 )/ ( 3 ; 2 )/ ( 2 ; 3 () / 3 ; 2 )/ ( 2 ; 3 ) / ( 3 ; 2 )}. 6 1  Donc p(B) 1 1 1 0, 2 30 5  C : « Il y a au moins une boule blanche. » . L’événement C correspond à : B R B R B V B V B V R B R B V B V  C ={ ( 1 ; 2 )/ ( 1 ; 2 )/ ( 1 ; 1 ) / ( 1 ; 2 )/ ( 1 ; 3 )/ ( 2 ; 1 )/ ( 3 ; 1 )/ ( 1 ; 1 )/ ( 2 ; B 1 )/ 10 1 V B p(C)1 1  ( 3 ; 1 ) }. Donc 30 3 1 { } 2. a. Les valeurs que peut prendre la variable aléatoire X sont : X1; 2;3; 4; 6;9 . 2 1 ( X 1 9 ! R V V R  b. correspond au cas : ( 3 ; 3 ) et ( 3 ; 3 ). Donc p ( X 1 9 ! 1 1 . 30 15 2 1 ( ! B V V B p X 1 1 1 1 c. X 1 1 correspond au cas : ( 1 ; 1 )/ ( 1 ; 1 ) , donc ( ! 30 15 ( X 1 2 ! B R R VB B V R R V V BV V  correspond au cas : ( 1 ; 2 )/ ( 2 ; 1 )/ ( 1 ; 2 ) / ( 2 ; 1 )/ ( 1 ; 2 ) / ( 1 ; 2 ) /( 2 ; 1 ) / 8 4 ; 2 . p X 11 1  ( V 1 V ) ( 2 ! 30 15 ( X 1 3 ! B V V B B VR V V V V V B  correspond au cas : ( 1 ; 3 ) / ( 3 ; 1 )/ (R3 ; 1 ) / ( 3 ; 1 ) / ( 1 ; 3 ) / ( 1 ; 3 )/( 3 ; 1 )/ 8 4 V  ( 3 ; V 1 ) . p ( X 1 3 ! 1 1 30 15 2 1 1 ! V R R V ( ! ( X4 correspond au cas : ( 2 ; 2 ) / ( 2 ; 2 ). p X 1 4 1 1 30 15  c R R V R V R R V R V R V V ( X 1 6 ! orrespond au cas : ( R 2 ; 3 )/ ( 3 ; 2 )/( 2 ; 3 ) /( 3 ; 2 ) / ( 3 ; 2 )/ ( 2 ; 3 ) /( 2 ; 3 ) / 8 4 V V 11 1  ( 3 ; 2 ). p ( X6 ! 30 15 2 1 ( X 1 9 ! R V V ( 9 !  correspond au cas : ( 3 ; 3 ) et ( 3 ; R 3 ). p X 1 1 1 30 15  Loi de probabilité de la variable aléatoire X : X 1 x 1 2 3 4 6 9 i 1 4 4 1 4 1 P ( X 1 x ! i 15 15 15 15 15 15 d. Espérance mathématique de la variable aléatoire X :

1 4 4 1 4 1 58 E X 1 1 ´ # 2 ´ # 3 ´ # 4 ´ # 6 ´ # 9 ´ 1 » 3,87 . ( ! 15 15 15 15 15 15 15 PROBLÈME : (11 POINTS) Partie A . 2 2 2 2x%x% ( x#1 ! ( x%1 ! 2 2 1 1. g(x)1x#3%2 ln ( x ! . g'(x)12x% 1 1212 x x x x ( x#1 ! ( x%1 ! ( x#1 ! 2. sur l’intervalle I g'(x)10Û2Ûx%110Ûx1 puisque 21 , 2 l’intervalle I.0 sur x x x 0 1 #¥ g'(x) 0 +

g(x)  4 ( 1 # 2# 1 % 1 g1 ! 1 3 2 ln1 1 3 4 0 .Donc la fonction g admet un minimum strictement positif égal à x  4 atteint en x1 strictement positif, par conséquent 1 , on en déduit alors que pour tout nombre réel g(x) est strictement positif Partie B 1 1 ln(x) æ ln(1 1 x) ö æ 1 æö % 1 # 2 lnx 1 # # # 1 # # 1.a. f(x)1x#1# # . limf(x) lim ç x1 ¸ lim ç x1 ¸ lim ç . 2 2x x è 2 2x x ø è 2 ø è 2x x | 0 | x0 | x0 | x0 æ 1 ö æ 2 ln(x) % 1 ö æ 1 ö limf(x)1 %¥ limx#111 lim 1 lim ( 2 ln(x) % 1 ! ´ lim 1 ( %¥ ! ´ ( #¥ ! 1 % ç ¸ ; ç ¸ç ¸ , donc . x|0 è 2 ø è x ø è x ø x|0 x | 0 | x0 | x0 ( C !  En déduit que la droite d’équation x 1 0 au voisinage de 0.est asymptote à la courbe æ 1 1 ln(x) ö æ 1 ö æ 1 ö l æ n(x) 1.b. limf(x)1limx#1# # 1limx#1%lim#lim . ç ¸ ç ¸ ç ¸ ç ¸ x|#¥ |#x è 2 2x x ø x è 2 ø x è 2x ø x è x ø ¥ |#¥ |#¥ |#¥ æ 1 ö æ 1 ö æ ln(x) ö limf(x)1 #¥  limx#11 #¥; lim10 et lim10 (voir formulaire) , donc ç ¸ ç ¸ ç ¸ x|#¥ x|#¥x|#¥x|#¥ è 2 ø è x ø è x ø 2 1 ( 1/x ! ´x%1´ ( lnx%1 ! 1 1%ln x x#4 2%ln ( x ! g(x) 2.a&b. f'(x)1 # 1 11 # 2 2 2 2 2 x 2 x2x2x x  1 #¥ 0 f'(x) + #¥ f(x) 1

3. a. Sur ]0; #¥ [ , la fonctionfest dérivable et strictement croissante sur R . limf(x) 1 #¥ limf(x) 1 %¥  et .Or 0 Î R , donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires x |#¥ x | 0 a  l’équation f(x) 1 0 admet sur l’intervalle ]0; #¥ [ une solution unique notée .  b. A l’aide de la calculatrice : f(0, 67) » % 0, 01 0 0 et f(0, 68) » 0, 04 2 0  Donc f(0, 67) 0 0 0 f(0, 68)  et f(0, 67) 0 f( a ) 0 f(0, 68)  Donc 0, 67 0a0 0, 68 carfest strictement croissante sur ]0; #¥ [ a réelest : 0, 67 0a0 0, 68  Un encadrement d’amplitude 0,01 du nombre . % # 4. Equation de la droite T tangente à la courbe C au point d’abscisse 1 : y 1 f'(1)(x1)f(1) 1 # 3 % 2 ln1 f'(x) 1 1 2  et f(1) 1 1 , donc on a : y 1 2(x % 1) # 1 1 2x % 1 2