LA RÉUNION SÉRIE S JUIN

Description

[ LA RÉUNION, SÉRIE S, 21 JUIN 2011\ Exercice 1 - commun - 4 points 1. Le plan P et la droite D n'ont aucun point commun. 2. Les plans P et P ? sont sécants suivant une droite de vecteur directeur ?~i +~j +~k. 3. L'ensemble des points M de l'espace qui sont équidisdants des points A et B est le plan d'équation ?4x+2y +5z? 52 = 0. 4. L'ensemble des pointsM de l'espace tels que ? ? ? ??? MA?3???MB ? ? ?= 5 est une sphère dont le centre a pour coordonnées ( ?5;5; 72 ) . à Pour voir les justifications (cliquer ici) Exercice 2 - commun - 5 points 1. Les bulletins sont indiscernables au toucher, les tirages sont donc équi- probables et la probabilité d'un événement est le quotient du nombre de tirages qui lui sont favorables par le nombre de tirages possibles : • Le nombre de tirages de 4 bulletins choisis simultanément parmi 10 est ( 10 4 ) = 10?9?8?7 4?3?2?1 = 210 • L'événement A est réalisé lorsque les 4 bulletins sont choisis parmi les 4 portant sur l'histoire ; le nombre de tirages favorables à l'événement A est ( 4 4 ) = 1 • L'événementB est réalisé lorsque les 4 bulletins sont choisis parmi les 8 ne portant pas sur le sport ; le nombre de tirages favorables à l'événement B est ( 8 4

• traduction géométrique


• puisque lim


• question —


• argument du quotient


• dérivable surr


• système complet d'événe- ments


• plan d'équation ?4x

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2011
• Nombre de lectures: 21

