ENS BCPST Cursus et débouchés

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• Publié par: porthos
• Nombre de lectures: 352
• Langue: Français

Extrait

HEC 2000. MATHEMATIQUES I, option scientifique.

p Ceproble`meapourobjetl’´etudedespointsenlesquelsuneapplicationline´airedeRdansR atteintsonmaximumsurl’ensembledessolutionsd’unsyste`med’in´equationslin´eaires. p Pour tout entierpstrictement positif, on identifieraRetM p,1 (R).

PartieI:Pre´liminaires On dit qu’une partieKnon vide deRlee´rn’iqursloeustxileetsamoj´reeMtel que

∀x∈K, x≤M Unr´eelMdejomantraleppnuele´tia’sstnecirafigelais´nv´eK; on dit aussi queMmajoreK. Dans ce qui suit on suppose queKeeidnvnoiertpaneutsedeeroe´mtjaR. SoitMun majorant deKeta´el´untdeemenKs(tee´nfiO.dnssiutielu n ) n∈N et (v n ) n∈N par    u n +v n u n +v n  n , v n majore passi neK u 0 =a 2 2 et∀n∈N,(u n+1 , v n+1 ) =   u n +v n v 0 =M  u n ,sinon 2 1)On suppose, dans cette question seulement, queK= [0,1[∪[3,4[, a= 0 et queM= 10. De´terminer(u n , v n ) pour tout entiernpatrapanenat`{1,2,3,4}. 2).eraluasiamro´ne´gsacevnrOesd´ntie a)Montrer que :∀n∈N, u n ≤v n . b)Montrer que les deux suites (u n ) n∈N et (v n ) n∈N tnseteocvnreegtnsontadjacelee´rnusrevb. c)Montrer que pour tout entier positifn,v n est un majorant deK, puis quebmajoreK. d)ntsde’´el´emeenustideelixtsueertr’iquonMKqui converge versb. 0 e)On suppose quebest un majorant deK. 0 •Montrer queb≥b. •ueireq´eduEndbenxdautinixioisehcapdsepdndee´aetMpourvu queairtanpepeana` Ket queMmajoreK. D´esormais,onnoteraα K le majorantbdeKainsi obtenu.

´ Partie II : Etude d’un exemple p 2 2 2 On munitRiefinrparonasedidcleume´eednnie||(x, y)||=x+ypour tout (x, y) appartenant 2 `aR. 1)sleer´esbromsnoitrreocsndie`nOa, b, c, tels que (a, b)6= (0,sioreltsolsrinat´dfie).On0 ensembles :   2 D= (x, y)∈R;ax+by+c= 0   2 2 R + = (x, y)∈R;ax+by+c >0 etR − = (x, y)∈R;ax+by+c <0 2 a)Montrer queR + est une partie ouverte deR.