Universite des Sciences et Technologies de Lille U F R de Mathematiques Pures et Appliquees

Description

• cours - matière potentielle : des n epreuves


• fiche - matière potentielle : no

Universite des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathematiques Pures et Appliquees IS-Math314 Annee 2005-2006 Fiche no 1 Ex 1. Soit (X1, X2) un vecteur aleatoire de R2 admettant la densite de probabilite f(x1, x2) = 4 pi exp ( ?(x21 ? 6x1x2 + 25x 2 2) ) . 1) Quelles sont les densites marginales de (X1, X2) ? Les variables aleatoires X1 et X2 sont-elles independantes ? 2) Soient a et b deux reels tels que a 6= 0. On definit un nouveau vecteur aleatoire de R2 par (Y1, Y2) := (aX1 + bX2, X2). Ce vecteur admet-il une densite, et si oui, laquelle ? Ex 2. Covariances d'une loi multinomiale1 On considere une suite de n epreuves repetees independantes, chaque epreuve ayant k resultats possibles r1, . . . , rk. On note pi la probabilite de realisation du resultat ri lors d'une epreuve donnee. Par exemple si on lance n fois un de, k = 6 et pi = 1/6 pour 1 ≤ i ≤ 6. Pour 1 ≤ i ≤ k, notons Xi le nombre de realisations du resultat ri au cours des n epreuves. 1) Expliquer sans calcul pourquoi Var(X1 + · · ·+ Xk) = 0.

• variable aleatoire


• vecteur aleatoire de r2 admettant la densite de probabilite


• loi multinomiale1


• var


• resultat en developpant var


• probabilite de realisation du resultat


• densite

Sujets

• Variable aléatoire
• Densité

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• Langue: Français

Extrait

IS-Math314

Universit´e U.F.R. de

des Sciences et Mathe´matiques

Technologies de Lille PuresetApplique´es

Anne´e2005-2006

o Fiche n1 2 Ex 1.Soit (X 1 , X 2 tcuear´l)nueveeatoiredRadmettisnede´tnatedal´eitobprilab   4 2 2 −6x x+ 2 f(x 1 (x 1 , x 2 ) =exp− 1 2 5x 2 ). π 1)Quellessontlesdensite´smarginalesde(X 1 , X 2 airaselbe´laiotares)?svLeX 1 et X 2 elisdne´epdnnaets?sont-el 2) Soientaetbslee´rxueuqsletdea6eotaederiuaevuoevar´ltcueOnd´=0.tunnefini 2 Rpar (Y 1 , Y 2 ) := (aX 1 +bX 2 , X 2 e?lleuqal,iuoiste,densit´eet-ilunetcuearmd.)eCev 1 Ex 2.Covariances d’une loi multinomiale Onconsid`ereunesuitedenpe´endsis,teannde´euqahcyaevuerpant´epse´rervu´teepee´k r´esultatspossiblesr 1 , . . . , r k . On notep i aplbaroilibde´te´resilatltae´usdnrutaoir i lors d’unee´preuvedonne´e.Parexemplesionlancen,fiousdne´k= 6 etp i = 1/6 pour 1≤i≤6. Pour 1≤i≤k, notonsX i r´delieanolerembtasdontisaltsu´eurr i au cours desnuvesepre´. 1) Expliquersans calcul pourquoi Var(X 1 +∙ ∙ ∙+X k ) = 0. 2) Quelleest la loi deX i ? Que vaut sa variance? 3) Pouri6=j, donner la loi et la variance deX i +X j . 4)End´eduireCov(X i , X j ). 5)Controˆlercere´sultatende´veloppantVar(X 1 +∙ ∙ ∙+X k irelisantla)perteemniu`te question. Ex 3.ff.node´eerCh´ngelatiI 1) SoitXllesr´eeoire´eatruΩ(bairlaeluaven,F, P) telle que pour un certaina >0,   aX Efinie. Montrer quee soit   −at aX ∀t∈R, P(X≥t)≤eEe.(1) 2)Cetteine´galite´s’appelleagilnie´Ceeh´tdernoffasno’lu`luclacti.Danercasosles   aX explicitementEaa`rle´mehcsehcrutpeoraleon,itimastnitnonepotemajoraiorercet   −at aX le majorantM(a) := eEe enaaF.esimramixuoa`sirenimir`amrchelcheut-i M(a) ? 1 Iln’estpasn´ecessairedeconnaˆıtrelaloimultinomialepourpouvoirfairecetexercice.