THEORIE DE L'INTEGRATION

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THEORIE DE L'INTEGRATION Gijs M. Tuynman 20 septembre 2007 1

• theoreme de convergence montone de beppo-levi


• theoreme de fubini


• espaces topologiques


• tribus sur ?


• oi ?


• theoreme de convergence dominee de lebesgue


• application du theoreme de changement de variables

Sujets

• Théorème de Fubini

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• Publié le: 01 septembre 2007
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Extrait

TH É ORIEDEL’INT É GRATION

Gijs M. Tuynman

20 septembre 2007

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TH É ORIEDEL’INT É GRATION

Table des matières

1. Tribus 2. La droite achevée 3. Applications mesurables 4. Espaces produits 5. Subdivisions et fonctions étagées 6. Mesures 7. L’intégrale de fonctions positives 8. Le théorème de convergence montone de BeppoLevi 9. L’intégrale de fonctions réelles ou complexes 10. Le théorème de convergence dominée de Lebesgue 11. Unicité de mesures 12. La mesure produit 13. Le théorème de Fubini 14. Intégrales multiples 15. Évaluation, mesures de comptage et séries 16. Existence de mesures d 17. Mesures surRet la mesure de Lebesgue surR 18. L’intégrale de Riemann versus celle de Lebesgue 19. Construction de mesures 20. Quelques applications 21. Le théorème de changement de variables 22. Une application du théorème de changement de variables p 23. Les espacesL 24. Espaces mesurés complets 25. Ensembles nonmesurables

Références bibliographiques

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TRIBUS

1. Tribus

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1.1 Définition.Soit Ω un ensemble etPF ⊂ (Ω) une collection de sousensembles de Ω. On dit queFest unetribu surΩ si elle vérifie les conditions suivantes : (i)∅ ∈ F; (ii) si, pour toutn∈Non aA n ∈ F, alors∪A n ∈ F; n∈N (iii) siA∈ F, alors Ω\A∈ F. En toutes lettres : une tribu contient l’ensemble vide et l’espace total et est stable par réunion et intersection dénombrables ainsi que par complémentaire dans Ω. Un couple (Ω,F) où Ω est un ensemble etFune tribu sur Ω (on dit aussi que Ω estmuni de la tribuF) est appelé unespace mesurable. Les éléments deFsont appelésensembles (F)mesurables.

1.2 Notation.Dans la suite on aura souvent l’occasion de parler du complémen taire d’un ensemble. Pour alléger la notation on convient de noter le complémentaire c Ω\Ad’un ensembleAparA, à condition que Ω soit l’espace total où se déroule la discussion. Pour toute autre différence d’ensemblesAetBon continuera d’utiliser la notationA\B.

1.3 Exemples.Soit Ω un ensemble, alors il y a deux tribus “triviales” sur Ω. D’abord la plus petite possibleF={∅,Ω}qui ne contient que le strict minimum : le vide et le total. Et on a aussi la plus grande possibleF=P(Ω) qui contient tous les sousensembles de Ω. Un autre exemple qu’on peut facilement construire dans le cas général consiste à prendre un sousensembleA⊂Ω arbitrairement. Et alors la collection c F={∅, A, A ,Ω}

est une tribu contenant 4 éléments (sauf dans les cas triviauxA=∅ouA= Ω, quand elle ne contient que 2).

→1.4 Lemme.SoitΩun ensemble etF ⊂ P(Ω)une collection de sousensembles deΩ. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes. (i)Fest une tribu surΩ. (ii)F:vérifie les conditions suivantes (i)∅ ∈ F, (ii) si, pour toutn∈Non aA n ∈ F, alors∩A n ∈ F; n∈N c (iii) siA∈ F, alorsA∈ F; (iii)F:vérifie les conditions suivantes (i)Ω∈ F, (ii) si, pour toutn∈Non aA n ∈ F, alors∪A n ∈ F; n∈N (iii) siA, B∈ F, alorsA\B∈ F;

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→1.5 Lemme.SoitΩetIdeux ensembles quelconques et soitF i une tribu surΩ pour touti∈Il’intersection. Alors G=∩ F i est une tribu surΩ. i∈I

→1.6 Lemme.SoitΩun ensemble etC ⊂ P(Ω)une collection de sousensembles de Ω. On définitFcomme la collection de toutes les tribus surΩqui contiennentC:

F={ F ⊂ P(Ω)| C ⊂ FetFest une tribu surΩ}.

