Correction de Devoir Libre N°01: Années précédentes

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Extrait

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr `a rendre le vendredi 16 septembre 2011
´CORRIGE DU DEVOIR LIBRE N˚01
EXERCICE 1
1. Soit n∈N . On note P(n) la propri´et´e suivante : l’´ecriture avec
P Q
les et est plus
npour tout n-uplet (a ,...,a )∈R de nombres r´eels, on a :1 n concise. V´erifiez qu’il
n k−1 nX Y Y s’agit bien de la mˆemeP(n)
a × (1− a ) + (1− a ) = 1k
somme que celle
k=1 =1 =1
donn´ee dans l’´enonc´e!
Montrons que pour tout entier n∈N P(n) est vraie par r´ecurrence :
• Initialisation : lorsque n = 1. Soit a ∈R, on a a +(1−a ) = 1.1 1 1
• H´er´edit´e : soit n∈N tel que P(n). Montrons que P(n+1) est
vraie :
n+1Soit donc (a ,...,a ,a )∈R un n+1-uplet de r´eels. On a l’hypoth`ese de1 n n+1
r´ecurrence s’´ecrit
n+1 k−1 nX Y Y » –k−1X Y Y
a × (1− a ) + (1− a ) a × (1−a ) = 1− (1−a )kk
k =1
k=1 =1 =1
n k−1 n n+1X Y Y Y
= a × (1− a ) + a (1− a )+ (1− a )k n+1
k=1 =1 =1 =1
n n nY Y Y
= 1− (1− a )+ a (1− a )+(1− a )× (1− a )n+1 n+1
=1 =1 =1
nY
= 1+ −1+ a +1− a × (1− a )n+1 n+1
=1
= 1
Ce qui prouve que P(n+1) est vraie.
• Conclusion : par r´ecurrence, on a montr´e que pour tout entier
n∈N , et pour tout n-uplet (a ,...,a ) de r´eels, on a :1 n
n k−1 nX Y Y
a × (1− a ) + (1− a ) = 1k
k=1 =1 =1
N
1
ℓℓℓℓℓℓℓℓℓ⋆⋆ℓℓℓℓℓ⋆ℓℓℓℓℓℓℓℓℓℓℓℓℓℓ⋆ℓℓ2. Soit n ∈ N un entier naturel fix´e et appliquons le r´esultat pr´ec´edent
`a une n-liste de r´eels (a ,...,a ) convenablement choisie. Pour cela,1 n
commen¸cons par simplifier les termes de la somme propos´ee en expri-
mant les coefficients du binˆome `a l’aide des nombres factoriels. Pour
tout k ∈{1,...,n}, on a
k−1Yk· k! n kk! n! n(n−1)···(n− k +1)
= = k = k (1− )
k k kn k n k!(n− k)! n n
=0
Ainsi, la somme propos´ee s’´ecrit-elle sous la forme :
" # " # n n k−1 n k−1X X Y X Yk· k! n k
= k (1− ) = n (1− )
kn k n n n
k=1 k=1 =1 k=1 =1
A ce stade, on devine ais´ement le bon choix pour la liste (a ,...,a ) :1 n
d´efinissons donc
k
pour tout k ∈{1,...,n} ,a =k
n
Le r´esultat de la question pr´ec´edente, appliqu´e `a ce choix de suite,
donne on a a = 1 et parn
cons´equent (1− a ) =n n k−1 n n k−1X Y Y X Y
0!
1 = a × (1− a ) + (1− a ) = a × (1− a )k k
k=1 =1 =1 k=1 =1
En multipliant les deux membres de cett´e ´egalit´e par n, il vient :
nX k· k! n
= n.
kn k
k=1
N
2
ℓℓℓℓℓℓℓℓℓℓ⋆ℓℓ