Correction de Devoir Libre N°01

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Extrait

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr `a rendre le lundi 17 septembre 2012
´CORRIGE DU DEVOIR LIBRE N˚01
EXERCICE 1
Soit a ,...,a et b ,...,b , 2n nombres r´eels. On pose1 n 1 n
n n nX X X
2 2A = a , B = b , C = a b .k kk k
k=1 k=1 k=1
1. Soit x∈R fix´e. D’apr`es l’identit´e remarquable kivabien, on utilise ici les
propri´et´es de distribu-
n nX X 2 tivit´es pour les sommes2 2 2P(x) = a x+b = a x +2a b x+bk k k kk k
finies
k=1 k=1
n nX X X
2 2 2= x × a +2x× a b + bk kk k
k=1 k=1 k=1
2= Ax +2Cx+B
Sous cette forme, il apparait plus clairement que P est un polynˆome
de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 2. N
2. Une remarque pr´eliminaire s’impose. Lorsque A est nul, P n’est pas
un polynˆome de degr´e 2 : difficile en ce cas de parler de discriminant.
D’ou` la discussion suivante :
nX
2siA = a est nul, alorstousles termes delalistea ,a ,...,a1 2 nk
k=1
2sont nuls. En ce cas, C est aussi nul et par cons´equent : C =
A×B = 0.
si A n’est pas nul, en ce cas le polynˆome P est de degr´e 2. si P a deux
P n
racines distinctes, ilD’autre part, comme pour tout x ∈ R, P(x) = a x +kk=12 doit n´ecessairementb est positif, il ne saurait avoir deux racines distinctes. Park
changer de signe etcons´equent, sondiscriminant Δestn´ecessairement n´egatifounul.
donc ˆetre strictement2Comme pour tout x ∈ R, P(x) = Ax + 2Cx + B, il vient
n´egatif pour certaines20≥ Δ = 4C −4A×B, d’ou` l’on tire
valeurs de x
2C ≤ A×B.
2Int´eressons-nous `a pr´esent au cas d’´egalit´e :A×B = C . Il s’agit,
d’apr`es ce qui pr´ec`ede du cas particulier ou` P admet une racine
1

◮◮

double : x . En ce cas,0
nX 2
P(x ) = a x +b0 k 0 k
k=1
Chacun des termes de cette somme ´etant positif, ceci revient pour tout k ∈
{1,..,n}, on a`a dire que pour tout k ∈ {1,...,n}, a x +b = 0, c’est-`a-direk 0 k
que les suites (a ,...,a ) et (b ,...,b ) sont proportionnelles.1 n 1 n b =−x ak 0 k
Finalement, nous avons ´etabli l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz :
n n n2X X X
2 2a b . ≤ a × bk k k k
k=1 k=1 k=1
avec´egalit´e si et seulement si les suites (a ,...,a ) et (b ,...,b ) sont1 n 1 n
proportionnelles. N
3. Soit a ,...,a sont des r´eels strictement positifs. On cherche `a ob-1 n
tenir une in´egalit´e analogue `a celle ´etablie pr´ec´edemment, puisqu’on
souhaite l`a encore majorer un carr´e par un produit. Pour ce faire, il
suffit d’appliquer le r´esultat pr´ec´edent `a deux suites choisies astucieu-
sement : posons pour k∈{1,...,n}
√ 1
α = a et β = √k k k
ak
D’apr`es l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz, on a
! ! !2n n nX X X
2 2α × β ≥ α β ,k kk k
k=1 k=1 k=1
ce qui revient pr´ecis´ement `a :
! !
n nX X 1 2a × ≥ nk
ak
k=1 k=1
N
2

EXERCICE 2
1. Soit (n,p)∈N ×N. On a Dans la 1`ere
expression, on utilise
n+1 n+1X X P
l’associativit´e de .p+1 p+1 p+1S(n+1,p+1) = k = (n+1) + k
Pour la deuxi`eme, on
k=1 k=1
effectue le changementp+1= (n+1) +S(n,p+1)
d’indice k = + 1,
n+1 nX X
puis on d´eveloppe `ap+1 p+1S(n+1,p+1) = k = ( +1)
l’aide de la formule du
k=1 =0
binˆome et enfin, on p+1n nX XX p+1p+1 q intervertit l’ordre de= 1+ ( +1) = 1+
q
sommation.=1 =1 q=0
p+1 p+1 Bref, le calcul senXX Xp+1 p+1q d´eroule sans sur-= 1+ = 1+ S(n,q)
q q
prises!q=0 =1 q=0
pX p+1
= 1+S(n,p+1)+ S(n,q)
q
q=0
Ainsi pX p+1 p+1S(n,q) = (n+1) −1.
q
q=0
nX
2. Tout d’abord, il est clair que S(n,0) = 1 = n. Pour les autres
k=1
sommes demand´ees, appliquons successivement l’´egalit´e ci-dessus avec
p = 1, p = 2, p = 3, p = 4. Il vient

2 2 2• Pour p = 1 : S(n,0)+ S(n,1) = (n+1) −1, d’ou` l’on tire
0 1
n(n+1)
S(n,1) =
2

3 3 3 3• Pour p = 2 : S(n,0)+ S(n,1)+ S(n,2) = (n+1) −1,
0 1 2
d’ou` l’on tire
n(n+1)(2n+1)
S(n,2) =
6

4 4 4 4• Pour p = 3 : S(n,0)+ S(n,1)+ S(n,2)+ S(n,3) =
0 1 2 3
4(n+1) −1, d’ou` l’on tire
2 2n (n+1)
S(n,3) =
4
3
⋆ℓℓℓ
ℓ
ℓℓℓℓℓ
5 5 5 5• Pour p = 4 : S(n,0)+ S(n,1)+ S(n,2)+ S(n,3)+
0 1 2 3
5 4S(n,3) = (n+1) −1, d’ou` l’on tire
4
2n(n+1)(2n+1)(3n +3n−1)
S(n,4) =
30
N
4