Sujet Oraux : Mines-Ponts, Oraux Mines-Ponts Algèbre

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Exercice 1 [ 02648 ] [correction] Exercice 8 [ 02661 ] [correction] ?Soit G un groupe, H un sous-groupe de G, A une partie non vide de G. On pose Soit p un nombre premier. On note Z l’ensemble des a/b où (a,b)∈Z×N et pp ?AH ={ah/a∈A,h∈H}. Montrer que AH =H si, et seulement si, A⊂H. ne divise pas b. On note J l’ensemble des a/b où (a,b)∈Z×N , p divise a et pp ne pas b. a) Montrer que Z est un sous-anneau deQ.p b) Montrer que J est un idéal de Z et que tout idéal de Z autre que Z estp p p pExercice 2 [ 02649 ] [correction] inclus dans J .pSoit (G,.) un groupe fini tel que c) Déterminer les idéaux de Z .p 2 ∀g∈G,g =e où e est le neutre de G. On suppose G non réduit à{e}. Exercice 9 [ 02242 ] [correction]? nMontrer qu’il existe n∈N tel que G est isomorphe à ((Z/2Z) , +). ? 2Soient (n,p)∈ (N ) avec n>p, E et F deuxK-espaces vectoriels de dimensions respectives n et p, u∈L(E,F ) et v∈L(F,E) vérifiant u◦v = Id .F a) Montrer que v◦u est un projecteur. Exercice 3 [ 02654 ] [correction] b) Déterminer son rang, son image et son noyau. Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4n + 3. Exercice 10 [ 02662 ] [correction]√ √ √Exercice 4 [ 02656 ] [correction] Soit K =Q + 2Q + 3Q + 6Q.√ √ √Soient des entiers a> 1 et n> 0. a) Montrer que (1, 2, 3, 6) est uneQ-base duQ-espace vectoriel K.nMontrer que si a + 1 est premier alors n est une puissance de 2. b) Montrer que K est un sous-corps deR.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

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• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Enoncés

Exercice 1[ 02648 ][correction]
SoitGun groupe,Hun sous-groupe deG,Aune partie non vide deG. On pose
AH={aha∈A h∈H}. Montrer queAH=Hsi, et seulement si,A⊂H.

Exercice 2[ 02649 ][correction]
Soit(G )un groupe fini tel que

∀g∈G g2=e

oùeest le neutre deG. On supposeGnon réduit à{e}.
Montrer qu’il existen∈N?tel queGest isomorphe à((Z2Z)n+).

Exercice 3[ 02654 ][correction]
Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme4n+ 3.

Exercice 4[ 02656 ][correction]
Soient des entiersa >1etn >0.
Montrer que sian+ 1est premier alorsnest une puissance de 2.

Exercice 5[ 02657 ][correction]
Soit, pourn∈N,Fn= 22n+ 1.
a) Montrer, si(n m)∈N2avecn6=m, queFn∧Fm= 1.
b) Retrouver à l’aide du a) le fait que l’ensemble des nombres premiers est infini.

Exercice 6[ 02658 ][correction]
a) Pour(a n)∈Z×N?aveca∧n= 1, montrer queaϕ(n) [= 1n].
b) Pourppremier etk∈ {1     p−1}, montrer quepdivisekp!.
c) Soit(a n)∈(N?)2. On suppose quean−1 [= 1n]. On suppose que pour toutx
divisantn−1et différent den−1, on aax6 [= 1n]. Montrer quenest premier.

Exercice 7[ 02660 ][correction]
Sipest un nombre premier, quel est le nombre de carrés dansZpZ?

Exercice 8[ 02661 ][correction]
Soitpun nombre premier. On noteZpl’ensemble desaboù(a b)∈Z×N?etp
ne divise pasb. On noteJpl’ensemble desaboù(a b)∈Z×N?,pdiviseaetp
ne divise pasb.
a) Montrer queZpest un sous-anneau deQ.
b) Montrer queJpest un idéal deZpet que tout idéal deZpautre queZpest
inclus dansJp.
c) Déterminer les idéaux deZp.

1

Exercice 9[ 02242 ][correction]
Soient(n p)∈(N?)2avecn > p,EetFdeuxK-espaces vectoriels de dimensions
respectivesnetp,u∈ L(E F)etv∈ L(F E)vérifiantu◦v=IdF.
a) Montrer quev◦uest un projecteur.
b) Déterminer son rang, son image et son noyau.

Exercice 10[ 02662 ][correction]
SoitK=Q+√2Q+√3Q+√6Q.
a) Montrer que(1√2√3√6)est uneQ-base duQ-espace vectorielK.
b) Montrer queKest un sous-corps deR.

Exercice 11[ 02677 ][correction]
SoitKun corps,Eun espace vectoriel de dimension finiensurKetLun
sous-corps deKtel queKest un espace vectoriel de dimension finiepsurL.
Montrer queEest un espace vectoriel de dimension finieqsurL. Reliern p q.

Exercice 12[ 02678 ][correction]
SoientEunK-espace vectoriel,Fun sous-espace vectoriel deEetGun
sous-espace vectoriel deF. On suppose queGest de codimension finie dansE.
Montrer que
codimEG=codimEF+codimFG

Exercice 13[ 02680 ][correction]
SoitEetFdesK-espaces vectoriels. On se donnef∈ L(E F), une famille
(Ei)16i6nde sous-espaces vectoriels deEet une famille(Fj)16j6pde sous-espaces
vectoriels deF.

