Test de Mathématiques de niveau Terminale

Tpautrel

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Préparation au ds 3 des ts du 23 novembre 2011
Test en Mathématiques (2012) pour Terminale S

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Extrait

Mathématiques TS

Préparation au devoir surveillé n°3 (4H)

Mercredi 23 Novembre 2011

Exercice 1:(30 min) fx=xsinxcosx On considère la fonction ƒ définie sur IR par. [0;2 ] On se propose d'étudier cette fonction sur. 1. Calculerla dérivée ƒ' de ƒ. [0;2 ] 2. Endéduire le tableau de variation de ƒ sur. 3  [;] 3. Démontrerque l'équation ƒ(x) = 0 admet une unique solutiondans . 2 2 5  4. Démontrerque . 6

Exercice 2:(30 min) Partie A: On considère la fonction ƒ définie sur IR de la façon suivante:

1. Étudede ƒ en -2: a) Étudier les limitesde ƒ en -2 à gauche et à droite. b) La fonction ƒ est-elle continue en -2?

2. Étudede ƒ en -1: a) Démontrer que la fonction ƒ est continue en -1. b) Étudier les limites, lorsque xtend vers -1, à fx−f−1 gauche puis à droite de. x1 c)La fonction ƒ est-elle dérivable en -1?

3. Étudede ƒ en 0. Démontrer que la fonction ƒ est dérivable en 0.

Esquisse de la représentation graphique de ƒ:

Partie B: Soit I un intervalle et soit a un réel appartenant à I.  Pour chacune des propositions suivantes, indiquer s'il existe une fonctiondéfinie sur I et vérifiant simultanément les deux propriétés suivantes. Si la réponse est OUI, donner un exemple. Si la réponse est NON, la justifier par un théorème du cours.   1. Lafonction estcontinue en a etest dérivable en a.   2. Lafonction estcontinue en a etn'est pas dérivable en a.   3. Lafonction n'estpas continue en a etest dérivable en a.   4. Lafonction n'estpas continue en a etn'est pas continue en a.

Exercice 3: (1h) Partie A: Étude d'une fonction auxiliaire. x Soit g la fonction définie sur IR par gx=2e2x−7 . ∞ −∞ 1. Étudierles limites de g enet en. 2. Étudierle sens de variation de la fonction g sur IR et dresser son tableau de variation. gx=00,940,941 3. Justifierque l'équationadmet dans IR une solution uniqueet que. 4. Étudierle signe de g sur IR.

La fonction ƒ est définie sur IR par

Partie B: Étuded'une fonction ƒ. −x  =−  − f x2x5 1e . On note (C) la représentation graphique de la

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  O ; i ,j fonction ƒ dans un repère orthonormal. 1. Étudierle signe de ƒ sur IR. ∞ −∞ 2. Étudierles limites de ƒ enet en. 3. Calculerƒ'(x) et vérifier que ƒ'(x) et g(x) ont le même signe. Dresser le tableau de variation de ƒ. 2 2 −5 f = 4. a)Démontrer l'égalité. 2−7 2 2x−5 5 hx = −∞; b) Étudier le sens de variation de la fonction h définie parsur l'intervalle] [. 2x− 7 2  f  c) En déduire, à partir de l'encadrement deobtenu dans la partie A, une approximation deà −2 10 près. y=2x−5 ∞ 5. Démontrerque la droite D d'équationest asymptote à (C) en. Préciser la position de (C) par rapport à D.     6. Tracerla droite D et la courbe (C) dans le repère O ; i ,j ci-dessous. (Utiliser deux couleurs différentes)

Exercice 4:(45-50min) O ; u  ,  v∥  u∥=4cm Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct. On prendra pour le dessin. 1 z '=− z M est un point d'affixe z non nulle. On désigne par M' le point d'affixe, oùdésigne le conjugué du z nombre complexe z. Partie A: quelques propriétés... 1. Soitz un nombre complexe non nul. Déterminer une relation entre les modules de z et z', puis une relation entre les arguments de z et de z'. 2. Démontrerque les points O, M et M' sont alignés. 1 z²1= z−1 3. Démontrerque, pour tout nombre complexe z non nul, on a. z Partie B: construction de l'image d'un point. On désigne par A et B les deux points d'affixes respectives 1 et -1. ∣z−1∣=1 On note (C) l'ensemble des points M du plan dont l'affixe z vérifie. 1. Quelleest la nature de l'ensemble (C)? 2. SoitM un point de (C) d'affixe z, distinct de O. ∣z '1∣=∣z '∣ a) Démontrer que. Interpréter géométriquement cette égalité. z ' ∣z '1∣=∣z '∣ ∣z−1∣=1 b) Est-il vrai que sivérifie l'égalité, alors z vérifie l'égalité? 3. Tracerl'ensemble (C) sur une figure. Si M est un point de (C), décrire et réaliser la construction du point M'.

Exercice 5:(1h10) On cherche à modéliser de deux façons différentes l'évolution du nombre, exprimé en millions de foyers français possédant un téléviseur à écran plat, en fonction de l'année.

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Les parties A et B sont indépendantes. Partie A: un modèle discret u Soit n le nombre d'année, exprimé en millions, de foyers possédant un téléviseur à écran plat à l'année n. 1 u=1 0,u= On posee urtout . n=0n 2011, 0 et po n n1 u20−u n n 10 1 fx=x20−x 1. Soitƒ la fonction définie sur [0;20] par; 10 a) Étudier les variations de ƒ sur [0;20]. x∈[0:10], fx∈[0;10] b) En déduire que, pour tout. n∈ℕ,0  2. Montrerpar récurrence que, pour tout uu n1 10 n . limulimu n1n ∞ u 3. Enconsidérant qu'au voisinage de, =, montrer que la suite n est n∞n∞ convergente et préciser sa limite. Partie B: un modèle continu Soi g(x) le nombre, exprimé en millions, de tels foyers l'année x. On pose x = 0 en 2011, g(0) = 1 et g est une 1 0;∞ E: y'=y10−y solution, qui ne s'annule par sur[ [,de l'équation différentielle. 20 1 0;∞ z= 1. Onconsidère une fonction y qui ne s'annule par sur [[ et on pose. y 1 1 E ': z '=−z a) Montrer que y est solution de (E) si et seulement si z est solution de. 2 20 b) Résoudre (E') et en déduire les solutions de l'équation différentielle (E). 10 gx= 0;∞ 1 2. Montrerque g est définie sur [[ par −x . 2 9e1 0;∞ ∞ 3. Étudierles variations de g sur [[ et calculer la limite de g en. Interpréter le résultat. 4. Enquelle année le nombre de foyer possédant un tel équipement dépassera-il 10 millions?

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