Devoir Libre n°15 PSI

Description

Devoir Libre n?15 PSI MATHEMATIQUES ( a rendre Vendredi 12 Fevrier 2010) Dans tout le probleme, E designe le R-espace vectoriel R[X] des polynomes a coefficients reels. Pour tout entier naturel n, on note En le sous-espace de E forme par les polynomes de degre au plus egal a n. Selon l'usage, on convient d'identifier un polynome et la fonction polynomiale associee. L'espace En est muni de sa base canonique Bn = ( 1, X,X2, . . ., Xn ) . Les coefficients binomiaux sont notes (n k ) = n! k!(n? k)! (06 k6n). Partie A : Etude d'un endomorphisme Etant donne un polynome P de E, on definit un polynome ?(P ) par : [?(P )] (X) = ( X2 ? 1 ) P ??(X) + 2XP ?(X). 1) Justifier qu'on a ainsi defini un endomorphisme ? de E. 2) Montrer que, pour tout entier naturel n, le sous-espace vectoriel En est stable par ?. On notera desormais ?n l'endomorphisme de En induit par ? sur En : ?P ? En, ?n(P ) = ?(P ) 3) Dans cette question, on suppose que n est egal a 3.

• base orthonormee


• serie entiere


• ?n ?


• endomorphismes ?n


• polynomes lp


• matrice m3 de ?3 dans la base canonique de e3


• base de e3 diagonalisant

Sujets

• Série entière
• Base orthonormale

Informations

• Publié par: pefav
• Publié le: 01 février 2010
• Nombre de lectures: 131
• Langue: Français

Extrait

◦ Devoir Libren15 PSI MATHEMATIQUES (a`rendreVendredi12Fe´vrier2010) Danstoutleprobl`eme,Ede´leeisngR-espace vectorielR[Xeitnrse´`scaeocffiels.psed]emoˆnylo Pour tout entier natureln, on noteE n le sous-espace deEelpsperaro´mfegr´sdedˆomeolynuae pluse´gala`n. Selonl’usage,onconvientd’identifierunpolynoˆmeetlafonctionpolynomialeassocie´e.   2n L’espaceE n est muni de sa base canoniqueB n = 1, . . ., X, X, X.   n! n Lescoefficientsbinomiauxsontnot´es=(06k6n). k k!(n−k)! ´ Partie A : Etude d’un endomorphisme ´ Etantdonne´unpolynˆomePdeEenˆompolytinue´nfio,dnφ(P) par :   200 0 [φ(P)] (X) =X−1P(X) + 2XP(X). 1)ifistJuna’oquere´disniadnenuinfiomorphismeφdeE. 2)Montrer que, pour tout entier natureln, le sous-espace vectorielE n est stable parφ. Onnoterade´sormaisϕ n l’endomorphisme deE n induit parφsurE n : ∀P∈E n , ϕ n (P) =φ(P) 3)Dans cette question, on suppose quenga´este.a3l` ´ a) Ecrirela matriceM 3 deϕ 3 dans la base canonique deE 3 . b) Justifierqueϕ 3 est diagonalisable. c)D´eterminerunebasedeE 3 diagonalisantϕ 3 -idsmoeitnfficoeecsdmeˆoynolpedee´mrof, nants´egaux`a1. 4)nrevOerlertitunad’alenune´gsre´ntneiacuanquelconque. a) Montrerque la matriceM n deϕ n danslainuqeetsabesaconreaip´suiatrulngteireeeru pr´ecisersescoefficientsdiagonaux. b)Ende´duirequeϕ n iatdes´rpteelbasilanogcesireeldsmineisonsdesessous-espseca propres. ´ PartieB:Etuded’unefamilledepolynˆomes Pour tout entier naturelnnfie´dno,lypoleiteomnˆL n par n P  1 2 n n −k k L n (X) =(X−1) (X.+ 1) n k 2 k=0 1)esomnˆlypoeselmilpfiie´suofmrselculersoCaL 0 ,L 1 ,L 2 etL 3 . 2)CalculerL n (1) pour toutn∈N. 3)reim´Dtelrengedede´reL n en fonction den(n∈N) et donner son coefficient dominant sous la forme d’une somme. 4)En utilisant un changement d’indice, montrer queL n it´eeparmˆemalauqen. 5)rmfoladedeail’`aefi,re´irVedeluLeibniz, que : n   1 d n 2 ∀n∈N, L n (X) =X−1 . n n 2n! dX 6)reuiplexEnedd´celtcffieoticinemeodimeitnedantnL n , puis la relation   n P n 2  2n ∀n∈N,= . k n k=0 1