Extrait

[LARÉUNION,SÉRIES,21JUIN2011\
Exercice1-commun-4points
1. LeplanP etladroiteD n’ontaucunpointcommun.
02. LesplansP etP sontsécantssuivantunedroitedevecteurdirecteur
~ ~ ~?i?j?k.
3. L’ensembledespointsM del’espacequisontéquidisdantsdespoints
5
A etB estlepland’équation?4x?2y?5z? ?0.
2
? ?
??! ??!? ?
4. L’ensembledespointsM del’espacetelsque MA?3MB ?5estune? ?
? ?
7
sphèredontlecentreapourcoordonnées ?5;5; .
2
Pourvoirlesjustifications(cliquerici)
Exercice2-commun-5points
1. Lesbulletinssontindiscernablesautoucher,lestiragessontdoncéqui-
probablesetlaprobabilitéd’unévénementestlequotientdunombre
detiragesquiluisontfavorablesparlenombredetiragespossibles:
? Lenombredetiragesde4bulletinschoisissimultanémentparmi
10est ? !
10 10?9?8?7
? ?210
4 4?3?2?1
? L’événementAestréalisélorsqueles4bulletinssontchoisisparmi
les4portantsurl’histoire;
lenombredetiragesfavorablesàl’événement A est
? !
4
?1
4
? L’événementB estréalisélorsqueles4bulletinssontchoisisparmi
les8neportantpassurlesport;
lenombredetiragesfavorablesàl’événementB est
? !
8 8?7?6?5
? ?70
4 4?3?2?1
Ainsi:
? ?1 70 2
P(A)? et P(B)?1?P B ?1? ?
210 210 3
1
?2 [LARÉUNION,SÉRIES,21JUIN2011“
C
0,7
H
0,31 C4
C
0,612. a. L2 0,4
C
1
C4 0,5
S
0,5
C
b. Les événements H, L et S forment un système complet d’événe-
ments,alors(formuledesprobabilitéstotales):
P(C) ? P(C\H) ? P(C\L) ? P(C\S)
P(C) ? P(H)?P (C) ? P(L)?P (C) ? P(S)?P (C)H L S
1 1 1
P(C) ? ?0,7 ? ?0,6 ? ?0,5
4 2 4
P(C)?0,6
c. OndemandedecalculerlaprobabilitéconditionnelleP (S):C
P(S\C) P(S)?P (C) 0,5?0,25 5S
P (S)? ? ? ?C
P(C) P(C) 0,6 24
3. a. ChaquequestionconstitueuneépreuvedeBernoullideparamètre
p? 0,7 (épreuve à deux issues : le candidat répond correctement
à la question — succès — avec la probabilité p?0,7 ou bien il ne
répond pas correctement à la question avec la probabilité 1?p?
0,3).
On répèten?10fois,demanièreindépendante,unetelleépreuve
de même paramètre p?0,7, alors la variable aléatoire X égale au
nombre de «succès» suit la loi binomialede paramètres 10 et 0,7,
c’est-à-dire
? !
? ? 10 k 10?kpourtoutk2 0;1;2;...;10 , P({X?k})? ?0,7 ?0,3
k
b. P({X?9})?P({X?9})?P({X?10})? ! !
10 109 10P({X?9})? ?0,7 ?0,3? ?0,7 ?...
9 10
?2P X?9 ?0,15à10 près({ })[LARÉUNION,SÉRIES,21JUIN2011\ 3
Exercice3-commun-6points
PartieA
1. a. Lafonctionexponentielleestdéfinieetdérivablesur etneprend
2xquedesvaleursstrictementpositives,alorslafonctionx7?!e ?1
estdérivableetnes’annulepassur . f estdérivablesur .
? ? ? ?
x 2x 2x x x 2x4e e ?1 ?2e ?4e 4e 1?e0Soitx2 , f (x)?? ??? ? ? ?2 22x 2xe ?1 e ?1
? ?
x 2x4e e ?10Pourtoutréelx, f (x)? ? ?22xe ?1
b. Pourtoutréelx,
x4e
?0? ?22xe ?1
0 2xalors f (x)estdumêmesignequee ?1.
Puisque la fonction exponentielleest strictementcroissante sur
2x 0 2xetque,pourtoutx?0,ona2x?0,alorse ?e soite ?1?0.
0 08x2]0;?1[, f (x)?0et f (0)?0,alors
f eststrictementcroissantesur[0;?1[
2. f estdéfiniesur et,pourtoutx2 ,
?x ?x x4e 4e 4e
? ?f(?x)?1? ?1? ?1? ? f(x)?2x 2x?2x 2xe ?1 e 1?e 1?e
Ainsilafonction f estpaireet,graphiquement:
lacourbeC estsymétriqueparrapportàladroited’équationx?0
3. a. Les coordonnées du point A sont (a,0) avec a? 0 et A2C, alors
a 2a a4e e ?4e ?1 2a af(a)?0?)1? ? ?0?)(e ) ?4e ?1?0
2a 2ae ?1 e ?1
aSionposec?e ,alors
2c estunesolutiondel’équationx ?4x?1?0
2Onrésoutl’équationx ?4x?1?0;elleadmetdeuxsolutionsréellesp p ? ? p ? ? p ??
positives2? 3et2? 3,alorsa2 ln 2? 3 ,ln 2? 3 .
p ? p ?
Puisque2? 32]0;1[,alorsln 2? 3 ?0et,a étantpositif:
? p ?
a?ln 2? 3
? p ?
b. f eststrictementcroissantesur[0;?1[ets’annuleena?ln 2? 3
alors,enutilisantlaparitéde f,onendéduit:
? f(x)?0 six2]?1;?a[[]a;?1[;
? f(x)?0 six2]?a;a[;
? f(?a)? f(a)?0.
R
R
R
R
R
R
R4 [LARÉUNION,SÉRIES,21JUIN2011“
PartieB
1. On reconnaît,sousformeintégrale,l’expressiondelaprimitivesur
0quis’annuleen0delafonction f,alorsF estdérivablesur etF ? f.
Les variations de la fonction F sur se déduisent alors du signe de
