Trois conferences sur la theorie analytique

Gérald Tenenbaum

Description

Trois conferences sur la theorie analytique et probabiliste des nombres Gerald Tenenbaum Journees Etat de la Recherche 7-9 decembre 2000 Universite Bordeaux 1

• sorte de formule de stirling de degre superieur


• preuve elementaire de daboussi


• formule asymptotique


• enonce de la solution


• breve description de la preuve initiale de selberg


• methode de l'hyperbole de dirichlet


• celebre theoreme d'ikehara

Sujets

• Tannenbaum

Informations

• Publié par: pefav
• Publié le: 01 décembre 2000
• Nombre de lectures: 31
• Langue: Français

Extrait

Trois conf´erences
sur la th´eorie analytique
et probabiliste des nombres
G´ erald Tenenbaum
´Journ´ees Etat de la Recherche
7-9 d´ecembre 2000
Universit´e Bordeaux 1´Journ´ees Etat de la Recherche
7-9 d´ecembre 2000
Universit´e Bordeaux 1
Convolutions et ´equations fonctionnelles :
sur la preuve ´el´ementaire de Daboussi
G´ erald Tenenbaum
1. Introduction
Myst´erieuse pendant des mill´enaires, la r´epartition des nombres premiers demeure un
sujet d’´etude actuel, sous-tendu par de redoutables questions m´ethodologiques, voire
philosophiques. Conjectur´e pendant plus d’un si`ecle, le th´eor`eme des nombres premiers,
soit
π(x)∼ x/log x (x→∞),
est rest´e source d’interrogations apr`es ses premi`eres d´emonstrations par Hadamard et La
Vall´ee–Poussin, en 1896. En effet, le remarquable succ`es, sur ce probl`eme, des m´ethodes
de l’analyse complexe semblait leur conf´erer une sup´eriorit´e intrins`eque sur celles de
l’arithm´etique ´el´ementaire, auquel le probl`eme, et mˆeme l’´enonc´e de la solution, se
rattachent.
La preuve analytique repose de mani`ere essentielle sur l’absence de z´ero de la fonction
zˆeta de Riemann sur la droite σ = 1. En outre, les th´eor`emes taub´eriens d´ evelopp´es par
Wiener au d´ebut des ann´ees 1930, et notamment le c´el`ebre th´eor`eme d’Ikehara (1931),
fournissent un cadre g´en´eral dans lequel le th´eor`eme des nombres premiers et l’assertion
sur les z´eros de ζ(s) apparaissent de mani`ere ´eclatante comme des propositions ´equiva-
lentes. Cela a induit l’id´ee qu’en un certain sens la th´eorie des fonctions analytiques ´etait
plus profonde que l’analyse r´eelle et qu’il ´etait hautement improbable, pour ne pas dire
impossible, de parvenir au th´eor`eme des nombres premiers par de simples manipulations
d’in´egalit´es.
Ainsi, le th´eor`eme des nombres premiers apparaissait comme irr´eductible, pour sa
d´ emonstration, au cadre naturel dans lequel on pouvait l’´enoncer — une frustration qui
engendrait bien des sp´eculations m´eta-math´ematiques !
En 1921, Hardy exprimait ainsi, lors d’une communicational` asoci´et´e math´ematique de
Copenhague, l’opinion suivante : Aucune preuve ´el´ementaire du th´eor`eme des nombres
premiers n’est connue et l’on peut se demander s’il est raisonnable d’en attendre une.
Nous savons maintenant que le th´eor`eme est essentiellement ´equivalent `aunth´eor`eme
concernant une fonction analytique, a` savoir que la fonction zˆeta de Riemann ne poss`ede
pas de z´ero sur une certaine droite. Une d´emonstration d’un tel r´esultat fondamentalement
ind´ependante des id´ees de la th´eorie des fonctions me semble extraordinairement impro-
bable. Il est hasardeux d’affirmer qu’un th´eor`eme math´ematique ne peut ˆetre d´emontr´e
d’une fa¸ con ou d’une autre, mais un point paraˆıt acquis. Nous avons un certain regard
sur la logique de la th´eorie ; nous pensons que certains th´eor`emes, sont, comme on dit,
plus profonds, alors que d’autres gisent plus pr`es de la surface. Quiconque produirait une

2 G. Tenenbaum
preuve ´el´ementaire du th´eor`eme des nombres premiers d´emontrerait par lam` ˆeme que ces
vues sont fausses, que le sujet n’est pas agenc´e de la mani`ere dont nous le supposons et
qu’il est temps de se d´ebarrasser des livres et de r´e´ecrire la th´eorie.
Ce fut donc un grand choc lorsqu’en 1949 Erd˝ os et Selberg produisirent une preuve
(1)´el´ementaire, mais certainement astucieuse et nullement facile, du th´eor`eme des nombres
premiers — rendant ipso facto caduques toutes consid´erations sur les profondeurs relatives
des m´ethodes de l’analyse complexe et de l’analyse r´eelle. L’outil essentiel est ici la formule
asymptotique
2(log p) + log plog q =2xlog x + O(x),
px pqx
aujourd’hui c´el`ebre sous le nom d’identit´e de Selberg. Cette relation peut ˆetre vue comme
une sorte de formule de Stirling de degr´e sup´erieur : au lieu d’employer la fonction de von
Mangoldt Λ(n) qui v´erifie Λ(d) = log n, on introduit une nouvelle Λ (n)2d|n
2satisfaisant `a Λ (d) = (log n) et l’on ´evalue sa fonction sommatoire a` partir d’un2d|n
2calcul approch´e´el´ementaire (et facile !) de (log n) . La proc´edure est semblablenx
`a celle employ´ee par Tch´ebychev pour estimer (sans toutefois parvenir `a une formule
asymptotique) la valeur moyenne de Λ(n)`a partir d’une forme faible de la formule de
Stirling.
Voyons rapidement les d´etails de l’approche de Tch´ebychev. Nous supposons connue
la d´efinition de la convolution de Dirichlet et nous notons 1 la fonction arithm´etique
constante ´egale a1` ,μ la fonction de M¨ obius, et δ la fonction qui vaut 1 en n = 1 et 0
pour tout n>1. On a log = Λ∗ 1, donc
x
(1) log n = Λ(d) .
d
nx dx
Le membre de gauche vaut xlog x− x + O(x). En introduisant