Alors on a les propriétés suivantes. (i)P(Ω)∈F. (ii)σ(C) =∩ F ∈F Fest une tribu surΩ. (iii)siGest une tribu surΩet siC ⊂ G, alorsσ(C)⊂ G.

1.7 Définition.Soit Ω un ensemble etC ⊂ P(Ω) une collection de sousensembles de Ω. La tribuσ(C) définie dans [1.6.ii] par T σ(C) =FavecF={ F ⊂ P(Ω)| C ⊂ FetFest une tribu sur Ω} F ∈F

est appeléla tribu engendrée parCla plus petite tribu sur Ω qui contient. C’est C.

→1.8 Lemme.SoitΩun ensemble etC,D ⊂ P(Ω)deux collections de sousensem bles deΩ. SiC ⊂ D, alorsσ(C)⊂σ(D).

→1.9 Exercice.Soit Ω un ensemble et soitC={ {ω} |ω∈Ω} ⊂ P(Ω) la collection de tous les singletons. Décrire explicitement la tribuσ(C) selon la cardinalité de Ω (finie, dénombrable, nondénombrable).

1.10 Définitions.Soit Ω un ensemble etO ⊂ P(Ω) une collection de sous ensembles de Ω. On dit queOest une topologie sur Ω si elle vérifie les trois conditions (i)∅,Ω∈ T, (ii)O 1 , O 2 ⇒∈ T O 1 ∩O 2 ∈ T, (iii) siIest un ensemble (d’indices) et si pour touti∈Ion aA i ∈ T, alors ∪O i ∈ T. i∈I Le couple (Ω,O) est appelé unespace topologiqueet les éléments deOsont appelés lesouvertsSi (Ω(de la topologie). ,O) est un espace topologique, alors une partie B⊂ Oest appeléeune base pour la topologiesi tout élément deOs’écrit comme une réunion (quelconque) d’éléments deBdit qu’un espace topologique (Ω. On ,O) està base dénombrables’il existe une baseBpour la topologieOqui contient un

TRIBUS

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nombre dénombrable d’éléments. SiA⊂Ω est un sousensemble, alors la collection O A ⊂ P(A) définie par O A ={O∩A|O∈ O } est une topologie surA, appeléla topologie induite surA.

1.11 Définition.Soit (Ω,OLa) un espace topologique. tribu de Borel surΩ (aussi appeléetribu borélienne), notéeB(ouB(Ω) si on doit être plus précis, ou encore B(Ω,O) si on doit être hyper précis), est la tribu engendrée par les ouverts (de la topologie) :B=σ(Oles éléments de la tribu de Borel sont appelés des). Souvent boréliens, au lieu d’ensembles mesurables.

→1.12 Lemme.Soit(Ω,O)un espace topologique. tout ensemble fermé sont des boréliens.

Alors tout ensemble ouvert et

1.13 Utilisation du symbole≡.Dans un calcul le symbole≡est utilisé dans ≪ ≫ le sens est identiquement égal à ; le plus souvent cela veut dire que l’égalité est ≪ ≫ une simple réécriture en utilisant la définition.

→1.14 Lemme.Soit(Ω,O)un espace topologique à base dénombrable et soitB⊂ O une base dénombrable pour la topologie. Alors la tribu de BorelB ≡σ(O)est aussi engendrée parB:B ≡σ(O) =σ(B).

→1.15 Lemme/Définition.Soit(Ω,F)un espace mesurable etA⊂Ωun sous ensemble quelconque. Alors la collectionF A ⊂ P(A)des traces des éléments deF surAdéfinie par F A ={F∩A|F∈ F } est une tribu surA, appeléela tribu induite surAoula tribu trace deFsurA.

