17. L'équation de Dirac.

Pansart

Description

• exposé - matière potentielle : mécanique quantique
• exposé

1 17. L'équation de Dirac. L'équation de Dirac est une équation relativiste à laquelle obéit la fonction d'onde des particules ayant un spin un demi, comme l'électron. Nous la présenterons très brièvement sous sa forme habituelle dans l'espace de Minkowski, puis nous généraliserons au cas où l'espace temps est une variété quelconque. Nous supposons que le lecteur est déjà familier des notions de base de la mécanique quantique.

• tenseur par rotation des repères mobiles
• représentation de l'algèbre de clifford
• orthonormés
• équation de dirac linéaire
• famille de repères mobiles
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• matrices
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Sujets

• Mécanique quantique
• Exposé
• Équation
• Repère
• Linéaire
• Transformation
• Matrice
• Algèbre
• Tenseur

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Extrait

17. L’équation de Dirac.

L’équation de Dirac est une équation relativiste à laquelle obéit la fonction d’onde des
particules ayant un spin un demi, comme l’électron. Nous la présenterons très brièvement
sous sa forme habituelle dans l’espace de Minkowski, puis nous généraliserons au cas où
l’espace temps est une variété quelconque. Nous supposons que le lecteur est déjà familier des
notions de base de la mécanique quantique.
Ce chapitre permet de montrer, une fois de plus, la puissance de la méthode du repère mobile.
Cela permettra aussi de concrétiser la discussion du chapitre précédent avec un exemple plus
élaboré que celui du champ scalaire.


1. L’équation de Dirac en espace de Minkowski, en bref.

Dans cette section l’espace de Minkowski est muni de coordonnées cartésiennes
orthonormées.
En mécanique quantique, la fonction d’onde ! d’une particule de masse m obéit à l’équation
21de Schrödinger : i!!" =# ! $" + V" , où ! est le laplacien, V la fonction potentiel t 2 m
d’un champ externe tel que le champ électrique, != h / (2! ) et h est la constante de Planck.
Cette équation non relativiste est généralisée, soit en prenant l'équation du champ scalaire
complexe (16.23), soit en appliquant le principe de correspondance à la contrainte
2 2 2 2 4
E ! p c = m c :
E! i!" , p !# i!"
t i i
ce qui conduit, dans les deux cas, à l’équation de Klein-Gordon pour la fonction d’onde d’une
particule libre :
2 2 2 2 2 4 !! "# +! c $# = m c #
t
Désormais, pour simplifier les notations, nous choisirons le système d’unité tel que :
!= 1 , c= 1
Comme il ne s’agit pas ici de refaire un exposé de mécanique quantique, nous dirons
simplement, sans justification, que Dirac a voulu obtenir un équation linéaire du premier
degré pour l’opérateur i! et il a posé, pour une particule libre :
t
" i! # $ = m$ (1)
"
Pour retrouver l’équation de Klein-Gordon, on applique l’opérateur de gauche à lui même, ce
qui implique la contrainte :
" # # " "# ! ! +! ! = 2$ (2)
"Quand ! "# les ! ne peuvent être des nombres ordinaires. Ce sont des matrices appelées
matrices de Dirac. ! n’est donc plus un simple nombre complexe mais possède, dans le cas
de l’espace-temps à quatre dimensions quatre composantes. En physique, ! est appelé un
spineur, et est représenté par un vecteur colonne :
1" %!
$ '
! = ! $ '
d$ '!# &
1 n
2Si l’espace temps a n dimensions, ! a d = 2 composantes si la dimension de l’espace
n!1
2temps est paire et d = 2 si n est impair.

A priori l’expression exacte des matrices de Dirac importe peu, et il existe plusieurs
ensembles satisfaisant la relation (2) équivalents entre eux. Nous donnerons, pour le cas de
! = (+1,"1,"1,"1)l’espace de Minkowski à quatre dimensions, et , la représentation de ab
Weyl comme exemple :
i" % " %0 I 0 (0 i ! = , ! = , i= 1,2, 3 (3) $ ' $ i '# I 0& #)( 0 &
ioù les ! sont les matrices de Pauli :
" 0 1% " 0 (i% " 1 0 %1 2 3 ! = , ! = , ! = (4) $ ' $ ' $ '# 1 0& # i 0 & # 0 (1&

i 2 i j j iqui vérifient : (! ) = I , ! ! +! ! = 0 , i" j

On vérifie aisément que ces matrices satisfont les contraintes (2). On trouvera un exposé
beaucoup plus complet des propriétés des matrices de Dirac dans [Magneville-Pansart].

