Correction : Géométrie, Lemniscate de Bernoulli

David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

Description

Courbes en coordonnées polaires. Géométrie du plan.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: geometrie-mpsi
• Nombre de lectures: 88
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

1.a

1.b

1.c

2.a

2.b

2.c

3.a

3.b

Correction

Soitun point du plan et=′()() . On a=′et=′′′donc∈ Γ ⇔′ ∈ Γ.
Soitun point du plan et′=()() . On a=′′et′=′donc∈ Γ ⇔′ ∈ Γ.
AinsiΓ (est symétrique par rapport aux axes) et () (et par suite par rapport au point).
Soit0un point de l’axe () .=−1 et=′+1 donc
∈ Γ ⇔−1+1=1⇔2−1= ±1⇔= ±2 ou=0 .

Par suiteΓ ∩()= {,,}′avec2e 0t ′0− 2.
Soit point de l’axe (0 un) .==′1+2donc∈ Γ ⇔1+2=1⇔=0 .
Par suiteΓ ∩()= {}.
Si>2 alors≥−>1 et′>1 donc.′>1 et∉ Γ.
Par contraposée∈ Γ ⇔≤ donc2 etΓest incluse dans le disque de centre 2 .et de rayon
ou :
2
2=1+=′12+′2+2⋅′
4 4

=12+2+2⋅+2+′2+2⋅+′2⋅≤′12+1
4 2
donc2≤2 puis≤2 .
2=(ρcosθ−1)2+(ρsinθ)2=ρ2+1−2ρcosθet
′2=(ρcosθ+1)2+(ρsinθ)2=ρ2+1+2ρcosθ.
∈ Γ ⇔.=′1⇔2.′2=1⇔(ρ2+1−2ρcosθ)(ρ2+1+2ρcosθ)=1

⇔ρ4+2ρ2(1−2 cos2θ)=0⇔ρ4=22cos 2θ
ρ
NotonsΓ′la courbe d’équation polaireρ=2 cos 2θ. Par ce qui précède′⊂ΓΓ.
Inversement, soitun point deΓ.
Si=alors∈ Γ′car∈ Γ′(prendreθ=π4 ).
Si≠ (alors on peut choisir un représentant polaireρ,θ) du pointavecρ>0 .
La relationρ4=2ρ2cos 2θimplique alorsρ2=2 cos 2θd’où cos 2θ≥0 etρ=2 cos 2θ.
Ainsi∈ Γ′. FinalementΓ = Γ′.
θ֏ρ(θ)=2 cos 2θest définie sur les intervalles−π4+π,π4+πdoncθ֏(θ) aussi
ρ(θ+π)=ρ(θ) donc(θ+π)=((θ)) .
On peut limiter l’étude à−π4 ,π4 , courbe complétée par la symétrie de centre.
ρ(−θ)=ρ(θ) donc(−θ)=()((θ)) .
On peut limiter l’étude à 0,π4 , courbe complétée par la symétrie d’axe () .
dérivable sur 0 sin 2
θ֏ρ(θ ,) estπ4 etρ′(θ)= −sco222θθ.ρ′(θ)=0⇔θ=0 .
θ0π4
ρ′(θ) 0−|| .
ρ(θ) 2ց0

3.c

3.d

4.a

4.b

4.c

le.

Etude enθ=0 :ρ(0)=2 etρ′(0)=0 . Tangente orthoradia
θ π4
Etude enθ=π4 : Passage par l’origineρ(θ)+0 || .
La droiteθ=π4 est tangente à la courbe en ce point.

Pour déterminer les points de tangentes horizontales, introduisons(θ)=ρ(θ) sinθet déterminons les
valeurs d’annulation de′(θ) . En effet, tout point en dehors de l’origine étant régulier, l’annulation de

′(θ) ende la tangente en ce point car un tel point équivaut à l’horizontalité ′(θ) y sera non nul.
,′(θ)=0⇔θ=π 0,6 dansπ4 .
   donc(θ)−isn1+ρssoicnθ2+cos 2θavec 2 co
(θ)=+(θ)+(θ)(θ)ρ θ+θ ρ=s 2θ
(θ)2=(−1+ρcosθ+cos 2θ)2+(ρsinθ+sin 2θ)2
=2+ρ2−2ρcosθ+2ρcos cos 2θ−2 cos 2θ+2ρsinθsin 2θ
=2+ρ2−2ρcosθ+2ρcosθ−2 cos 2θ=2

sin 2θ.

Posons(θ)((θθ ecav) )(θ)=2 cos 2θcosθ+cos 2θet(θ)=2 cos 2θsinθ+
θ0π4
Sur 0,π4 ,′(θ)= −sin 3θ−2 sin 2θ≤ .0 donc
2 cos 2θ(θ) 2+1ց0

De plus sur 0,π4 ,(θ)>0 donc(θ) décrit la portion du cerclecorrespondant aux abscisses et
ordonnées strictement positives.
A partir d’un pointde la portion précédente du cercle, on forme l’intersection du cercle de centre
et de rayon 2 avec le cercle′et on y considère le pointd’ordonnée différente de celle de.
De part ce qui précède, il existe∃θ∈0,π4 tel que=(θ) et=(θ) .
Le point(θ alors le milieu du segment) est,.