1.16 Remarque.SiA⊂Ω est mesurable (A∈ F), alors la collectionF A est incluse dansFparce qu’une tribu est stable par intersection (dénombrable, en particulier finie). Par contre,F A n’est pas une tribu sur Ω, simplement parce que Ω∈/F A (sauf dans le cas trivialA= Ω).

1.17 Lemme.Soit(Ω,F)un espace mesurable etA⊂Ωun sousensemble. SiF est engendré parC ⊂ P(Ω), alorsF A est engendré parC A ={C∩A|C∈ C}:

F=σ(C)

=⇒

F A =σ(C A ).

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Preuve.Par [1.6.iii] on a l’implicationC A ⊂σ(C) A ⇒σ(C A )⊂σ(C) A , ce qui est l’inclusionσ(C A )⊂ F A avoir l’inclusion dans l’autre sens, on considère la. Pour collection G={G⊂Ω|G∩A∈σ(C A )}. Il est évident qu’on a l’inclusionC ⊂ Gon sait montrer que. Si Gest une tribu, alors on doit avoirF=σ(C)⊂ Gdéfinition de. La Gnous dit alors qu’on a l’inclusion F A ⊂σ(C A ). Pour montrer queGest une tribu, on note qu’on a les égalités  S  S ∅ ∩A=∅, G n ∩A= (G n ∩A),(Ω\G)∩A=A\(G∩A). n∈Nn∈N

Sachant queσ(C A ) est une tribu surA, les trois propriétés d’une tribu (pourG) en découlent immédiatement. C QF D

1.18 Corollaire.Soit(Ω,O)un espace topologique etA⊂Ωun sousensemble. Alors la tribu de Borel surAassociée à la topologie induiteO A est égale à la tribu induite surApar la tribu de Borel surΩassociée à la topologieO:

B(A,O A ) =B(Ω,O) A .

d d 1.19 Définition.La collectionB b ⊂ P(R) des boules ouvertes dansR,

d B b ={B ε (x)|ε >0, x∈R}

avec d B ε (x) ={y∈R| ky−xk< ε}, d est une base pour la topologie euclidienne surRdit, un sousensemble. Autrement d O⊂Rest ouvert si (et seulement si) pour chaquex∈Oon peut trouverε(x)>0 tel queB ε(x) (x)⊂Osi c’est le cas, on peut écrire. Car S O=B ε(x) (x), x∈O

ce qui est une réunion de boules ouvertes.

d 1.20 Lemme.La collectionB p des pavés ouverts dansR,

n o d Y B p = ]a i , b i [|a i , b i ∈R, a i < b i , i=1

est (aussi) une base pour la topologie euclidienne.

TRIBUS

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Preuve.La stratégie de la preuve est de montrer d’abord que les pavés ouverts Q d ]a i , b i [ sont des ouverts pour la topologie euclidienne et ensuite que chaque i=1 boule est la réunion de pavés ouverts. Alors un ouvert étant une réunion de boules et chaque boule étant une réunion de pavés ouverts, on aura montré qu’un ouvert est une réunion de pavés ouverts. Q d On commence donc avec la preuve que chaque pavéP= ]a i , b i un[ est i=1 ouvert. Soitx∈Pil existearbitraire. Alors ε(x)>0 tel queB ε(x) (x)⊂P.

DESSIN

Il suffit de prendreε(x) = min(b 1 −x 1 , x 1 −a 1 , . . . , b d −x d , x d −a d ) quandx= d (x 1 , . . . , x d )∈ROn a alors les inclusions(voir dessin). S S P={x} ⊂B ε(x) (x)⊂P . x∈P x∈P

On a donc égalité partout, ce qui dit quePest la réunion de boules ouvertes, c’estàdire quePest un ouvert pour la topologie euclidienne. Soit maintenantB ε (x) une boule et soity∈B ε (x) arbitraire. On poseδ= √ Q d (ε− ky−xk)/ detP y = ]y i −δ, y i +δ[ . i=1

DESSIN √ À causedufacteur1/ ddansδ, la plus grande distance entre un point deP y ety √ estδ∙d=ε− ky−xktriangulaire implique alors que. L’inégalité P y est contenu dansB ε (xa donc les inclusions). On S S B ε (x) ={y} ⊂P y ⊂B ε (x). y∈B ε (x)y∈B ε (x)

