1CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUES Physique PC

Jean

Description

Niveau: Supérieur

• redaction

1CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUES Physique 1 – PC – 2002 L'utilisation des calculatrices est autorisée. Les deux problèmes sont indépendants *** N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. *** PROBLEME I - CIRCULATION D'AIR DANS L'ATMOSPHERE TERRESTRE La circulation des masses d'air dans l'atmosphère terrestre est entre autre influencée par les différences de pression atmosphérique ainsi que par le mouvement de rotation de la terre sur elle même. Dans tout le problème, on considérera que l'accélération de la pesanteur gr prend en compte les effets de la force d'inertie d'entraînement liée au mouvement de rotation propre de la terre. On prendra g = 9,81 ms-2. De plus, l'air sera assimilé ici à un fluide incompressible. La masse volumique de l'air sera notée ? et on se placera dans des conditions isothermes. On prendra dans tout le problème ? = 1,225 kg/m3. L'ensemble de l'étude sera menée, sauf précisions contraires, dans l'hémisphère nord du globe terrestre.

• atmosphère terrestre


• vitesse constante


• vitesse ? angulaire de la terre


• composantes du vecteur vitesse sur les axes xu


• influence de la rotation de la terre sur le mouvement des particules fluides dans le gradient de pression


• situation dans l'hémisphère nord


• vecteurs unitaires


• fluide incompressible


• particule

Sujets

• Redaction
• Atmosphère terrestre
• Fluide incompressible
• Particule

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CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUES Physique 1  PC  2002

L'utilisation des calculatrices est autorisée. Les deux problèmes sont indépendants

***

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

***

PROBLEME I - CIRCULATION D'AIR DANS LATMOSPHERE TERRESTRE

La circulation des masses dair dans latmosphère terrestre est entre autre influencée par les différences de pression atmosphérique ainsi que par le mouvement de rotation de la terre sur elle même. Dans tout le problème, on considérera que laccélération de la pesanteur g r  en compte les prend effets de la force dinertie dentraînement liée au mouvement de rotation propre de la terre. On -2 prendrag= 9,81 ms . De plus,lair sera assimilé ici à un fluide incompressible. La masse volumique de lair sera notéeρet on se placera dans des conditions isothermes. On prendra dans tout le problèmeρ= 1,225 kg/m 3 . Lensemble de létude sera menée, sauf précisions contraires, dans lhémisphère nord du globe terrestre.

I- Questions préliminaires : particule fluide soumise à un gradient de pression

On ne tiendra pas compte du mouvement de rotation de la terre et des effets de la pesanteur dans cette partie préliminaire. Dans latmosphère terrestre, à une altitude considérée comme suffisante pour pouvoir négliger linfluence du relief, coexistent des zones de hautes pressions (anticyclones) et des zones de basses pressions (dépressions). Entre une zone anticyclonique et une zone dépressionnaire, il sétablit une circulation dair. Cet écoulement sera supposé parfait, irrotationnel et stationnaire. Soit laxex r  dans le sens de lopposé du gradient de pression orienté −γ = dx dP  (avecγ> 0),que lon supposera constant.

A la position x, la vitesse de lair vaut V(x) et la pression P(x) et à la position x+δx, cette même vitesse vaut V(x+δx) et la pression P(x+δx).

1

δx

Hautes pressions

V(x)

V(x+δx)

Basses pressions

-Figure 1-

x

P(x)

P(x+δx)

I-1-Soit une masse dairδmconsidérée à léchelle mésoscopique de la particule fluide, se déplaçant dans r r le gradient de pression décrit précédemment. SoitδF= δFU x la force de pression à laquelle la particule r est soumise à la position x (U x est le vecteur unitaire de l'axeOx).

Montrer que : F = δmρ On se propose maintenant destimer la vitesse de la circulation dair enx, oùx la distance au désigne point de plus haute pression de la zone anticyclonique, au niveau duquel lair peut être considéré comme immobile.

I-2-Montrer que la vitesse V de la particule à la position x est donnée par : V= 2 x

Calculer sa valeur numérique en prenantγPa/km, pour x = 100 km et x = 500 km.= 1,9 Que penser de ce modèle ?

