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Publié par | analyse-mpsi |
Nombre de lectures | 96 |
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Langue | Français |
Extrait
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013
Etude graphique
d’une
fonction
Exercice 1[ 01405 ][correction]
Etudier la fonction
f:x7→xp1−x2
afin d’en réaliser la représentation graphique.
Exercice 2[ 01406 ][correction]
Etudier la fonction
f:x7→x2e−x
en vu d’en réaliser la représentation graphique.
Exercice 3[ 01407 ][correction]
Etudier la fonction
3
f2 lnx+
:x7→
x
en vu d’en réaliser la représentation graphique.
Exercice 4[ 01408 ][correction]
Etudier la fonction
x2+x
→
f:x|7x|+ 1
en vu d’en réaliser la représentation graphique.
Exercice 5[ 01409 ][correction]
Soitf: ]0+∞[→Rdéfinie par
f ln( ) =x
x
x
Enoncés
Montrer quefadmet un point d’inflexion.
Etudier les branches infinies de la courbe représentative defet en donner l’allure.
1
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013
Corrections
Exercice 1 :[énoncé]
fest définie sur[−11]et impaire, étude limitée à[01].
fest de classeC∞sur[01[,
−
f0(x) = 1√1−−2xx22etf00(x) =x(2x23)
(1−x2)32
fprésente une inflexion en 0, tangentey=x.
fprésente un maximum enx= 1√2de valeur12.
f(1) = 0etf+∞y a une tangente verticale en 1.
0(x)x−→−1→, il
plot(x*sqrt(1-xˆ2), x=-1..1);
La fonctionx7→xp1−x2
Corrections
Exercice 2 :[énoncé]
fest définie et de classeC∞surR.
f0(x) =x(2−x)e−xetf00(x) = (x2−4x+ 2)e−x
fde valeur 0 et un maximum local en 2 deprésente un minimum absolu en 0
2
valeur4e .
fprésente des points d’inflexion en2 +√2et2√−2.
fprésente une asymptote horizontale d’équationy0en+∞.
=
fprésente une branche parabolique verticale en−∞.
f:=x->xˆ2*exp(-x):
a:=2+sqrt(2):b:=2-sqrt(2):
plot([f(x), D(f)(a)*(x-a)+f(a), D(f)(b)*(x-b)+f(b)], x=-1..5,
color=[red, blue, green]);
La fonctionx7→x2e−x
2
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Exercice 3 :[énoncé]
fest définie et de classeC∞surR+?.
f0(x) =−1−x22 lnx
x
f(x)
0
−∞
%
4
etf00(x) = lxn3x
1√e
2√e
&
+∞
0
En 0 :(Oy)est asymptote.
En+∞:(Ox)est asymptote.
En 1 :f00s’annule avec changement de signe, point d’inflexion.
L’équation de la tangente en ce point esty=−(x−1) + 3.
plot([(2*ln(x)+3)/x, -(x-1)+3], x=0..4, y=-1..4);
La fonctionx
2 lnx+ 3
7→
x
Corrections
Exercice 4 :[énoncé]
fest définie surRet dérivable (par opérations) surR?.
Par limite de taux de variation on constate quefest aussi dérivable en 0 avec
f0(0) = 1.
+
SurR,f(x) =xce qui achève l’étude surR+.
SurR−,
2+x
f(x) =x1−x
présente un minimum en1−√2de valeur2√2−3etfprésente une asymptote
d’équationy=−x−2, courbe au dessus.
plot([(xˆ2+x)/(abs(x)+1), -x-2], x=-5..2, y=-1..3);
x2+x
La fonctionx|→7x|+ 1
3
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Exercice 5 :[énoncé]
fest de classeC∞. Ses dérivées premières et secondes sont
f0(x) = 1−xl2nx,f00(x) =−x13−2 1−xl3nx=−3 +x32 lnx
On en déduit les variations suivantes
x
f(x)
0
−∞
x
f00(x)
%
−
e
1e
e32
0
&
+
+∞
0
La fonctionfprésente un point d’inflexion en e32.
Puisqueli0mf=−∞, il y a une asymptote d’équationx= 0.
Puisquel+im∞f= 0, il y a une asymptote d’équationy= 0.
f:=x->ln(x)/x:
a:=exp(3/2):
plot([f(x), D(f)(a)*(x-a)+f(a)], x=0..2*a, y=-2..1);
La fonctionx7→(lnx)x
Corrections
4
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