On a donc égalité partout, ce qui dit queB ε (x) est la réunion de pavés ouverts Q d ]a i , b i [ . C QF D i=1

1.21 Remarque pour les initiés.Le fait que les pavés ouverts forment une base pour la topologie euclidienne peut être considéré comme une variante du fait  P  d 2 1/2 que la norme euclidiennekxk=xest équivalente à la normekxk ∞ = i=1 i max(|x 1 |, . . . ,|x d |).

d 1.22 Proposition.La topologie euclidienne surRest à base dénombrable, une base dénombrableB r étant donnée par

d n o Y B r = ]a i , b i [|a i , b i ∈Q, a i < b i . i=1

Preuve.On sait déjà que les éléments deBsont des ouverts ; il suffit donc, comme Q d dans la preuve de [1.20], de montrer que chaque pavé ouvert ]a i , b i [ avec i=1

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a i , b i ∈Rest la réunion d’éléments deB r chaque ouvert étant la réunion. Alors de pavés avec bornes dansRet chaque pavé avec bornes dansRétant la réunion de pavés avec bornes dansQ, on aura montré que chaque ouvert est la réunion de pavés avec bornes dansQ. Q d Soit doncP= ]a i , b i [ un pavé ouvert aveca i , b i ∈Ret soitx∈P i=1 arbitraire. Alors on a les inégalités strictesa i < x i < b i . Mais entre deux réels il y a toujours un rationnel, ce qui veut dire qu’il existeq i , r i ∈Qtels quea i < q i < Q d x i < r i < b i . Alors on poseQ x = ]q i , r i [ , et donc, par le choix desq i , r i ∈Q i=1 on aQ x ⊂Pa alors les inclusions. On S S P={x} ⊂Q x ⊂P . x∈P x∈P

On a donc égalité partout, ce qui dit que le pavé avec bornes dansRest une réunion de pavés avec bornes dansQ. C QF D

d d 1.23 Proposition.La tribu de BorelB(R)surRmuni de la topologie euclidi enne est engendrée par l’une des collections suivantes au choix :  Q  d (i)B p = ]a i , b i [|a i , b i ∈R, a i < b i ;(les pavés ouverts) i=1  Q  d (ii)B 2 = ]a i , b i ]|a i , b i ∈R, a i < b i ;(les pavés “semiouverts”) i=1  Q  d (iii)B 3 = [a i , b i ]|a i , b i ∈R, a i < b i (les pavés fermés) ; i=1  Q  d (iv)B 4 = ]− ∞, b i [|b i ∈R(les hyperquadrants ouverts) ; i=1  Q  d (v)B 5 = ]− ∞, b i ]|b i ∈R(les hyperquadrants fermés). i=1 Preuve.Selon [1.22] la topologie euclidienne est à base dénombrable, une base dé nombrable étant donnée parB r . Selon [1.14] on a doncB=σ(O) =σ(B r ), oùO d désigne la topologie euclidienne surRon a les inclusions. Mais B r ⊂B p ⊂ Oet donc on a les inclusions

[1.14] B=σ(B r )⊂σ(B p )⊂σ(O)≡ B.

d On a donc égalité partout, ce qui montre que la tribu de Borel surRest engendrée parB p . Pour montrer que les autres collectionsB i ,i= 2, . . . ,5 engendrent aussi la tribu de Borel, il suffit donc de montrer qu’elles engendrent la même tribu queB p . Pour cela il suffit de montrer les deux inclusionsB i ⊂σ(B p ) etB p ⊂σ(B i ) pour chaque i= 2, . . . ,le fera pour le cas5. On i= 5 et on laisse les trois autres cas aux bons soins du lecteur. Q d Pour l’inclusionB 5 ⊂σ(B p ]), prenons − ∞, b i ]∈B 5 , qu’on peut écrire i=1 comme

d d d Y Y Y S S T 1 ]− ∞, b i ]] = b i −n, b i ] = ]b i −n, b i + [. k ∗ ∗ n∈Nn∈N k∈N i=1i=1i=1 Q d 1 Vu que les ]b i −n, b i appartiennent à+ [ B p et qu’une tribu est stable pour i=1 k Q d réunions et intersections dénombrables, ]− ∞, b i ] appartient àσ(B p ). i=1