II- Vent géostatique

On désire maintenant prendre en compte linfluence de la rotation de la terre sur le mouvement des particules fluides dans le gradient de pression. Les effets de la pesanteur seront pris en compte dans cette partie. Dans cette première partie, les lignes isobares de latmosphère dans un plan horizontal seront considérées comme rectilignes.

SoitR 0 un référentiel lié à la terre, non galiléen. On considère maintenant un point O situé à la surface de la terre et un repère L lié à ce point, défini par les vecteurs unitaires U r x ,U r y ,U r z . U r z est radial et définit la verticale ascendante au point O, U r y  le plan méridien passant par O et dansest orthoradial U x complète la base tel que : U x =U y ∧U z (voir figure 2). On notera R le rayon de la terre de centre C etλlangle de latitude au point O. Soit r  le vecteur rotation de la terre sur elle même, défini dans le référentiel géocentrique supposé galiléen.

2

ur  ω

Nord

C

Sud

r U

O

λ

-Figure 2-

r U

r U

Soit une particule dair M de masse m, dont la position peut être décrite par OM r =xU x +yU y +zU r z  où (x,y,z) sont les coordonnées cartésiennes locales de M définies dans le repère L. On utilisera pour les composantes de la vitesse et de laccélération les notations du type & x, & x & . La partie de la force de pression subie par la particule M, dûe à la coexistence de zones anticycloniques et dépressionnaires, que l on supposera dans le plan O,U r x ,U r y , peut donc sécrire de la manière  suivante : r r r

où F x  et F y sont des constantes.

F=F x U x +F y U y

r II-1- Exprimer la force de CoriolisF C subie par cette même particule. Donner son expression analytique r r r dans la base U x ,U y ,U z .

II-2-Calculer numériquement la vitesseωangulaire de la terre. II-3- notant Ena r  laccélération de la particule M dans le référentielR 0 , écrire sous forme vectorielle lexpression du principe fondamental de la dynamique appliqué à la particule M.

II-4-projections de cette équation vectorielle dans le repère L.Ecrire les

II-5-Dans léquation en projection sur U r z , montrer brièvement que le terme de Coriolis peut être négligé devant le terme de pesanteur, en prenant une vitesse du vent V = 50 km/h. Ecrire léquation déquilibre vertical de latmosphère en statique, cest à dire sans circulation dair. En ne considérant aucune variation de la masse volumique de lair et de lintensité du champ de pesanteur ∂P  ression en avec laltitude, estimer la valeur du gradient vertical de p statique, que lon notera ∂z statique .

3

En utilisant la carte météorologique représentée sur la figure 3, estimer la valeur du gradient de pression horizontal.

En utilisant les calculs précédents, montrer par un raisonnement précis que les vents soufflent quasiment dans le plan horizontal U r x ,U r y .

II-6-Dans le plan U r x ,U r y , former le rapport entre le module de la force de Coriolis F r C et le module de la force de pression r subie par la particule M en faisant intervenirγ. En prenant une latitudeλ= 50 km/h, calculer numériquement ce= 30° nord, et pour vitesse du vent V rapport. En déduire que la force de Coriolis et la force de pression ont le même ordre de grandeur et quil est donc impossible de négliger lune par rapport à lautre.

On suppose maintenant que la particuleM a atteint une vitesse constante, appelée vitesse du vent & géostatique, notéeV r g & y ùo & x et y & sont les composantes du vecteur vitesse sur l r r es axes U x et U y .

r II-7-Déterminer les composantes de V g en fonction deF x ,F y ,metαoùα= 2.ω.sinλ.

II-8-Montrer que le module de la vitesse du vent géostatique peut sécrire de la façon suivante : r

V g α = Calculer la valeur numérique de V g en prenant toujoursγ= 1.9 Pa/km etλ= 30°. r r II-9-Montrer queFet V g sont deux vecteurs perpendiculaires. r r Représenter schématiquement dans le plan O,U x ,U y  laM, une série de lignes isobares, la particule r direction de la force de pressionF, la direction du vent géostatique ainsi que la direction de la force de r CoriolisF C . Sur quelles lignes se déplacent les particules fluides ? Quadvient-il de la force de Coriolis dans lhémisphère sud du globe terrestre par rapport à la situation dans lhémisphère nord ? Refaire le schéma précédent pour une particule fluide évoluant dans lhémisphère sud.

