A MATH I MP

Description

Niveau: Supérieur

• concours d'entrée

A 2008 MATH. I MP ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2008 PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière MP (Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE ParisTech, ENSTIM, TELECOM SudParis (ex TELECOM INT), TPE-EIVP, Cycle international Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I - MP L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

• vecteur colonne


• inégalité


• espace vectoriel des matrices


• espace de lorentz


• entiers supérieurs


• matrices symétriques


• supérieure de l'aéronautique et de l'espace

Sujets

• École polytechnique
• Vecteur colonne
• Inégalité

Informations

• Publié par: profil-nechor-2012
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Extrait

A 2008MATH. IMP

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FilièreTSI).

CONCOURS D’ADMISSION 2008

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière MP

(Durée de l’épreuve : 3 heures) L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE ParisTech,ENSTIM, TELECOM SudParis (ex TELECOM INT), TPE-EIVP, Cycle international

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES I - MP

L’énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble tre une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

Inégalité d’Alexandrov

Dans tout ce problème, n est un entier au moins égal à1. On note S n le groupe des permutations deI n ={1,∙ ∙ ∙, n}. On note M n, p ( R )l’espace vectoriel des matrices à n lignes et p colonnes, à coefficients réels. Pour une matrice M∈M n, n ( R )de coefficients m ij , on notera m j le j -ème vecteur colonne deM, celui dont les composantes sont(m ij , i= 1,∙ ∙ ∙, n). On écrira ainsi

M= (m 1 ,∙ ∙ ∙, m n ).

On remarquera que m ij est indifféremment le coefficient en ligne i et colonne j de M ainsi que la i -ième composante de m j . On identifiera une matrice colonne m et le n n vecteur de R dont les composantes dans la base canonique de R sont les coefficients n de m . On note k k la norme euclidienne de R et x.y représente le produit scalaire n n euclidien de deux vecteurs deR. On noteSla sphère unité deR, c’est-à-dire

S={x /kxk= 1}.

Pour une matrice M∈M n, n ( R ), pour i et j éléments de { 1 ,∙ ∙ ∙, n} , on note M ( i|j ) la matrice obtenue en supprimant de M la i -ème ligne et la j -ième colonne. Pour un vecteur colonne m , m ( j )représente le vecteur colonne m duquel on a ôté la j -ième composante. Soit Q une matrice symétrique réelle de M n,n ( R ). On note B Q la forme bilinéaire n associée : pour toutxetydeR,

B Q (x, y) =Qx.y,

et on noteΦ Q la forme quadratique associée :Φ Q (x) =B Q (x, x). n Définition 1. Soit V un sous-espace vectoriel de R , on dira queΦ Q est définie positive (respectivement positive, respectivement définie négative) surVlorsque Φ Q (x)>0pour toutxappartenant àV∩S + (respectivementΦ Q (x)>0, respectivementΦ Q (x)<0). On noteraV(respectivement + − V , respectivement V ) l’ensemble des sous-espaces vectoriels sur lesquelsΦ Q est définie 0 positive (respectivement positive, respectivement définie négative). On pose r(Φ Q ) =max (dimV)ets(Φ Q ) =max (dimV), + − V∈V V∈V avec la convention quemax V∈∅ dimV= 0.

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I Permanents Définition 2. Pour M = ( m 1 , . . . ,m n ) ∈M n, n ( R ), on définit son permanent, noté per, par   n per :M n,1 (R)−→R X (m 1 , . . . ,m n )7→−m 1σ(1) m 2σ(2) . . . m nσ(n) . σ∈S n On tiendra pour acquis que la forme per est multilinéaire et symétrique, c’est-à-dire invariante par permutation des vecteurs.