LADROITEACHEV É E Q d Pour l’autre inclusion, prenons ]a i , b i [∈B p , qu’on peut écrire comme i=1

d d Y Y   ]a i , b i [ = ]− ∞, b i [\]− ∞, a i ] i=1i=1     d j−1 d Y d Y Y S = ]− ∞, b i [\]− ∞, b i [×]− ∞, a j ]×]− ∞, b i [. j=1 i=1i=1i=j+1

Si on rajoute à cela les égalités

d d Y Y S 1 ]− ∞, b i [ = ]− ∞, b i −] n ∗ n∈N i=1i=1 et j−1 d Y Y ]− ∞, b i [×]− ∞, a j ]×]− ∞, b i [ i=1i=j+1 d Y S 1 1 = ]− ∞, b i −]×]− ∞, a j ]×]− ∞, b i −], n n ∗ n∈N i=j+1 Q d on voit que ]a i , b i à la tribu engendrée par[ appartient B 5 . F D C Q i=1

2. La droite achevée

2.1 Définition.La droite achevéeRest la droite réelleRà laquelle on ajoute deux éléments∞et̟:R=R∪ {̟,∞}. On prolonge l’ordre surRen un ordre surRen posant ∀x∈R:̟ < x <∞. SiA⊂Rn’est pas vide, on dit queb∈Rest une borne supérieure pourAsib vérifie les conditions   ∀a∈A:a≤bet∀x∈R:x < b⇒ ∃a∈A:x < a .

En toutes lettres :best un majorant deAet tout élément plus petit quebn’est pas un majorant ; ou encore :best le plus petit majorant deAla même manière. De on définit une borne inférieurebpar les conditions   ∀a∈A:b≤aet∀x∈R:b < x⇒ ∃a∈A:a < x ,

c’estàdire : un minorant tel que tout élément plus grand n’est pas un minorant ; ou encore : le plus grand minorant. L’existence et unicité d’une borne supérieure/ inférieure sont assurés par [2.2].

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→2.2 Lemme/Définition.Dans la droite achevée on a les propriétés suivantes. (i)Tout ensemble non videA⊂Rpossède une unique borne inférieure et une unique borne supérieure dansR; on les note commeinfAetsupA. (ii)Toute suite monotone (croissante ou décroissante)(a n ) n∈N d’éléments dans Radmet une limite dansR.

2.3 Définition.SurRon définit une topologie en disant que

B={[̟, b[,]a, b[,]a,∞]|a, b∈R}

est une base pour cette topologie.

2.4 Remarque pour les initiés.Ce n’est pas n’importe quelle collection de sousensembles qui peut être la base d’une topologie. Pour queB⊂ P(Ω) puisse servir comme base pour une topologieOsur Ω il faut (et il suffit) queBvérifie les conditions (i)∪B= Ω B∈B (ii)∀B 1 , B 2 ∈B∀ω∈B 1 ∩B 2 ∃B 3 ∈B:ω∈B 3 ⊂B 1 ∩B 2 . Il est facile de vérifier que ces conditions sont satisfaites par la collection donnée comme base pour la topologie surR.

→2.5 Lemme.La topologie induite surRpar celle deRest la topologie (euclidienne) deRet tout ouvert deRest un ouvert deR.

2.6 Nota Bene.uresgilopotolairédnfinoedafc¸tuerUneaRest de considérer la bijectionf:R→[−π/2, π/2 ] définie par   arctan(x)x∈R  f(x) =π/2x=∞   −π/2x=̟ ,

et de dire qu’un ensembleO⊂Rest ouvert si (et seulement si)f(O) est une ouvert de [−π/2, π/latopolodedéfinirigdeeafetnoc¸]2teC.Rpermet de voir directement queRest un espace métrique où une métriqued:R×R→R + est donnée par d(x, y) =|f(x)−f(y)|,

c’estàdire qu’on transporte la métrique standard sur [−π/2, π/vers2 ] Rvia la bijectionf.