Université de Lille

Gwénaëlle Castellan

Description

• fiche - matière potentielle : n

Université de Lille 1 U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées IPE Math 306 Année 20092010 Fiche n o 3 Variables aléatoires discrètes Ex 1. Un secrétaire appelle n clients au téléphone. La probabilité que chaque client réponde est p, et chaque client est supposé répondre indépendamment des autres. 1) Quelle est la loi de X1, nombre de clients joints au premier essai ? 2) Trouver par le calcul la loi de X2, nombre de clients joints au deuxième essai. 3) Retrouver ce résultat par un raisonnement direct. 4) Quelle est la loi de X1 +X2 ? Ex 2. Contrôleur contre fraudeur Une compagnie de métro pratique les tarifs suivants. Le ticket donnant droit à un trajet coûte 1e ; les amendes sont fixées à 20e pour la première infraction constatée, 40e pour la deuxième et 400e pour la troisième. La probabilité p pour un voyageur d'être contrôlé au cours d'un trajet est supposée constante et connue de la seule compagnie (0 < p < 1). Un fraudeur décide de prendre systématiquement le métro sans payer jusqu'à la deuxième amende et d'arrêter alors de frauder. On note T le nombre de trajets e?ectués jusqu'à la deuxième amende (T est le numéro du trajet où le fraudeur est contrôlé pour la deuxième fois).

• navire de pêche


• formule explicite pour la somme de la série entière


• naufrages des di?érents navires


• loi uniforme


• probabilité


• variable aléatoire


• approximation poissonnienne de la loi binomiale

Sujets

• Université de Lille
• Navire de pêche
• Loi uniforme
• Probabilité
• Variable aléatoire

Informations

• Publié par: profil-urra-2012
• Nombre de lectures: 74
• Langue: Français

Extrait

n
p
X1
X2
X +X1 2
e e e
e p
0 < p < 1
T
T
q = 1 p
T
2 k 2P (T =k) = (k 1)p q ; k 2:
n2N P (T >n)
+1X
k 1f(x) := x ;
k=n+1
P (T > 60)
p = 1=10 p = 1=20
haquerouvleeruparconleunecalculU.F.R.lafois).loiondredeelleTal?atoires2)Appliqu?es,lanomfraudeurbreprobabilit?delaclienctsprobabilit?joinontsdeau092010de3)uxi?mequanessai.tra3)deRetrouvtraeprautres.cetrr?sultattrpestarestunonderaisonnemenPt,direct..4)parQuellepestti?relaoloiAnnde?e?tessais'inerlorsquepremiLilleaueectu?s?ameExQuelle2.um?roCono?trcon?leularnoteconttrefairefraudeurjetUne1)compagnierdedempar?troos?pratiqueclienles,tarifstsuivqueanuts.t?l?phone.Letsticsecr?tairekationetourradonnanherctuledroitla?s?rieunExtraVjetheco?tee1ptssa;?lesnamendesMathson(pt?x?estit??Math?matiques20etjoinersit?pjetsourjusqu'?ladeuxi?mepremi?reninfraction(constat?e,est40ntsdupjetourlelaestdtr?l?eouruxi?medeuxi?meetOn4001)cliendesplaourdelauntroisi?ame.sansLatr?le.probabilit?Mondeepqueourloiunendammenvdonn?eoind?pyr?pageursuppd't?trehaqueconettr?l?estaur?pcourscliend'unctra2)jetoestrsuLappauos?ecalculerconstanclienbreapp.UnconnIndicue:deplcommenceracseulehercompagnieform(explicitenomour,sommedelaloienla1.).discr?tesUnariablesfraudeur3d?cidendeFicprendre20syst?matiquemen?tpuisleom?trorsansd?rivpatermeyterme.erCalculerjusqu'?um?riquemenla306deuxi?meIPEamendeetetourquoid'arr?tert?resse-t-onalorscettede-frauder.?)OnPuresnotedeest1lelorsquenomdebreUnivdeteetX F
y
1
0; 7
0; 6
0; 45
0; 3
0; 1
x1 0; 2 1 2 3; 5
F X
P (X 1); P (X = 0;2); P(X = 0;3); P (X 0;2);
P (X > 2); P (X2 [1; 1;5]); P (X2 [1; 2]); P (jXj> 1):
X
F X
+p2]0; 1[ 2R N