II-10-En prenant appui sur la carte météorologique donnée figure 3 et à partir des résultats précédents, décrire la direction approximative du vent soufflant sur la France en justifiant la réponse. Estimer la vitesse du vent sur la capitale.

4

1000 km

-Figure 3- (Les valeurs de la pression sont données en hPa, hectoPascal)

III- Détermination des trajectoires exactes.

On se propose maintenant de déterminer la trajectoire exacte de la particule fluideM, sans faire lhypothèse dune vitesse constante, en résolvant les équations du principe fondamental dans le plan r r O,U x ,U y . Pour simplifier la résolution, on se placera dans le cas particulier où F r =F x U r x  (F x >0) , cest-à-dire F y = 0. r r

On adopte pour les équations du principe fondamental dans le plan x+iy.

O,U x ,U y la variable complexe X =

III-1-Donner léquation générale vérifiée parX. uuuur r r r III-2-Résoudre léquation enXen adoptant les conditions initiales:t= 0, OM=0 et V g =0. Donner les expressions dex ety fonction du temps. On utilisera également en α= 2.ω.sinλ.

5

la

notation

III-3- Représenterde la trajectoire de la particule M dans le plan lallure mathématique correspond cette trajectoire ?

r r O,U x ,U y

. A quelle courbe

III-4-Montrer quil existe un mouvement périodique suivant U r x . Donner lexpression de cette période ainsi que sa valeur numérique pour une latitudeλ= 30°. Calculer la distance parcourue selon laxe U r y  parparticule fluide en une période et lamplitude la maximum du mouvement selon laxe U r x .

IV- Vent de gradient : cas de lanticyclone

Dans la réalité, ainsi que lon peut le constater sur les cartes météorologiques , les lignes isobares ne sont pas rectilignes mais courbes. On peut estimer, avec une assez bonne approximation, que dans un système anticyclonique ou dépressionnaire (mais on se limitera ici au cas anticyclonique) les lignes isobares sont des cercles concentriques de rayonrcentrés sur le pointOde plus haute pression, dans le cas dun anticyclone, si on se trouve dans une zone suffisamment proche du centre de lanticyclone. Le gradient de pression est donc radial. Les particules fluides soumises à laction combinée des forces de pression et de la force de Coriolis sont astreintes à se déplacer sur les lignes isobares circulaires à vitesse angulaire constante. SoitMlune de uuruur ces particules de masse m dont la vitesse de déplacement sur une ligne isobare circulaire est V h .V h est alors appelée vitesse du vent de gradient. Soit r  le u vecteurw le vecteur unitaire radial centrifuge et urr unitaire orthoradial. On écrira V h = −V h u .

HP

y

r u

r

M

ur w

BP

x

Lignes isobares

-Figure 4- r IV-1-Ecrire lexpression de laccélérationade la particule M en fonction de V h , r etw r . Ecrire lexpression de la force de Coriolis exercée sur la particule fluide en fonction dem,α, V h  et r w. Compte tenu de la partieII,quel est le signe deV h ?

IV-2-diagramme de la figure 4 on y ajoutant les indicationsReporter sommairement sur votre copie le  suivantes :

6

-

- -

-

r direction de la force de pressionF r direction de la force de CoriolisF C r direction de laccélérationa r direction de la vitesse du vent V h

IV-3-En utilisant lexpression de la vitesse du vent géostatique V g déterminée à la question II-8, montrer que lexpression du principe fondamental en projection sur r wsexprime par : 2 V h −V+V=0 (1) αr h g Retrouver le cas limite des lignes isobares rectilignes et donner la borne inférieure de la vitesse du vent de gradient.

IV-4-Montrer simplement que la vitesse du vent est sous-estimée si lon ne prend pas en compte leffet de courbure des lignes isobares. Quelle est la seule solution acceptable de léquation (1) ? Montrer que la vitesse du vent de gradient V h et donner cette borne en fonctionest bornée supérieurement de V g en discutant sur léquation (1).

IV-5-Quadvient-il de la force de Coriolis au voisinage de léquateur ? Pourquoi un système anticyclonique stable ne peut-il pas subsister au voisinage de léquateur ?