Bien que la représentation des matrices de Dirac importe peu, dans la plupart des cas, la
contrainte suivante est importante. En mécanique quantique l’évolution de la fonction d’onde
est décrite par une équation de genre i!!" = H" où H est l’opérateur hamiltonien qui est t
+ + 3hermitique ( H = H ) afin d’assurer la conservation des probabilités (! "# # d x = 0 ). t
Dans le cas de l’équation de Dirac cela implique les contraintes :
0+ 0 0 i + 0 i ! = ! , (! ! ) = ! ! (5)




Exercice 1.
Montrer, en utilisant uniquement (2), c’est à dire sans utiliser une représentation explicite de
a b1matrices de Dirac telle que (4), que les éléments de la forme : ! ! , a " b satisfont les
2
relations de commutation de l’algèbre de Lie du groupe des rotations.

Exercice 2.
D 0 1 n"1 D 0 1 2 3 DOn pose ! =! ! ...! . Par exemple si n= 4 , ! = ! ! ! ! . Montrer que !
aanticommute avec tous les ! si n est pair et commute avec ces derniers si n est impair.

Note :
aLes matrices ! de Dirac constituent une représentation matricielle de l’algèbre de Clifford.
Pour définir l’algèbre de Clifford, on part d’un espace vectoriel M , sur un corps commutatif
K , muni d’un produit scalaire g . On construit un produit associatif (ici noté! ) qui vérifie ! ! ! ! ! ! ! !
pour tous les éléments a et b de M : a! b+ b! a= 2g(a,b) . L’algèbre est notée C( M,g) .
2 !!"
µA chaque élément de base e de M on associe un élément de base e de l’algèbre avec la µ !!" !!"
µ ! ! µrestriction e e + e e = 2 g(e ,e ) . On construit une base de l’algèbre en considérant tous
µ !
µ "eles produits de . Les matrices ! sont une représentation matricielle des éléments abstraits
!e .
Pour continuer sur ce sujet voir [Magneville-Pansart].


2. Généralisation à un espace quelconque.

La présentation précédente se référant à des coordonnées cartésiennes, on va essayer de se
rapporter à une famille de repères mobiles orthonormés.
nSoit une variété V dans laquelle on a défini une famille de repères mobiles orthonormés
! nh . Tout voisinage d’un point M quelconque étant difféomorphe à une boule de ! , on { }a
aaimerait écrire une équation du genre : i! " # ! m# . D’autre part ! # est un vecteur
a "
a "covariant, on est donc tenté d’écrire : i! h # $ ! m$ . Afin de conserver le caractère
a "
linéaire de l’équation de Dirac nous poserons :
a " i! h (# $ +% $ )= m$ (6)
a " "
a noù les ! sont dans une représentation de l’algèbre de Clifford de ! (muni de sa métrique)
et où il faut déterminer les ! .
"

La forme de l’équation (6) ne doit pas dépendre du choix de la famille de repères mobiles.
! !Soit donc une autre famille f de repères mobiles orthonormés. Soient v les { } a
acomposantes d’un champ de vecteurs sur la première et v' ses composantes dans cette
seconde famille.
Le passage de l’une à l’autre se fait par des matrices de rotation : !!" !!"
a a b !1b v = A (x)v' , h = A f
.b a .a b
et la fonction d’onde se transforme par : ! ="! ' (7)
!où ! ' est exprimé par rapport aux vecteurs f et où il faut déterminer l’opérateur! . { }a

a "Posons : D " =# " +$ " , on a i! h D # = m# et on veut pouvoir écrire :
! ! ! a "
a "i! f D' # '= m# ' . La première de ces deux équations est :
a "
a " &1 a " &1 &1 i! h D (#$ ')= m#$ ' % i# ! # h (' +# ' #+# ( #)$ '= m$ '
a " a " " "
l’équation de Dirac sera invariante de forme si :
"1 a $ b $ b a $ ! # ! h =# f =# A h qui donne la première condition :
a b b a
"1 a b a ! # !=# A (8a)
b
"1 "1et si : ! # !+! % !=% ' (8b)
$ $ $
Cette seconde condition est équivalente à exiger :
D" =# D' " '