p
1 p
X
X
p
2(k;n)2N P (X =kjN =n) X
2(k;n)2N P (N =njX =k)
X N X
=
def.d.r.ded'uneunegraphiquealeursur?dourpr?tationtoutteral?atoiInein3.mati2)pLa,voiariablefourniesal?atoirereExeest-ellet?Ildensit?e?trer3)deCalculeraluer,lansomm1eQuelledesEvsautsexploitandegraphique,Maths...etLa.vnomariablecal?atoireU.F.R..est-elleendivisiscr?tes?.Exa4.binomiM?lange50de2)loisour(discr?tes)deSoient?et.lille1.fr/~ipeisFhttp://math.univ-deIlallelaLipet1)dapt?lesdeparl'examenlesU.S.T.probabilit?s.MonLequenomprobabilit?breral?atoireSoit01/05)ledebrevisiteursvisiteursd'unhoisissancertainl'ailempus?etureest1)suppestos?tsuivre50latloiurdecePnoissonMondequeparam?tresuitLaloi.aleLesparam?tresvisiett.eEvurpstoutcfonctionhoisir?partitiossrepr?seneguren1tFig.vsononctiondeuxr?partitionariables.atoiresestendanlpagede(A?3)einaluer,tureourv.a.aEnvtecinformationsla,probabilit?ceariabledonneretvl'ailedessuivsculpture4)tarvanectes.laind?ptendam-vmenal?tind?pl'tes.aile26pX Y
k kk2N P (X = k) = a(1 a) P (Y = k) = b(1 b) a b
]0; 1]
min(X;Y )
X FX
Z = min(X;c) c
Z
X f Z
X f
y
0; 5
1=3
x02 1 2
f X
P (X 2); P (X = 1); P(X2 [ 2; 0]);
P (X > 1); P (X 1); P (jXj> 1):
X
X [0; 1] Y

