Universite de Nice SL2M Algebre

Description

Universite de Nice SL2M 2009-10 Algebre 2 Matrices symetriques reelles. 4. Calcul matriciel 4.1. Application bilineaire symetrique associee a une matrice symetrique. On considere une matrice symetrique A dans Mn(R). On appelle B la base canonique (e1, . . . , en) de Rn. (1) A une telle matrice est associee une application lineaire f de Rn dans Rn. Si ~x est un vecteur de Rn, on note X la matrice colonne de ses coordonnees dans la base canonique B. Le produit de matrices AX est une matrice colonne qui est la matrice dans la base canonique B d'un vecteur ~y de Rn. Ce vecteur est l'image de ~x par f . (2) A une telle matrice est associee une application bilineaire symetrique de Rn ?Rn dans R. On considere deux vecteurs ~x et ~y de Rn de matrices respectives X et Y dans la base B. Le produit de matrices tY AX est une matrice 1? 1, c'est-a-dire un reel. Remarquons que ce reel est le produit scalaire ?~y | f(~x)?. On notera ? l'application ? : Rn ?Rn ?? R (~x, ~y) 7?? ?~y | f(~x)?. On note que, puisque A est symetrique, tY AX = tX tAY = tXAY.

• produit scalaire


• application directe des proprietes du rang et du determinant


• matrice symetrique


• symetrique ?


• base orthonormee


• rn ?rn ??


• rang

Sujets

• Produit scalaire
• Matrice symétrique
• Base orthonormale

Informations

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Extrait

Universit ´ edeNice 2009-10

Matricessyme´triquesr´eelles.

SL2M Alg ` ebre2

4.Calcul matriciel 4.1.tairecyseea`numee.m´etriqucitapAlpinilnbiosyreai´euqirte´m´icossaeOnconse`dier n une matriceequm´syrietAdansM n (R). On appelleBla base canonique (e 1 , . . . , e n ) deR. ` n n (1)Aunetellematriceestassoci´eeuneapplicationlin´eairefdeRdansR. Si~xest un n vecteur deR, on noteXcecirtamedennololaeubasanalsnoqicenaoordsesceesdonn´ B. Le produit de matricesAXest une matrice colonne qui est la matrice dans la base n canoniqueBd’un vecteury~deR. Ce vecteur est l’image de~xparf. n n ` (2)Aunetellematriceestassocie´euneapplicationbiline´airesyme´triquedeR×RdansR. n Onconsid`eredeuxvecteurs~xet~ydeRde matrices respectivesXetYdans la baseB. t Le produit de matricesY A Xest une matrice 1×c’1,riuerne´se-ta`d-quonsqueel.Remar cer´eelestleproduitscalaireh~y|f(~x)i. On noteraφl’application n n φ:R×R−→R (~x,~y)h7−→~y|f(~x)i. On note que, puisqueA´mysirte,euqste t t t t Y A X=X A Y=XA Y. On a doncφ(~,xy~) =φ(x~y,~), soit encoreh~y|f(~x)i=hf(y~)|~xi. Espace vectoriel euclidienEDans la baseB ~xX y~Y f:E−→E Aictrarec´reeman×n y~=f(~x)Y=AX t t h~x|y~i=h~y|~xiY X=XY t t t t h~y|f(~x)i=hf(~x)|~yiY A X= (AX)Y=X A Y

5.uestriqym ´ eressniliiae ´ roFbsem Danscettesectionone´tudielesapplicationsbiline´airessyme´triques φ:E×E−→R (~u,~v)→7−φ(~v~,u). o`uEest un espace vectoriel surRC.t’lsemoemd’arpaceeeesriv´Ron appelle une telle application formebilin´eairesyme´trique. 5.1.Lemme.eirean´liacitnoibnuaeppilnsid`ereOncoφcomme ci-dessus qui est de pluspositive, c’est-a`-dire ∀v~∈E φ(,v~v~)≥0. L’ensemble des vecteurs~vdeEtels queφ(~v~,v) = 0est unsous-espace vectorieldeE. C’est aussi le sous-ensemble {v~∈E| ∀~w∈E φ(w~v,~) = 0}