IV-6-les modèles développés précédemment et quiQuelles sont les phénomènes non pris en compte par peuvent également fortement influencer la direction du vent et la vitesse du vent ?

PROBLEME II  ETUDE ET PRODUCTION DU VIDE

Les techniques délaboration de produits et de matériaux qui font appel au « vide » sont de plus en plus nombreuses. Les basses pressions couvrent un très large domaine allant du vide grossier (10 -1 à 10 -3 fois la pression atmosphérique), jusquau vide extrême (10 -13 à 10 -17 fois la pression atmosphérique). Le choix du matériel à utiliser pour atteindre et maintenir le vide dépend du niveau de pression. Ainsi, les pompes à transfert assurant lextraction du gaz ou des vapeurs du réservoir et capables de refouler directement à la pression atmosphérique sont appelées pompes primaires : elles permettent datteindre le vide grossier ou moyen. Pour lobtention dun vide plus poussé, elles doivent être suivies de pompes dites à fixation, qui piègent par condensation les molécules à extraire. On trouve également les pompes dites à dilution permettant de diminuer la pression partielle dun des constituants indésirable dun mélange gazeux. On propose dans le cadre de ce problème détudier quelques dispositifs dobtention du vide nutilisant pas dorgane mécanique mobile.

I- Lair et sa pression

I-1-trois principaux composants de lair et leur proportion dans les conditions habituelles deDonner les l'atmosphère.

I-2-Donner la valeur de la pression atmosphérique normaleP atm dans le système S.I. que lon précisera et dans deux autres systèmes dunités.

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I-3-cas où leur pression est faible, les gaz peuvent être considérés comme parfaits : justifier cetteDans le hypothèse.

I-4- Combien y a-t-il de molécules dans 1 mm 3  assimilé  dair,à un gaz parfait, dans les conditions normales de température et de pression ? Combien en reste-t-il lorsque la pression est diminuée dun facteur 10 6 à température constante ? Quelle remarque peut-on faire ?

I-5-notion de mélange idéal de gaz ? Définir la pression partielleQue suppose la P i du constituantidun mélange idéal deggaz parfaits à la températureTet à la pressionP.

II- Définition statistique de la pression dans la théorie cinétique des gaz

II-1-A quoi est due la pression cinétique des gaz ?

II-2-Soitnla densité volumique moléculaire à la températureTdun gaz supposé parfait. Montrer que la pression du gaz est donnée en fonction den,Tetkla constante de Boltzmann, par la relationP=n k T. Calculerk.

II-3-Distribution statistique des vitesses. Un gaz parfait, en équilibre thermique dans une enceinte à la températureTest constitué deNmolécules de massem. Les chocs moléculaires se traduisent par une répartition aléatoire des vitesses des molécules suivant la distribution de Maxwell.

Ainsi, le nombre de molécules de lenceinte dont le module de la vitesse est compris entrev et v+ dvest donné par :  3/ 2  2 dN v =N    2πkT m    exp  −   2k m T v    4πv 2 dv=N f ( v ) dv Que représente la quantitéf(v)dv? Donner, sans faire de calcul, lallure de la fonctionf(v).

II-4-Calculer la vitesse moyennevet la vitesse quadratique moyennev q dune molécule de ce gaz. On donne : k ∞ ∫ e −αx 2 x k dx I= 1π I= 1 I k = k−1 I k 2 = 0 0 2α 1 2α2α − Donner la valeur numérique devetv q pour du diazote dans les conditions normales de température et de pression. Quelle remarque peut-on faire ?

II-5-En déduire lénergie cinétique moyenne dune molécule en fonction deketT.

II-6-En utilisant la loi des gaz parfaits, montrer que la pression est donnée par : P= 1 n 2 3 m v q

II-7- trajet en ligne droite effectué par une molécule de gaz entre deux chocs sappelle le libre Le parcours moyen. Il est donné par la relation suivante : 1 = l m π2σ 2 n oùσ est, en mètre, le diamètre des molécules.

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Exprimerl m  fonction de enP etT. On donneσ N2  = 3,77.10 -10  m. Calculerl m  du diazote dans les pour conditions normales de température et de pression. Que devient cette valeur si la pression est réduite dun facteur 10 8 ? Pourquoi dit-on quà très basse pression, les phénomènes de paroi sont prépondérants ?

