Theorie des vagues periodiques non symetriques

Gérard Iooss

Description

Theorie des vagues periodiques non symetriques Gerard Iooss IUF, Universite de Nice, Labo J.A.Dieudonne, 06108 Nice Cedex 02, France Abstract Les resultats ci-dessous ont ete obtenus en collaboration avec Pavel Plotnikov ([10], [11]), et montrent notamment que les operateurs pseudo-differentiels sont particulierement utiles dans la resolution de certains problemes classiques d'hydrodynamique. On considere ici le probleme des vagues a la surface libre d'une couche infinie de fluide incompressible en ecoulement potentiel, en l'absence de tension de surface et ou l'on cherche les patterns periodiques, non symetriques par rapport a la direction de propagation. On definit le couple d'amplitudes (?1, ?2) relatives aux deux vecteurs d'ondes (K1, K2) non resonants, qui verifient l'equation de dispersion et qui engendrent le reseau periodique de vecteurs d'ondes. On commence par donner le developpement asymptotique formel des vagues periodiques solutions en puissances de (?1, ?2) (qui bifurquent au voisinage d'une surface libre plate) et on montre l'occurence d'un probleme de petits diviseurs (a cause de l'absence de tension de surface). Pour utiliser le theoreme des fonctions implicites de Nash-Moser, ceci nous oblige a savoir inverser un certain operateur differentiel lineaire d'ordre 2, contenant l'operateur de Dirichlet-Neumann.

• con- traintes pour le choix des vecteurs d'onde formant la base


• trains de vagues periodiques


• theoreme d'existence


• fluide etant au repos


• coordonnees horizontales


• double derivation dans la direction du champ de vecteurs periodique


• operateur differentiel


• vitesse relative des particules de fluide


• direction de propagation

Sujets

• Système de coordonnées horizontales
• Opérateur différentiel

Informations

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• Langue: Français

Extrait

Th´eoriedesvaguesp´eriodiquesnonsym´etriques Gerard Iooss ´ IUF,Universit´edeNice,LaboJ.A.Dieudonn´e,06108NiceCedex02,France [e-mail]

Abstract Lesresultatsci-dessousont´et´eobtenusencollaborationavecPavelPlotnikov([10], ´ [11]),etmontrentnotammentquelesop´erateurspseudo-diff´erentielssontparticuli`erement utilesdanslare´solutiondecertainsproble`mesclassiquesd’hydrodynamique.Onconside`re ici le probleme des vagues a la surface libre d’une couche infinie de fluide incompressible ` ` ene´coulementpotentiel,enl’absencedetensiondesurfaceeto`ul’oncherchelespatterns ´iodi,nonsym´etriquesparrapport`aladirectiondepropagation.Ond´efinitle per ques couple d’amplitudes (ε 1  ε 2 ) relatives aux deux vecteurs d’ondes (K 1  K 2 n)ui,qtsanonesr´on v´erifientl’´equationdedispersionetquiengendrentler´eseaupe´riodiquedevecteursd’ondes. Oncommencepardonnerlede´veloppementasymptotiqueformeldesvaguespe´riodiques solutions en puissances de (ε 1  ε 2 (qui bifurquent au voisinage d’une surface libre plate) et) onmontrel’occurenced’unprobl`emedepetitsdiviseurs(`acausedel’absencedetensionde surface).Pourutiliserlethe´or`emedesfonctionsimplicitesdeNash-Moser,cecinousoblige a`savoirinverseruncertainope´rateurdiffe´rentielline´aired’ordre2,contenantl’op´erateur deDirichlet-Neumann.Letermed’ordre2vientdeladoubled´erivationdansladirection duchampdevecteursp´eriodique,donnantlavitessehorizontaledesparticulesdefluide. On montre comment obtenir le diffeomorphisme du tore, dont le nombre de rotation ´ satisfaituneconditiondiophantienne,etquipermetdesimplifiersuffisammentl’ope´rateur diffe´rentielpre´ce´dent.Onpeutalorsluiappliquerunem´ethodedemoyennisation,utilisanta` fondlestechniquespseudo-diff´erentielles,etquipermetd’inversercetoperateur.Onmontre ´ alors l’existence de solutions pour des valeurs du couple d’amplitudes (le long de chaque vecteur d’onde de la base) dans un ensemble du quart de plan, de mesure asymptotiquement pleine en 0. Combien ont disparu, dure et triste fortune ? Dans une mer sans fond, par une nuit sans lune, Sousl’aveugleoc´ea`ajamaisenfoui? n Oceano Nox(Victor Hugo) →→AMS: 76B15; 47J15; 35S15; 76B07 motscle´:nonlinearwaterwaves;smalldivisors;bifurcationtheory;pseudodifferentialoper- ators; travelling gravity waves; asymmetric 3D waves; rotation number 1Leproble`medesvagues Ons’int´eresseauxondesprogressives`alasurfaced’unecoucheinfiniedefluideparfaitincom- pressible,quisepropagent`alavitessec=−cuo`uc >0 etueirtanirueutcevnuengise´d horizontal(voirlafigure1).Onsupposel’´ecoulementirrotationnel,lepotentiele´tantnot´eϕ ete´tantde´finia`uneconstanteadditivepr`es.Choisissantlese´chellesLolnie)tees´usplpr(ci´e cerpsceiturleslonvementposetivseltesrueug´eefr´lensdas,seevemmnuoeielertntivanntsu l’onde,lavitesserelativedesparticulesdefluideestalorsinde´pendantedutempsetdonn´eepar 1

