Sujet : Géométrie, Géométrie du plan, Produit scalaire et produit mixte

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Produit scalaire et produit mixte Exercice 1 [ 01911 ] [correction] Soient~u et~v deux vecteurs du plan.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

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• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Produit

scalaire

et

produit

mixte

Exercice 1[ 01911 ][correction]
Soientu~etv~deux vecteurs du plan. Développer

k~u+v~k2− ku~−vk
~2

Comment le résultat obtenu permet-il de calculer~u∙v~à l’aide d’un compas et
d’une règle graduée ?

Exercice 2[ 01913 ][correction]
Soient~uet~vdeux vecteurs du plan. Développer

Det(u~−u~~v+v~)

Donner une justification géométrique de ce résultat.

Exercice 3[
SoientA B C

01914 ][correction]
trois points du plan. Etablir
Det(A−→B A−→C) =Det(B−→B−→A) =Det(−C→A C−→B)
C

Exercice 4[ 01916 ][correction]
On suppose le plan muni d’un repère orthonormé direct.
Déterminer l’angle orienté entre les vecteurs~u(2−1)etv~(34).

Enoncés

1

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
ku~+v~k2− ku~−~vk2= 4~u∙~v.
En construisant les vecteursu~+v~etu~−~v(à la règle et au compas) et en
mesurant leur longueur on peut évaluer~vu~via la formule ci-dessus.

Exercice 2 :[énoncé]
Par bilinéarité et antisymétrie

Corrections

Det(~u−~uv~+v~) =Det(u~u~)−Det(~~u) +Det(u~v~)−Det(~vv~) = 2Det(v~u~)
v

Une construction géométrique permet de constater que le parallélogramme
construit suru~+~vt~−v~a mme orientation et une aire double du
eu
parallélogramme construit suru~etv~.

Exercice 3 :[énoncé]

donc

Det(A−→B A−→C) =Det(−B−→A A−→B+

B−→C)

−
Det(A→B A−→C) =−Det(B−→A A−→B)−Det(B−→A B−→C) = 0 +Det(B−→C B−→A)

De mme pour l’autre égalité.

Exercice 4 :[énoncé]
ku~k=√5,k~vk= 5,~u∙~v= 2et Det(~u∙v~) = 11>0donc

(~~vu5oasrc)c=√[252π]

2

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