f(x):
? F eststrictementcroissantesur]?1;?a]etsur[a ;?1[;
? F eststrictementdécroissantesur[?a ; a].
Z Za a? ?
? ?2. f étantcontinueetnégativesur[0;a],F(a)? f(t)dt?? f(t) dt
0 0
estl’opposédel’aire,enunitésd’aire,dudomaineplancomprisentre
lacourbeC,l’axedesabscissesetlesdroitesd’équationsx?0etx?a.
Ce domaine est contenu dans un rectangle dont les dimensions sont? ?
? ?f(0) ?1eta,alors0??F(a)?1?a,d’où:
?a?F(a)?0
? ?t4e 1?t3. a. Soitt2[0,?1[, f(t)?1? ? ??1?4e ? .
?2t2t ?2t 1?ee 1?e
1
Onestdoncamenéàcomparer avec1;
?2t1?e
?2t ?2tSoitt?0,ona:e ?0,puis:e ?1?1,
alors,parstrictedécroissancedelafonction«inverse»sur]0;?1[,
1
?1
?2t1?e
?tEnmultipliantchaquemembrepar?4e ?0:
?t?4e ?t??4e
?2t1?e
Finalement,enajoutant1:
?tPourtoutréelpositift, f(t)?1?4e
b. Soitx?0.
Puisquel’intégraleentredesbornescroissantes«conservel’ordre»,
alors(d’aprèslaquestionprécédente):
Z Zx x? ??tf(t)dt? 1?4e dt
0 0| {z } | {z }
x?tF(x) t?4e[ ]0
? ?x?t ?x ?xt?4e ?x?4e ?4?x?4,care ?0.Onabien:0
pourtoutréelpositifx, F(x)?x?4
Puisque lim x?4??1,parcomparaison:
x!?1
lim F(x)??1
x!?1
R
R
R[LARÉUNION,SÉRIES,21JUIN2011\ 5
4. Puisquelafonction f estpaire,onpeutpenserquesaprimitiveF qui
s’annuleen0estimpaire,c’est-à-dire
8x2 ,F(?x)??F(x) () 8x2 ,F(?x)?F(x)?0
Pour cela, on considère la fonction définie sur par F(?x)?F(x).
Cette fonction est dérivable sur et sa dérivée est définie, pour tout
réelx,par ?f(?x)?f (x)?0 car f estpaire,alors:
Pourtoutx2 , F(?x)?F(x)?F(?0)?F(0)?0.AlorsF estimpaire.
Parimparité:
lim F(x)?? lim F(x)??1
x!?1 x!?1
Exercice4-nonspécialité-5points
PartieA-Restitutionorganiséedeconnaissances
? Unedistanceestlatraductiongéométriquedumoduled’unnombre
complexe.
Aveclesnotationsdel’énoncé,ona: AB?jb?ajet AC?jc?aj.
Si A6?B,l’affixec dupointC,imagedeB parunerotationdecentre
A vérifie: ? ?AC jc?aj c?a? ?
1? ? ?? ?
AB jb?aj b?a
? Un angle orienté est la traduction géométrique de l’argument d’un
nombrecomplexe.EnutilisantlarelationdeChasles:? ? ? ? ? ??! ?! ?! ?!
AB,AC ? u~,AC ? ~u,AB ?arg(c?a)?arg(b?a)?2kπ,oùk2 .
La différencedes argumentsest un argumentdu quotient,si A6?B,
l’affixec dupointC,imagedeB parlarotationdecentreAetd’angle
θ,vérifie: ? ?c?a
θ?arg ?2kπ,oùk2
b?a
Parconséquent,si A6?B,l’affixec dupointC,imagedeB parlarotation
decentre A etd’angleθ,vérifie:
c?a iθ iθ?e soit c?a?e (b?a)
b?a
Ladernièreégalitérestevalablesia?b,d’oùl’écriturecomplexedecette
rotation:
iθc?e (b?a)?a
PartieB
21. 2z ?6z?9? 0 est une équation du second degré dans à coeffi-
2cients réels dont le discrimantΔ??36?(6i) est négatif, alors cette
équationpossèdedeuxsolutionscomplexesconjuguées:
6?6i 3 3
z ? ? (1?i) et z ? (1?i)1 2
4 2 2
2. Figureàlafindel’exercice.
Z
R
R
R
R
C
Z
R6 [LARÉUNION,SÉRIES,21JUIN2011“
3. S est le symétrique du point R par rapport au pointQ signifie queQ
1
estlemilieudusegment[RS],c’est-à-dire:z ? (z ?z )soit:Q R S
2
? ? ? ?p p
z ?2z ?z ?3(1?i)? ?2i 3 ?3?i 2 3?3S Q R
04. L’écriturecomplexedelarotationr estz ?iz,alors:
p ? p ?
z ?iz ?2 3 et z ?iz ?3i? 2 3?3A R C S
05. L’écriturecomplexedelatranslationdevecteur3~v estz ?z?3i,alors:
p ? p ?
z ?3?2i 3 et z ?i 3?2 3B D
? ?
p p3 3 3
6. a. Oncalcule z ?z ?3?2i 3? (1?i)? ?i 2 3?B P
2 2 2
? p ? 3
puis, z ?z ? 3i? 2 3?3 ? (1?i)C P
? ? 2
p3 3
? i? 2 3?
2 2? ? ??
p3 3
? i ?i 2 3?
2 2
? i(z ?z )B P
Onabien
z ?zC P
?i
z ?zB P
b. ? D’après la partie A, le résultat précédent signifie que le pointC
π
est l’image du point B par la rotation de centre P et d’angle ,
2
alors:
letrianglePBC estrectangleetisocèleenP.
? Oncalculel’affixedumilieudusegment[AC]:
1 1 3
(z ?z )? (3i?3)? (1?i)?z .A C P
2 2 2
? Oncalculel’affixedumilieudusegment[BD]:
1 1
(z ?z )? (3?3i)?z .B D P
2 2
Finalementlesdiagonales[AC]et[BD]duquadrilatèreABCD sont
de même longueur, perpendiculaires et se coupent en leur milieu
P,alors:
ABCD estuncarré.[LARÉUNION,SÉRIES,21JUIN2011\ 7
4
B
C
3
2
P
1
S
A
?1 1 2 3 4
D
?1
Q
?2
?3
R
bbbbbbbbb8 [L