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Publié par | analyse-mpsi |
Nombre de lectures | 277 |
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En savoir + Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
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Langue | Français |
Extrait
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013
Développement en séries entières
Exercice 1[ 00986 ][correction]
Former le développement en série entière en 0 de la fonction
x7→ln(x2−5x+ 6)
Exercice 2[ 00987 ][correction]
Former le développement en série entière en 0 de la fonction
x7→ln(x2+x+ 1)
Exercice 3[ 00988 ][correction]
Soient >a b0aveca6=b.
Calculercn, len-ièmeème coefficient du développement en série entière en 0 de
Exprimer
1
x7→(1−ax)(1−bx)
+∞
Xc2nxn
n=0
Exercice 4[ 00989 ][correction]
Pourt∈]0 π[, former le développement en série entière en 0 de la fonction
1−x2
x7→2
1−2xcost+x
Exercice 5[ 00990 ][correction]
Former le développement en série entière de
pour|z|<1ett∈]0 π[.
1−zcost
1−2zcost+z2
Enoncés
Exercice 6[ 00991 ][correction]
Pourα∈]0 π[, former le développement en série entière en 0 de la fonction
f:x7→arctan11−+xxt2naα
Exercice 7Centrale MP[ 00995 ][correction]
Réaliser le développement en série entière en 0 dex7→R+1∞t2d+tx2
cette fonction.
Exercice 8[ 00937 ][correction]
Former le développement en série entière en 0 de
x7→Z+∞e−t2sin(tx) dt
0
et reconnaître
a) en procédant à une intégration terme à terme.
b) en déterminant une équation différentielle dont la fonction est solution.
Exercice 9Mines-Ponts MP[ 02848 ][correction]
Pourx∈]−11[etα∈R, établir
n=+X∞1nxnsin(nα) = arctanxsinαα
1−xcos
Exercice 10Mines-Ponts MP[ 02857 ][correction]
Développer en série entière
x7→Z−x∞1 +tdt+t2
Exercice 11Mines-Ponts MP[ 02858 ][correction]
Développer en série entièref:x7→px+√1 +x2au voisinage de 0.
1
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Exercice 12Mines-Ponts MP[ 02859 ][correction]
a) Montrer, sit∈R:
n(it)k6(|tn|+n+11)!
eit−Xk!
k=0
b) Soitf∈ C0(RR)telle queR−+∞∞|tn| |f(t)|dtn>0soit bornée.
Montrer queF:x7→R−+∞∞eitxf(t)est développable en série entière en 0.
Enoncés
Exercice 13X MP[ 02975 ][correction]
Etant donné une suite complexe(an)n∈N?de carré sommable, on pose
∞
f(t) =Xna−nt
n=1
où la variabletest réelle.
a) Préciser le domaine de définition def.
b) Montrer quefest développable en série entière autour de 0.
c) Montrer que sifest identiquement nulle sur[−1212], la suite(an)n∈N?est
identiquement nulle.
Exercice 14[ 03346 ][correction]
[Développement en série entière de la fonction tangente]
Soit(an)n∈Nla suite réelle déterminée par les conditions
n
a0= 1et∀n>1 an+Xank!−k= 0
k=0
a) Calculera1 a2 a3.
b) Montrer que le rayon de convergenceRde la série entièrePanznest au moins
égal à 1.
c) Etablir que pour tout|z|< R,
+X∞anzn= 2
=0ez+ 1
n
d) En déduire que pour toutx∈]−R2 R2[,
e) Etablir
+∞
tanx=X(−1)p+1a2p+122p+1x2p+1
p=0
R=π
Exercice 15[ 03485 ][correction]
Former le développement en série entière de
f:x7→r11+−xx
Exercice 16CCP MP[ 03707 ][correction]
a) Pour quel réelx, l’intégrale suivante existe-t-elle
+∞
Z0x+dtet?
b) Donner alors sa valeur.
c) Montrer que
f(x) =Z+∞dt
0x+ et
est développable en série entière et exprimer ce développement.