0(0 u<1),
χ(u):=[u]−2[u/2] =
1(1 u<2),
on obtient
χ(x/d)Λ(d)=xlog 2 + O(log x),
nx
d’ou` l’on d´eduit facilement un encadrement pour la fonction de Tch´ebychev

ψ(x):= Λ(d),
nx
soit
x ψ(x) x (x 2).
En reportant dans (1), on obtient en particulier
Λ(d)
(2) = log x + O(1) (x 2).
d
dx
Dans le cas de Λ , on montre ais´ement que2
⎧
2 j⎨(2j− 1)(log p) (n = p ),
j k(3) Λ (n)=Λ∗ Λ(n)+Λ(n)log n = 2log plog q (n = p q ),2
⎩ (2)0( ω(n)=1,2).
1. Au sens ou` elle n’utilise pratiquement aucun outil sophistiqu´e d’analyse `a l’exception des
propri´et´es du logarithme.

Sur la preuve ´el´ementaire de Daboussi 3
Un calcul standard, reposant sur la m´ethode de l’hyperbole de Dirichlet, permet par
ailleurs d’´etablir que, pour des constantes convenables a et b,

1 2 3/41∗ 1∗ 1(n)= x(log x) + axlog x + bx + O(x ),
2
nx
ce que nous pouvons r´e´ecrire sous la forme

3/4H(x):= h(n) x
nx
2avec h := 2(1∗1∗1)+A(1∗1)+B1−(log) et ou` A et B sont des constantes ad´equates.
Or, en introduisant la fonction μ de M¨ obius et en faisant appel `a l’identit´e de convolution
classique 1∗ μ = δ, nous pouvons ´ecrire
2Λ = μ∗ (log) =2(1∗ 1)+A1 + Bδ− h∗ μ.2
Donc
x
Λ (n)=2 + Ax + B + μ(d)H(x/d)2
n
nx nx dx

3/4(4) =2xlog x + O x + (x/d)
dx
=2xlog x + O(x),
Le gain (capital) du`ˆ a l’introduction de l’exposant 2 est que la technique produit ici
directement une formule asymptotique.
En utilisant l’identit´e de Selberg, Erd˝ os a prouv´e´el´ementairement que le rapport
p /p de deux nombres premiers cons´ecutifs tend vers 1. Il a mˆeme ´etabli que, pourn+1 n
toutδ>0etx>x (δ) il existe entre x et x + δx au moins c(δ)x/log x nombres premiers,0
o`u c(δ) est une constante positive ne d´ependant que de δ. Cela fournissait le pendant
local de la r´egularit´e globale mise en ´evidence par la formule de Selberg, et il n’est gu`ere
surprenant, du moins a posteriori, qu’une preuve ´el´ementaire du th´eor`eme des nombres
premiers ait pu r´esulter de la conjonction de ces deux informations : Selberg effectua la
liaison finale deux jours seulement apr`es qu’Erd˝ os lui ait communiqu´e sa preuve. Quelque
temps plus tard, les deux math´ematiciens simplifi`erent ensemble l’argument. La nouvelle
preuve n’utilisait plus directement le r´esultat d’Erd˝ os mais reposait fondamentalement
sur les mˆemes id´ees.
Ces id´ees sont pr´esentes, sous une forme ou une autre, dans toutes les d´emonstrations
´el´ementaires du th´eor`eme des nombres premiers. On peut dire grosso modo qu’il s’agit
de mettre en ´evidence des ´equations ou des in´equations fonctionnelles. La signification
profonde d’une ´equation/in´equation fonctionnelle est celle d’une tendance lourde `ala
r´egularit´e : chaque solution est attir´ee vers une des solutions fondamentales dont elle
adopte le comportement asymptotique. La technique adapt´ee consiste a` montrer que des
estimations pr´eliminaires (souvent grossi`eres) sont suffisantes pour imposer `a la solution
´etudi´ee d’appartenir au domaine d’attraction requis.
Nous nous proposons ici de donner une br`eve description de la preuve initiale de
Selberg et une description plus compl`ete de la d´emonstration ´el´ementaire de Daboussi
(1984). Nous verrons en particulier que les d´etails sont sinon plus simples, certainement
plus naturels dans le second cas. Ils constituent non seulement un prototype exemplaire
d’utilisation des ´equations fonctionnelles en th´eorie ´el´ementaire des nombres mais le
fondement d’une v´eritable m´ethode ou` apparaissent en pleine lumi`ere certaines des
id´ees actuelles de la discipline : convolutions de fonctions arithm´etiques, crible, solution