Sujets Bac de Mathématiques de niveau Terminale STI

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Bac polynésie 2011 t-stl
Sujets Bac en Mathématiques (2011) pour Terminale STI Génie Mécanique, Terminale STI Génie Energétique, Terminale STI Génie Civil

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Extrait

B A C C A L A U R É A TT E C H N O L O G I Q U E SESSION 2011 MATHÉMATIQUES SCIENCES ET TECHNOLOGIES INDUSTRIELLES

Génie Mécanique  OptionA: Productique Mécanique  OptionF: Microtechniques Génie Énergétique Génie Civil Durée de l'épreuve : 4 heures- Coefficient: 4 Ce sujet comporte 5 pages. L'usage des calculatrices est autorisé selon les termes de la circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999. Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que le sujet. Une feuille de papier millimétré sera mise à la disposition des candidats. *-*-*-* Il est rappelé aux candidats que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. LE CANDIDAT TRAITERA OBLIGATOIREMENT LES DEUX EXERCICES ET LE PROBLÈME

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Exercice 1(5 points) Le plan est muni d’un repère orthonormal ( O;u,v ! . π On note i le nombre complexe de module 1 et d’argument. 2 On considère les pointsA,BetCd’affixes respectives : π i 3 a11#i ,b1a´et2 ec1%3#i 3. 1.a) Déterminerle module et un argument de chacun des nombres complexesa,betc. b)Vérifier queb1 ( 1%3 ! #i ( 1#3 ! .  7π  1%3 c)cosEn déduire que :   1.  12  2 2 d)Placer les pointsA,BetCdans le plan muni du repère ( O;u,v ! d’unité graphique 2 cm. 2.a) Démontrerque le triangleOABest un triangle rectangle. b)Déterminer le centre et le rayon du cercle circonscrit au triangleOABconstruire ce et cercle. 3.Déterminer la nature du quadrilatèreOABCprouver que le point etC appartientau cercle circonscrit au triangleOAB.

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Exercice 2 (4 points) On fixe à l’extrémité d’un ressort horizontal un objetM, qui peut coulisser sans frottement sur un plan. Le pointA, où est accrochée l’autre extrémité du ressort, est fixe. Après avoir été écarté de sa position d’équilibre, l’objet est lâché avec une vitesse initiale. On repère l’objet par son abscisseX quiest fonction du tempst etqui mesure l’écart entre la position à un instanttet sa position initiale. On admet qu’à un instantt, la fonctionXest solution de l’équation différentielle ( E ! : X#100X10 . A

Position X(t) initiale 1.Résoudre l’équation différentielle ( E ! . 2.Déterminer l’expression de la solution particulièreXde ( E ! qui vérifie les conditions : %1 X(0)110 etX(0)11 . 3.Montrer que pour tout nombre réeltde l’intervalle [ 0;# ¥ [ , on a : %1  π  X(t)1cos10 2  10t%  .  4  4.Vérifier que l’énergie mécaniqueWdu système, définie pour tout nombre réeltde l’intervalle [ 0;# ¥ [ par : 2 2 %1 W(t)110 [ X ¢ (t) ] #10 [ X(t) ] ,  estconstante.  π  5.Déterminer la valeur moyenne de la fonctionX. 0 ; sur l’intervalle    10   Onrappelle que la valeur moyenne d’une fonction sur l’intervalle [ a;b ] est donnée par : b 1 f(x)dx. ∫ a b%a

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Problème (11points) Sur la feuilleannexe, on a représenté, dans le plan muni d’un repère orthogonal ( O;i,j ! la courbe représentativecd’une fonctionfdéfinie sur l’ensembleRdes nombres réels. La courbecpasse par les pointsA(0; 1) ,Bet(1; 1)C(2 ;1) . Partie A : détermination de la fonctionf 1.Donner les valeurs def(0) ,f(1) etf(2) . 2 ( %x#2 ! 2.On suppose que pour tout nombre réelx,(x) s’écrit :f(x)1 ( ax#bx ! e#c, où les lettresa,betcdésignent trois nombres réels. En utilisant la question1., déterminer la valeur des nombresa,betc. Partie B : étude de la fonctionf 2 ( %x#2 ! Dans toute la suite du problème, on admettra que :f(x)1 ( x%x ! e#1. 1.Déterminer la limite de la fonctionf en¥. 2%x2%x 2.a) Établirque pour tout nombre réelx,f(x)1e ( xe%xe ! #1 . b)En déduire la limite de la fonctionf en # ¥ . c)Interpréter graphiquement le résultat obtenu. 3.Montrer que la fonction dérivéefde la fonctionest définie pour tout nombre réelxpar : 2 ( %x#2 ! f ¢ (x)1 ( x%3x#1 ! e . 4.Étudier le signe def(x) surR, puis établir le sens de variation de la fonctionf surR. 5.a)Déterminer les coordonnées des points d’intersection de la courbecde la droite etD  d’équationy11. b)Étudier les positions relatives de la courbecet de la droiteD. 6.a)Montrer que sur l’intervalle [ %1; 0 ] , la courbecl’axe des abscisses en un unique coupe  point.On notera a l’abscisse de ce point. %2 b)À l’aide de la calculatrice, déterminer un encadrement de a .d’amplitude 10 Partie C : calcul d’une aire 2 ( %x#2 ! 1.On considère la fonctionGdéfinie surRpar :G(x)1 ( x#x#1 ! On notee .Gla fonction dérivée de la fonctionGsurR. 2 ( %x#2 !  Établirque pour tout nombre réelx,G ¢ (x)1 ( x%x ! e . 2.Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.  Calculerl’aire du domaineddu plan délimité par la courbec, l’axe des abscisses et les droites  d’équationsrespectivesx10 etx11.  Lerésultat dont on donnera la valeur exacte, puis une valeur arrondie au dixième, sera exprimé  enunité d’aire.

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Annexe (problème)

2

1

-1

-2

O

c

1

2

5/5