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Enoncés

a) Montrer
n n
f(XEi) =Xf(Ei)
i=1i=1
b) Montrer que sifest injective et si la somme desEiest directe alors la somme
desf(Ei)est directe.
c) Montrer
p p
f−1(XFj)⊃Xf−1(Fj)
j=1j=1
Montrer que cette inclusion peut tre stricte. Donner une condition suffisante
pour qu’il y ait égalité.

Exercice 14[ 02682 ][correction]
Soientf g∈ L(E)oùEest un espace vectoriel surKde dimension finie. Montrer
que
|rgf−rgg|6rg(f+g)6rgf+rgg

Exercice 15[ 02684 ][correction]
SoitEetFdes espaces vectoriels surKde dimensions finies ou non. Montrer que,
(E×F)?etE?×F?sont isomorphes.

Exercice 16[ 02685 ][correction]
Soita0 a1     andes réels non nuls deux à deux distincts. On noteFj
l’application deRn[X]dansRdéfinie par
aj
Fj(P) =Z0
P
?
Montrer que(F0 F1     Fn)est une base de(Rn[X]).

Exercice 17[ 03148 ][correction]
Soientϕ1     ϕpdes formes linéaires sur unK-espace vectorielEde dimension
finien>2.
Montrer que la famille(ϕ1     ϕp)est libre si, et seulement si,

∀(λ1     λp)∈Kp∃x∈E∀16j6p ϕj(x) =λj

Exercice 18[ 03286 ][correction]
Caractériser les sous-espacesFd’un espace vectorielEtels que

h−1(h(F)) =h(h−1(F))

Exercice 19[ 00734 ][correction]
SoientEun espace vectoriel de dimension finie etGun sous-groupe de GL(E)
d’ordre finin. Montrer
dimg∈\Gker(g−IdE)= 1Xtrg
n
g∈G

Exercice 20[ 02650 ][correction]
On noteVl’ensemble des matrices à coefficients entiers du type
bcabcdda
cdabbcad

etGl’ensemble desM∈Vinversibles dansM4(R)et dont l’inverse est dansV.
a) Quelle est la structure deG?
b) SoitM∈V. Montrer queM∈Gsi, et seulement si,detM=±1.
c) Donner un groupe standard isomorphe àGmuni du produit.

2

Exercice 21[ 02651 ][correction]
a) SoitGun sous-groupe de GLn(R)tel quePtrg= 0. Montrer quePg= 0.
g∈G g∈G
b) SoitGun sous-groupe fini de GLn(R),Vun sous-espace vectoriel deRnstable
par les éléments deG. Montrer qu’il existe un supplémentaire deVdansRn
stable par tous les éléments deG.

Exercice 22[ 02659 ][correction]
Soient des matricesA B∈ Mn(Z)telles quedetAetdetBsont premiers entre
eux.
Montrer l’existence deU V∈ Mn(Z)telles que

U A+V B=In

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Exercice 23[ 02679 ][correction]
Soientf g∈ L(R2)tel quef2=g2= 0etf◦g=g◦f. Calculerf◦g.

Exercice 24[ 02686 ][correction]
a) Soitfune forme linéaire surMn(R)vérifiant

∀A B∈ Mn(R),f(AB) =f(BA)

Enoncés

montrer quefest proportionnelle à la trace.
b) Soitgun endomorphisme de l’espace vectorielMn(R)vérifiantg(AB) =g(BA)
pour toutesA B∈ Mn(R)etg(In) =In. Montrer quegconserve la trace.

Exercice 25[ 02687 ][correction]
SoientA B∈ Mn(R)oùBest nilpotente et commute avecA. Montrer queAet
A+Bsont simultanément inversibles.

Exercice 26[ 02688 ][correction]
Soitωune racine primitivenème de 1. On pose

Fω(P) =√1nnX−1P(ωk)Xk
k=0

pour toutP∈Cn−1[X].
Montrer queFωest un automorphisme deCn−1[X]et exprimer son inverse.

Exercice 27[ 02689 ][correction]
Soientn∈N?,α1     αndes complexes distincts,A=diag(α1     αn)et

C(A) ={M∈ Mn(C) AM=M A}

Montrer que(Ak)06k6n−1est une base deC(A).

Exercice 28[ 02691 ][correction]
SoitAetBdansMn(R)semblables surC. Montrer queAetBsont semblables
surR.

Exercice 29[ 02693 ][correction]
Calculer
a1+x

oùx a1     anréels.



(x)

.
.
.

(x)

an+x

Exercice 30[ 02694 ][correction]
SoientA B C D∈ Mn(K)avecAC=CA. Montrer que
detDBAC= det(DA−BC)

Exercice 31[ 02695 ][correction]
SoitA∈ Mn(C)vérifiant pour toutX∈ Mn(C),

det(A+X) = detA+ detX

Montrer quedetA= 0puisA= 0.

Exercice 32[ 00708 ][correction]
Soit(A B C)∈ Mn(R)3tel que

C=A+B,C2= 2A+ 3BetC3= 5A+ 6B

Les matricesAetBsont-elles diagonalisables.

Exercice 33[ 01948 ][correction]
Trouver les matricesMdeMn(R)vérifiant

trM= 0etM3−4M2+ 4M=On

Exercice 34[ 01956 ][correction]
Soientn>2etA= (aij)16ij6n∈ Mn(R)oùaii+1= 1pouri∈ {1     n−1},
les autres coefficients étant nuls.
a) La matriceAest-elle diagonalisable ?
b) Existe-t-ilB∈ Mn(R)vérifiantB2=A?

3

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Exercice 35[ 02667 ][correction]
Montrer qu’il existe(a0Ƚ