Sujet : Analyse, Nombres complexes, Nombres complexes

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Nombres complexes Exercice 1 [ 02025 ] [correction] z+1Soit z∈U\{1}. Montrer que ∈iR. z−1 Exercice 2 [ 02026 ] [correction] Soient P ={z∈C| Imz> 0}, D ={z∈C||z| 0 tels que|z| =r.0 0 On noteC le cercle dansC de centre z et de rayon r.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

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• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Nombres complexes

Exercice 1[ 02025 ][correction]
Soitz∈U {1}. Montrer quezz−1+1∈iR.

Exercice 2[ 02026 ][correction]
SoientP={z∈C|Imz >0},D={z∈C| |z|<1}etf:C {−i} →Cdéfinie
par
f(z) =zz−+ii
a) Montrer que tout élément dePà son image parfdansD.
b) Montrer que tout élément deDpossède un unique antécédent parfdansP.

Exercice 3[ 02027 ][correction]
a) Déterminer le lieu des pointsMd’affixezqui sont alignés avecId’affixeiet
M0d’affixeiz.
b) Déterminer de plus le lieu des pointsM0correspondant.

Exercice 4[ 02028 ][correction]
Calculer pourθ∈]02π[etn∈N,
n n
Cn=Xcos(kθ)etSn=Xsin(kθ)
k=0k=0

Exercice 5[ 02029 ][correction]
Calculer pourθ∈Retn∈N,
Cn=kn=X0kn!cos(kθ)etSn=kXn=0kn!sin(kθ)

Exercice 6[ 03458 ][correction]
Soientz0∈Cetr >0tels que|z0| 6=r.
On noteCle cercle dansCde centrez0et de rayonr.
a) Pourz∈C, montrer

z∈ C ⇔ |z|2−z0z¯−z¯0z+|z0|2=r2

Enoncés

b) En déduire que l’image deCpar l’applicationf:z7→1zest un cercle dont on
précisera centre et rayon en fonction dez0etr.

1

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Puisquez∈U, on az¯ = 1zdonc
+ 1z 1+ 1z ++ 1 1z
zz−1=z¯¯−1 1z−1 1−z=−zz−1+1
= =

puis

z+ 1∈iR
z−1

Exercice 2 :[énoncé]
a) Posonsx=Re(z)ety=Im(z).

x2+ (y−1)2
|f(z)|2=||zz+−ii||22x2+ (y+ 1)2
=

Siy >0alorsx2+ (y−1)2< x2+ (y+ 1)2donc|f(z)|<1. Ainsi,

∀z∈P f(z)∈D

b) SoitZ∈D.
Z=z−ii+11−ZZ
⇔z=
z+i
avec
¯ ¯
i1 +ZZ=i1 +Z−Z−ZZ|12I−m(ZZ|)2+i|11−|−ZZ||22∈P
=−
1|−1−Z|2

Ainsi,

∀Z∈D∃!z∈P f(z) =Z

Exercice 3 :[énoncé]
a)M=Iest solution.
PourM6=I,I M M0sont alignés si, et seulement si, i ue
I−−M→0=λI−M→i.e.iz−il existeλ∈Rtel q
z−i∈R.
Posonsx=Re(z)ety=Im(z).
Imizz−−ii= 0⇔x(x−1) +y(y−1) = 0⇔x−212+y−212=21.
1
e de centreΩ2e
Finalement le lieu des pointsMsolutions est le cercl12et d
rayon1√2.

Corrections

b) Le pointM0est l’image deMpar la rotation de centreOet d’angleπ2.
−2
Le lieu des pointsM0est donc le cercle de centreΩ0121et de rayon1√2

Exercice 4 :[énoncé]
CnetSnsont les parties réelles et imaginaires de

Ainsi

nXeikθ= ei(n+1)θ−1inθ2sin(n)21+θ
eiθ− e1 =
k=0sin2θ

n+1)θ
Cn= cosn2θnsiis(nn+θ2)1θetSn= sinnθsin(n2θ2
2si2

Exercice 5 :[énoncé]
CnetSnsont les parties réelles et imaginaires de
kn=X0n!eikθ= (1 + eiθ)n= 2nein2θcosnθ
k2

Ainsi

Cn= 2ncosn2θcosnθ2etSn= 2nsinn2θcosnθ2

Exercice 6 :[énoncé]
a) On a

et en développant

z∈ C ⇔ |z−z0|2=r2

|z−z0|2= (z−z0) (−z0) =zz¯−z0z¯−z¯ ¯
z0z+z0z0

b) Notons que0∈ Cpuisque|z0| 6=r. On peut donc considérer l’imagef(C).
SoitZ=f(z)avecz∈ C. Puisque

on a

|z|2−z0z¯−z¯0z+|z0|2=r2

¯
1−z0−z0z0|2−r2= 0
¯ +|¯
z z zz

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donc

ce qui se réécrit

Posons alors

et l’on obtient

1−z0Z−z¯0Z+¯|z0|2−r2|Z|2= 0

¯ ¯ 1
=
|Z|2−|z0|2z0−r2Z|−z0|2z0−r2rZ2− |z0|2

¯
z0
Z0=|z0|2−r2

¯r2
=
Z Z2
|Z|2−Z¯0Z−0+|Z0|2=r2−1|z0|2+|z0||2z0−|2r2 |z0|2−r2

2

Corrections

r
AinsiZappartient au cercleC0de centreZ0et de rayon||z0|2−r2|.
Inversement, en reprenant les calculs en sens inverse, on obtient que tout pointZ
deC0est l’image d’un certainzdeC.

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