⌊⌋⌋⌊⋆ Exercices d’approfondissement Notations alg´ebrique et exponentielle Applications `a la trigonom´etrie 2iπ/n 1 Exercice 30 : Soit n∈ N un entier naturel sup´erieur ou ´egal `a 2. On note ω = e Exercice 23 : D´eterminer tous les complexes z tels que|z| =| | =|1−z|. z 1. D´emontrez que pour tout nombre complexe z∈ C, Indication : Remarquez que le module de z est 1. n−1 n−1 Y X k l (z−ω ) = z ! √ n 5 k=1 l=0 (1−i 3) Exercice 24 : Pour quelles valeurs de n, le complexe est-il un r´eel positif? 3 (1−i) 2. En d´eduire que n−1 Y `kπ´ n sin = . n−1 `emes n 2 Racines n k=1 Exercice 25 : D´eterminez les racines quatri`emes de 28+96i. 4 Exercice 31 : Lin´eariser sin xcos x, ou` x∈ R. 3 Exercice 26 : Soit (a,b,c)∈ C . R´esoudre dans C le syst`eme Exercice 32 : Soit n un entier strictement positif. Expliciter une fonction polynomiale P telle n 8 0 xy > 0 En sommant cette derni`ere in´egalit´e et celle obtenue `a la question 2, on obtient bien l’in´egalit´e : Finalement, une racine 4 i`eme particuli`ere de 28+96i est ζ = 3+i 0 n−1 X 2 • on obtient TOUTES les racines quatri`emes de 28 + 96i en multipliant ζ par les racines 0 |a|+|b|≤ |a+ω b| k quatri`emes de 1. Finalement n k=0 N § ={3+i;,3i−1;−3−i;−3i+1} √ 1 3 2 Exercice 26 .— j =− + i est une racine cubique de 1 qui v´erifie 1 + j + j = 0 (somme Exercice 28 .— Soit θ∈]0,π/2[. 2 2 des racines cubiques). Proc´edons par op´erations ´el´ementaires sur les lignes de ce syst`eme. Plus 2 • Δ = 16 = 4 .