III- Pompe à condensation

Parmi les différents types de pompe à fixation, on trouve les pompes à condensation. Par abaissement de la température dune partie de la paroi de lenceinte à vider, on condense le gaz ou la vapeur à éliminer. Le produit condensé est ensuite éliminé. Soit une enceinte sphérique de diamètreD 20 cm, maintenue à une température constante = T =273 K sauf au niveau d'un élément de surfacesreprésentant 0,1% de la surface totale, maintenu à une températureT s  inférieure àT permettant la condensation du diazote. Cette enceinte est initialement et remplie dair dans les conditions normales de température et de pression. Lair et ses constituants sont supposés se comporter comme des gaz parfaits. Daprès la théorie cinétique des gaz, le nombre de molécules qui frappent lunité de surface pendant 1 donn=oùn est la d lunité de temps est é par :N S 4 n vensité volumique de molécules,vleur vitesse moyenne.

III-1-En admettant que les molécules de diazote qui frappent la surfacesy restent collées, montrer que la variation temporelle du nombre de molécules de ce gaz contenues dans lenceinte est donnée par une relation du type : N N 2 =N 0 N 2 exp  −   t    τ oùtest le temps en seconde etN N 0 2 le nombre de molécules de diazote dans le réservoir à linstant initial.  dune molécule de diazot On exprimeraτ en fonction deDet de la vitessev N 2 e.

III-2-En déduire la relation donnant la variation temporelle de la pression dairP(t) dans lenceinte. On poseraP 0 la pression dans lenceinte àt= 0.

III-3-Calculer le temps nécessaire pour diminuer dun facteur 3 la pression dans lenceinte ?

III-4- que la chaleur latente de vaporisation du diazote est égale à 5590 J.mole Sachant -1 , calculer le transfert thermique échangé au cours de la variation de pression précédente. Donner la signification du signe trouvé pour ce transfert.

IV- Pompe à dilution

Parmi les procédés industriels utilisant les techniques du vide, on cherche non pas à faire le vide mais à extraire dun mélange gazeux une espèce chimique limitant le fonctionnement de linstallation, la pression totale restant constante. On évite ainsi lutilisation longue et coûteuse dun pompage sous vide poussé. Deux compartimentsC 1 etC 2 de volumesV 1 etV 2 , aux parois adiabatiques et indéformables, renferment respectivementN 1  molécules dun gazG 1  etN 2  molécules dun gazG 2  les mêmes conditions de dans températureT 0  et de pressionP 0 deux gaz sont supposés se comporter comme des gaz parfaits.. Ces Louverture de la vanneRles deux compartiments permet le mélange par diffusion des deuxqui sépare gaz.

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CompartimentC 1

gaz G 1 N 1 molécules

P 0  T 0

CompartimentC 2

gaz G 2 N 2 molécules

P 0  T 0

IV-1-Déterminer la températureT f et la pressionP f finales du système.

IV-2-La transformation est-elle réversible ?

D'après le théorème de GIBBS, l'entropie d'un mélange idéal de gaz parfaits est égale à la somme des entropies de ses constituants, à la même température, occupant tout le volume sous une pression égale à leur pression partielle. Calculer la variation dentropie∆Sfonction de la constante de Boltzmanndu système en kdeN 1 etN 2 . Pourquoi observe-t-on une augmentation de lentropie ?

IV-3-Que devient ce résultat si les gazG 1 etG 2 sont identiques ?

IV-4-Calculer, en fonction deP f ,  N 1 etN 2 , la pression partielleP 11 du gazG 1 après mélange.

Le mélange gazeux du compartimentC 1 est isolé par fermeture de la vanneRpuis à nouveau connecté au compartimentC 2 contenantN 2 molécules du gazG 2 pur, à la pressionP 0 et à la températureT 0 .

IV-5-Calculer la pression partielleP 12 du gazG 1 après le nouveau mélange, puisP 1m aprèsmopérations de mélange. On poserar= V 1 V + 1 V 2 . Combien de fois faut-il répéter cette opération pour réduire la pression en gazG 1 dun facteur 10 ? 100 ? Conclusion.

Fin de lénoncé

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