Exercice 17CCP MP[ 00078 ][correction]
Soientx∈Retθ∈]0 π2[.
a) Calculer la partie imaginaire du complexe
sinθeiθ
1−xsinθeiθ
b) En déduire le développement en série entière de
f(x) = arctanx−nta1θ
Exercice 18CCP MP[ 02512 ][correction]
a) Quel est le domaine de définition de
S(x) =+X∞an
n
n=0x+
poura∈]−11[?
b) Déterminer la limite et un équivalent deSen+∞.
c) Développer en série entière
S(x)−1x
2
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Exercice 19CCP MP
Montrer que
[ 02525 ][correction]
f(x) = arctan(1 +x)
est développable en série entière au voisinage de 0 et donner son rayon de
convergence. Calculer cette série entière.
Exercice 20CCP MP[ 02506 ][correction]
Soita∈]−11[. On pose
+∞
f(x) =Xsin(anx)
n=0
a) Montrer quefest définie surR.
b) Montrer quefest de classeC∞et que pour toutk∈Net toutx∈R,
f(k)(x) 1|
61− |a
c) Montrer quefest développable en série entière.
Enoncés
3
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Corrections
Corrections
Exercice 1 :[énoncé]
En dérivant et en décomposant en éléments simples
(ln(x2−5x+ 6))0=(x−22x)(−x5−3) =x1−2 +x−=31−121−1x2−131−1x3
donc
−5x+ 6) = ln 6−n+X=∞1n31nxn
ln(x2211n+
avec un rayon de convergenceR= 2.
On peut aussi trouver ce développement en série entière en factorisant
ln(x2−5x+ 6) = ln(2−x) + ln(3−x)
Exercice 2 :[énoncé]
On peut écrire
ln(1−x3) = ln(1−x) + ln(1 +x+x2)
donc sur]−11[,
avec
+∞+∞
ln(1 +x+x2) =−+X∞1n x3n+Xn1xn=Xanxn
n=1n=1n=1
1
an= 1nsi[3]n+13n=−23n
n6= 0eta3n=−
Exercice 3 :[énoncé]
Par décomposition en éléments simples
(1−1a(a−b)+b(1b−ab)+∞bn+1−an+1n
ax)(1−bx) = 1−ax−xXb−a x
=
n=0
avecR= min (1a1b).
On a alors
+∞+∞
n=X0c2nxn(=b−1a)2X=0(b2n+2−2an+1bn+1+a2n+2)xn
n
4
donc
2ab a2bx
n=+X∞0c2nxn=(b−1a)21−b2b2x−1−abx+1−a2x1(=−a2x11)+(−xaba)(1−b2x)
Exercice 4 :[énoncé]
Par décomposition en éléments simples
donc
1−x21 1
1−2xcost+x2=− 11 +−xeit+1−xe−it
pour toutx∈]−11[.
1−x2 +∞
1−2xcost+x2= 1 + 2Xcos(nt)xn
n=1
Exercice 5 :[énoncé]
Par décomposition en éléments simples
1−zcost
1−2zcost+z212=1−(e1itz+)1−1e(−itz)
donc
puis
1−12z−czoscot+szt21=2+X∞(eint+ e−int)zn
n=0
+∞
1−12z−czscoot+szt2=Xcos(nt)zn
n=0
Exercice 6 :[énoncé]
En dérivant
f0(x) = (1−x)2tan(1+2+2αx)2tan22α
Par les formules de trigonométrie relatives à la tangente de l’angle moitié
f0(x) = 1−2xsisocnαα+x2
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Par décomposition en éléments simple
f0(x21==)ix−e1iα−x−e1−iα
Pourx∈]−11[, on obtient
f0(x2)=1in+=X∞0ei(n+1)αxn−n+X=∞0e−i(n+1)αxn!=n+X=∞xnsin(n+ 1)α
0
Enfin, en intégrant ce développement en série entière sur]−11[,
f(x) =+∞sin(nα)xn
2α+Xn
n=1
Corrections
Exercice 7 :[énoncé]
+∞
R+1∞t2d+tx2u==1tR110d+(uux)2=R01n=P0(−1)nu2nx2ndu. Pour|x|<1, il y a
arctanx
+∞(2−n1)+1nx2n=x
convergence normale pouru∈[01]doncR1+∞t2d+tx2=n=P0
.
Exercice 8 :[énoncé]
a) On a
sin(tx) =+X∞(−1)k)!t2k+1x2k+1
k=0(2k+ 1
A l’aide d’intégr