X(!) X(!)2 [0; 1=4][ [3=4; 1];
Y (!) :=
1 X(!) X(!)2]1=4; 3=4[:
Y
Z :=X +Y
Z
=
ettationdeduti?res,graphiquenid'uneedensit?D?terminerLatoutval?atoireariableleal?atoireariabl.ra?l?mpfonctionourrpdensit?surlaariablefonctionparI.Ptrepr?senSoitt?etellesgurede2our.Quelleterpr?Tlille1.fr/~ipeislaIn,7.etEx3?vhttp://math.univ-loiLicence.densit?la?d?nieencoreespaceestfonctionFig.re2euneDensit?Ex?.endandeablelavv.a.loideque1)tsEntexploitanlat?leserinformationsr?partitionfourniesariablep,arvceergraphique,nidonnerdensit?.lesSoitvunealeursariableide6uniformesuivOnanvtes.aleurslovlaal?atoirequesurest-cem?me,r?partition200910dedensit?derr?elluoioal?apsiavExende6.loi.laind?pSites,2)al?atoire.i5.adelar?partitionsidelaon.fonctipladeCalculeren1)deuxr?el.1)unestestloiSoiensono?2)trouvetladeuxdevdeariablesval?atoiresal?atoire?et2)o?D?termineretla?fonctionidequer?partitionn'estdediscr?teose?.pageEx8.desprobabilit?sX
!!
AO;AM U
] =2;=2[ AO 1 X M
!~ ~(O;i ) OM = Xi
U U = 0 M O
=2<U < 0 M O
A
U
~i
O M
M
X U
x P (Xx)
X
X
P (jXj 1)
X a> 0
F
X
F G
U [0; 1[ Y :=
G(U) Y
lnU a> 0
a
(8; 5; 4)
Y = aX +b
a b 1=2
8 3=4
=
constructiongureaitestsuivfaiteque,ppourOntrigonom?trique.panositif.expliquerPd?nitourlasensanelenotedansa,3)t?slaco?ncideoiainvdeenotescal?atoirelevpeoinU.F.R.tuneorienuneetinp?ourcettvsonuniformeanglesoseLesQuelle.4):sut?reconsid?rer,unereptielleestsuppr?l?loigauc.heunydelesded'une.ExdroiteourlaennesurItLindeoiSurFig.alle3bijectivsaConstruction,detervp.1)al?atoireExprimezunedu3enOnfonctiont?ede?issela.gr?ce2)ourPourquoiourill'absctr?el,ariablecsimalculezariableestexpetparam?treaut11.vquedistanceconLade.tOndeobtiendetQuelleainsiplatfonctionlade?r?partitioneutdeola?vsfariableUnal?a.tlille1.fr/~ipeisoi?tudianremor?ellev.de.et3)?rieureExpliquezvpdeourquoipla2)loiqueldetervsurmaximalestest-elle?edensit?D?termineretr?ciprocL'anglealculezsurcetteindensit?.alle.QueSoitreconnaissezunevariableoussuivainsit?loi4)surQuellegureest.lapv?aleurrepr?sendelauniforme.loiestdeleder?atoiPal?conclure,?pCetteilquestionetpesteutt?ressanseder?soudreal?atoireavvoureculerouvsansal?atoirel'aideloivariableonenladepageune,On.Ex10.OnSimoseulationlesSoitd'un,tuneevprobabilit?ariableenal?atoireunesuivnormaleanparam?trettrigonom?trieuneeuloi1)expestonenprobabilit?tielleourde?tudianparam?tred'aradiansoirenmomesureenne,2)etvdonam?liorertnontnotesourl'aidelatranfonctionormationdepr?partition.9.1)Maths.ExpliquerD?terminerpetourquoiponqu'unnetplaeutypasautiliserecdirectemenprobabilit?thttp://math.univ-lelleth?or?meune3.43supp?ourasimeculerprobabilit?laU.S.T.loides.pr?c?den4tes.6ExF
0;001
X
X
P (X = 10) X
0;999
500
p Tr
r Tr
(n + 1) n n2N X Y
X Y =k k2Z
X =Y X >Y
=
14.ysurenneetdel'approsonminimtra.jetp?Lasonjetlieujouende.tralavfaitauneilrepr?senestr?s).25l'onminhine.utesjetsetloissonB.?cTarsont-tompagnieypdeseen10cesminyutes.monQuellepestcompagnielaetprobabilit?cqu'ilhearrivseeariableaqu'ilv.anectcens?s9hamen?essurilson12.lieuloide8h30.traunev.aille?la2)aUnAautrecesemploeectueryts?,?rieureF,:doitdeutiliserquecons?cutivvemendetvdeuxemplomotyr?sultatensprodejetstransp?rioortppUnourvseonrendre?gale?emensonourtraloivjoueursail.ouIlAprendBle).trainbre?t8h20,it?etoursonprobabilbus200910d?marreer?de8h45.EvLailedur?eutilisanmoximationydeenneLadebsond?cemtrar?servjetaleteauxnantraindansestbien23s'?levminesutesqu'elleet,totalit?d'autrebpartv,babilit?laEprobabilit?Indicqueutilisanceptraloijetqu'ildurer?serventtred'un18nometvires.28fusionneminuneutestiqueestvires0,6828.bri?vLaquestiondur?etermou.ymacenne?dedessonufactur?straqu'enjetdeenlabusqu'unestd?fectueux14Ominoseuteslaetcetsonla?cart-t1)ypnomedeestsucc2eectuerminendanutes.CalculerQuelind?pest15.l'?cart-tetyp?eadupi?cestraetjetpi?cesenpi?cestrainson?tQleuedelleectivestAlaCalculerprobabilit?questionque,.jetsarrivCalculerequea,v1)anrouvtla9hexactesurLason2)lieualuerde?tradomicvenailt?appro3)deSeulsloiEquitteet3)Fconremtourseun31ebre,cl?sesdees,leurvlieueurdeba-traassur?svyail.tQuellenaufrageestl'ann?e.lacomprobabilit?doivquetcetteeragencr?servenanci?resouvreourapuissevlaandetrem9hoursemen?a4)ecM?mepro-questionsupdans?l?'h?ypationoEntth?ximationseoissonnienneo?lailsbinomiale,doivtrerensuttces?treespr?sententlasaleurtoustr?sdeuxetitpbreournal'ouv4)erture.compagnieEnatra?nemenectautresuppl?menidentaire(facultatifnaExassu-13.ReprendreAssurancesemenmaritimeslaet3)conccommenelenobtentrationExduUnecapitalhine-outilUneduitcompagnielad'assuranceha?nesobassuremanuneetottesaitdep500denamarcviresnormaledeprobabilit?pour?cobhesoitvestalan.tncprophacunde1?riermillionmacd'euros.?Leeet,risqued?nitassur?veal?atoirests.taulbreaumppr?l?vertetstotaleessifsdufautnapvireamenerquiobestd?fectueux.unla?vde?nemen?tretExdeDeuxprobabilit?AI.PBlille1.fr/~ipeisthttp://math.univ-pilepfaceourvunedesann?e.?quilibr?es.Leslancenaufragesnormalesdesdesdi?renettssuivrena(virestsonexercicetSoienconsid?r?scetcommedansind?pnomendanal?atoiredur?efaces.respationsemenOnparourretpage1)molaprobabilal?atoireque?galeestautnompbredondetrana2)vireslapit?erdusLeseExnqueune?.ann?e.ts.IndicOn:notepLicencea65variablelanX
i n i nC C =C ;p q p+q
i=1
Z =n Y
N

ke
P (N =k) = k2N
k !
p
S
S p
X a
Y = [X]
Y Z :=X Y
=
vM?langePdelaloissuivOnhetssupMonoseSoitqueelelille1.fr/~ipeisnomestbrede.suitd'outilisereufsariableploiondusluipartuno?insectepartiesuitlleunepartieloiandequePloioissondedeExparam?treuneer:tatoironenal?.variablecielaal?atoireintervenirMaths.eIfaircrosoittti?re.e)loi?Quelled?montrdel'avoirLi?ssurviv(aprts.suivantetrerOnlasuppuneosede?galeoissonmenparam?tret.qu17.esoitlavprobabilit?al?atoideed?vanrmuleune16.exppagetiellExdeparam?treoOneufassoestlaoariableetdiscr?queelesU.F.R.ohttp://math.univ-eufs,sonlestcmd?signenutuellemenlatenind?pQuelleendanlats.deOn?noteestfloilelanomfractionnairebreU.S.T.(al?atoire)elopp?emen6t6d'un