Correction : Analyse, Introduction à la notion de série numérique

David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

Description

Suites numériques.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: analyse-mpsi
• Nombre de lectures: 80
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

1.a

1.b

2.a

2.b

3.a

3.b

3.c

4.a

4.b

1.

2.
3.a

3.b

3.c

4.a

Correction

Partie I

=donc () diverge.
1
=1−−. ( ( ssi) converge i.e. ssi) converge<1 .
L’étude des variations surℝ+de la fonction différenceδ:֏ln(1+)−donne
∀∈ℝ+, ln(1+)≤.
Pour=1, cela fournit 1≥ln(1+1)=ln(+1)−ln.

En sommant l’inégalité précédent :=∑=1≥∑ln(+1)−ln=ln(+1)−ln1=ln(+1) .
1=1
Puisque ln(+1)∞→+∞ (, on peut affirmer par comparaison que) diverge.
11−1=(11)≥12.
− −
En sommant l’inégalité précédente :=∑=112≤1+∑21−1−1=2−1≤2 .
=
+1−=(+1)12≥ (0 . La suite croissante et majorée donc convergente. On peut montrer,) est

mais c’est difficile, que sa limite vautπ26 .
2+1−2−1=−1+1+12≥0 donc (2−1) est croissante.
2
+−21 1 0
2 2=2+2−2+1≤donc (2) est décroissante.
2−2−1=1→0 donc on peut affirmer que les
2suites (2−1) et (2) sont adjacentes.
Les suites (2−1) et (2 vers une même limite. Etant exhaustives, on peut affirmer que) convergent
( ) converge lnaussi vers cette limite. On peut montrer que celle-ci vaut 2 .

Partie II

=−−1 (donc si) converge versℓalors→ℓ−ℓ=0 .
Pour la suite de terme général=1on obtient un contre exemple à la réciproque.
() est croissante car+1−=+1≥0 .
Par sommation de l’inégalité≤pourallant de0à:−0−1=−0−1.
= −
Ainsi≤+avec 0101.
− −
Si () converge alors () est ( majorée et donc) aussi. Cette suite étant croissante et majorée, elle
est donc convergente.
Si2→ℓalors pourassez grand2≤ℓ+ donc1 et≤ℓ+2 .1

On conclut en appliquant l’étude précédente à=ℓ+21 pour ( laquelle) converge compte tenu des

résultats de la partie I.
=+−−et=++−.

4.b

4.c

5.


+,−≤avec=∑.
=1

Comme vu à la question II.3, la convergence de ( () entraîne celle de+) et (−) .
=+−−converge par opération.
Si (2 alors) converge (2 et on peut conclure.) aussi