z z - g Figure1:Domainedel’´ecoulement ∇ϕ+u. NotonsX= (x 1  x 2 se,iroztnlal)´ennhoescoesdoorzalocaenvteer,ticaolredaosncenn´de etz=η(Xystserelceir`t´aisen´edurserEuleme`eqeauitnol)´’oita’dsnseL.uqe´elacreibladerfsu suivant Δϕ= 0 pourz < η(X)∇ϕ→0(1.1) z→−∞ avec les conditions aux limites suivantes enz=η(X) ∇η(u+∇ X ϕ)− ∂ ϕ z ∂ = 0(1.2) 2 u ∇ϕ + (∇ 2 ϕ + ) η= 0(1.3) La condition (1.2) exprime que la vitesse relative (u+∇ X ϕ ∂ z∂ urface.nte`alasttseegna) L’inte´gralepremi`eredeBernoullidese´quationsd’Eulermisesousformeadimensionnelledansle ´f´ entiel relatif re er 2 1  (u+∇ X ϕ) 2 + ( ϕ∂ z∂ ) 2  +z+ p ρc 2 =Const donne la pressionp la condition (1.3) exprime que la pression Alors,dans tout le domaine fluide. estcontinuea`latravers´eedelasurface(absencedetensiondesurface).Leparam`etreest sans dimension(carr´edel’inversedunombredeFroude)d´efinipar =gLc 2  Onobservequecesyste`meadmetlasolution(ϕ ηdnoienu’frusecar´esentelasituat=),0uqripe libreplateethorizontale,lefluide´etantaurepos.Danscequisuit,nousnousint´eressonsaux vaguesp´eriodiquesdansdeuxdirectionshorizontales.Lafigure2montre,d’unepartdesvagues obtenuesexp´erimentalementparHammack,Henderson,Segur[7],d’autrepart3trainsdevagues pe´riodiquesobtenues`al’aidedesformulesd´ecritesplusloin,lapremieree´tantsym´etriquepar ` rapporta`ladirectiondepropagation,lesdeuxdernie`res´etantnonsym´etriques. Leprobl`emedesvaguesa´ete´´etudi´enotammentparStokesen1847[18]danslecasbidi- mensionnel(pe´riodiquedansuneseuledirectionhorizontale,etinde´pendantdeladirection transverse),ouilacalcul´elede´veloppementense´riedepuissancesdel’amplitude,jusqu’`a ` l’ordre3.C’estuncalculanalogue(enbeaucoupplussimple)`aceluifaita`lasection3ci-apre`s. Lespremie`respreuvesmath´ematiquesdel’existencedesolutionspe´riodiquesbidimensionnelles sontduesa`Nekrasov[14]etLevi-Civita[13].Lesr´esultatsconcernantlecastridimensionnel (pe´riodiquedansdeuxdirectionshorizontales),sontvenusbienplustard,toutd’aborddefa¸con formelle[4],[17],puislapremi`erepreuved’existencedesvaguesdegravite´-capillarite´(donc enpre´sencedetensiondesurface)en1981parReederetShinbrot[16]utilisantlam´ethodede 2

Figure2:Exemplesdevaguesp´eriodiques

Lyapunov-Schmidt,aveccertainesconditionsdenonr´esonance.EnsuitenotammentCraig- Nicholls[2]utilisentunem´ethodevariationnellequis’affranchitdesconditionsdenonre´sonance etobtiennentunthe´ore`med’existenceplusg´en´eral,maismoinspre´cis.EnfinGroves-Haragus [6]utilisentlame´thodede”dynamiquespatiale”ou`unedirectionhorizontalejoueleroˆledu tempsetou`onimposeseulementdansunedirectiontransverselape´riodicit´edesvagues.Les vaguespe´riodiquesdansdeuxdirectionshorizontalessontuncasparticulierdesvaguesdontils obtiennentl’existence.Quellequesoitlam´ethodeutilis´ee,touscestravauxmentionnentlerˆole essentieldelatensiondesurfacepourobtenirlethe´ore`med’existence.Enfait,lapr´esencede tension superficielle introduit le terme de courbure −bdiv  (1 +∇ ∇ η η 2 ) 12  danslemembredegauchedel’´equation(1.3),proportionnelaulaplaciendeη`lboemeurpoprle line´aris´e(b=T ρLc 2 `uoTest la tension de surface, et le nombre de Weberbatrea`pmnuetrse sansdimension).Latensiondesurfaceestenfaittr`espetitedanslessituationsphysiques usuellesetilestraisonnabledes’enaffranchirafind’´eviterden’obtenirunre´sultatd’existence quepourdesvaguestr`espetitesseulementvalidespourundomainetr`esr´eduitdel’espacedes parame`tres,de´pendantdelapetitessedeblarocsnorfno´telousplrastne,oinmmoC.revelnoe a`unprobl`emedepetitsdiviseurs,etpourobtenirunr´esultatd’existenceonestamene´`utiliser a destechniquesd’analysepluslourdes.L’expose´quisuitestbase´surlesdeux(´epais)articles [10],[11]etseconcentresurlesm´ethodesutilis´eespourprouverlesr´esultats.Onnepre´sente pasicilesde´tails,notammentpourlesestimations. 1.1Fonctionsp´eriodiques On s’int´ sse aux solutions (ϕ ηenuqseoiid´pre)Xlaced´on.urPoese´Γuainfiernut ′ de ere longueurs d’ondes Γ ′ ={λ=m 1 λ 1 +m 2 λ 2 :m j ∈Z} ou`λ j ∈R 2  j= 12nd’oebmondserauduedΓller´eseaet Γ ={k=n 1 K 1 +n 2 K 2 :n j ∈Zλ j K l = 2πδ jl }

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