Devoir Libre n PSI

Description

Devoir Libre n?1 PSI MATHEMATIQUES (à rendre le 6 septembre 2011) Exercice 1 : 1. Montrer que, si une suite (xn)n?IN est convergente, la suite (x2n?xn)n?IN converge vers 0. 2. On définit la suite (Sn)n?IN par : Sn = n∑ k=1 1 k (a) Montrer que ?n ? IN, S2n ? Sn ≥ 1 2 . (b) En déduire que (Sn)n?IN diverge vers +∞. 3. Montrer que : ?k ≥ 2, ∫ k+1 k 1 t dt ≤ 1 k ≤ ∫ k k?1 1 t dt 4. En déduire un encadrement de Sn pour tout n ≥ 1. 5. En déduire un équivalent de Sn. 6. On considère les suites (an)n?IN et (bn)n?IN définies par : ? ??? ??? an = n∑ k=1 1 k ? ln(n) bn = n∑ k=1 1 k ? ln(n+ 1) (a) En utilisant la concavité de la fonction ln, montrer que : ?x > ?1, ln(1 + x) ≤ x. (b) Montrer qu'elles sont adjacentes. (c) En déduire qu'il existe ? ? IR tel que : Sn = ln(n) + ? + o(1) (d) Justifier : ?n ≥ 1, bn ≤ ? ≤ an.

• question précédente avec la fonc- tion ?


• ir4


• ?n ≥


• ?1 ?


• classe c∞ sur r?


• tangente au point d'abscisse

Informations

• Publié par: pefav
• Publié le: 01 septembre 2011
• Nombre de lectures: 40
• Langue: Français

Extrait

◦ Devoir Libren1 PSI MATHEMATIQUES (À rendre le 6 septembre 2011)

Exercice 1: 1. Montrerque, si une suite(x n ) n∈IN est convergente, la suite(x 2n −x n ) n∈IN converge vers 0. n X 1 2. OndÉfinit la suite(S n ) n∈IN par :S n = k k=1 1 (a) Montrerque∀n∈IN, S 2n −S n ≥. 2 (b) EndÉduire que(S n ) n∈IN diverge vers+∞. Z Z k+1k 1 11 3. Montrerque :∀k≥2, dt≤ ≤dt t kt k k−1 4. EndÉduire un encadrement deS n pour toutn≥1. 5. EndÉduire un Équivalent deS n . 6. OnconsidÈre les suites(a n ) n∈IN et(b n ) n∈IN dÉfinies par :  n P 1   a n =−ln(n) k k=1 n P 1  b=−ln(n+ 1)  n k k=1 (a) Enutilisant la concavitÉ de la fonction ln, montrer que :∀x >−1, ln(1 +x)≤x. (b) Montrerqu’elles sont adjacentes. (c) EndÉduire qu’il existeγ∈IRtel que : S n = ln(n) +γ+o(1) (d) Justifier:∀n≥1, b n ≤γ≤a n . (e) Ecrireune procÉdure Maple permettant de calculer une valeur approchÉe deγÀ une −3 prÉcisionadonnÉe. Donner une valeur approchÉe deγÀ10prÈs.

Exercice 2: 1. RÉsoudredansRl’Équation :t+ sint= 0. 2. Pourtout rÉelttel quet+ sint6= 0, on pose : 1 ψ(t) =. t+ sint 2x R ∗ Montrer que l’intÉgraleψ(t)dtest dÉfinie pour toutx∈R. x On noteraf(x)sa valeur. ∗ L’objet de ce problÈme est l’Étude de la fonctionfassociÉe, dÉfinie surR. 3.Question pour les 5/2: Soitx 0 >0. La fonctionψest-elle intÉgrable sur]0, x 0 ]? 4. Etudierla paritÉ def. ∞ ∗0 5. Montrerquefest de classeCsurR, et calculerf(x)sous forme factorisÉe pourx >0. 6. EndÉduire le sens de variation defsur]0,+∞[.

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