1. Établirpour tousm 1 , m 2 ,∙ ∙ ∙, m n éléments deM n,1 (R), l’inégalité n Y |per(m 1 ,∙ ∙ ∙, m n )|6n!km j k. j=1   n 2. Pour( m 1 ,∙ ∙ ∙, m n )et( r 1 , r 2 ∙ ∙ ∙, r n )éléments de M n,1 ( R ), établir l’inégalité suivante : |per(m 1 ,∙ ∙ ∙, m n )−per(r 1 ,∙ ∙ ∙, r n )| n X 6n!km 1 k. . .km j−1 k km j −r j k kr j+1 k. . .kr n k, j=1 où l’on convient que

km 1 k. . .km j−1 k= 1pourj= 1etkr j+1 k. . .kr n k= 1pourj=n.

3. Montrerla propriété suivante : pour toutj∈I n , n   X perM=m ij perM(i|j).(1) i=1 II Formesquadratiques Dans toute cette partie, Q est une matrice symétrique réelle inversible. On note sp ( Q ) = ( λ 1 ,∙ ∙ ∙, λ n )la suite de ses valeurs propres répétées selon leur multiplicité, +− n ( Q )le nombre de termes strictement positifs dans sp ( Q )et n ( Q )le nombre de termes strictement négatifs danssp(Q).

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+ − 4. Soit H∈V 0 et G∈V , montrer que H et G sont en somme directe et que r(Φ Q ) +s(Φ Q )6n.

+ 5. Montrerquer(Φ Q )>n(Q). − Onaalorsdemmes(Φ Q )>n(Q).

+− 6. Montrerquer(Φ Q ) =n(Q)et ques(Φ Q ) =n(Q).

Soit R une autre matrice symétrique réelle inversible de taille n telle qu’il existe n une constanteκsatisfaisant la propriété suivante : pour toutxetydeR, |B Q (x, y)−B R (x, y)|6κkxk kyk.

7. Montrerqu’il existeδ >0tel quer(Φ Q ) =r(Φ R )siκ6δ.

III Espacesde Lorentz Définition 3. Soit Q∈M n,n ( R ) , une matrice symétrique etΦ Q la forme quadratique n associée. On dit que( R, Q )est un espace de Lorentz lorsque les propriétés suivantes sont vérifiées : i)Qest inversible, ii)r(Φ Q ) = 1ets(Φ Q ) =n−1. n On suppose dans cette partie que Q∈M n,n ( R )est telle que( R, Q )soit un espace n de Lorentz. Soit a un vecteur tel queΦ Q ( a ) > 0et b∈R . Soit l’application ϕ définie par ϕ:R−→R ρ−→7Φ Q (b+ρa).

8. On suppose, dans cette question, que a et b sont linéairement indépendants. Montrer qu’il existe au moins une valeur deλtelle que ϕ(λ)<0.

9. Établirla propriété : 2 B Q (a, b)>Φ Q (a)Φ Q (b), avec égalité si et seulement siaetbsont colinéaires. On pourra s’inspirer de la preuve de l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

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(2)

IV Inégalitéd’Alexandrov On veut maintenant établir le théorème suivant. On note( e 1 ,∙ ∙ ∙, e n )la base n canonique deR. n Théorème 1.Soitnun entier supérieur à2. Soitm 1 ,∙ ∙ ∙, m n des éléments deRà composantes strictement positives. Soit Q la matrice symétrique dont les coefficients sont définis par q ij = per(m 1 , m 2 ,∙ ∙ ∙, m n−2 , e i , e j ), i∈I n , j∈I n Soit B Q etΦ Q les formes bilinéaires et quadratiques associées à Q respectivement. n L’espace(R, Q)est un espace de Lorentz.

10. Calculerr(Φ Q )ets(Φ Q )pourn= 2, c’est-à-dire pour  ! 0 1 Q=. 1 0

On suppose le théorème 1 établi pour toutk6n−1.

11. Établirpour toutjdeI n l’inégalité :   2 per(m 1 ,∙ ∙ ∙, m n−3 , m n−2 , c,e j ) >per(m 1 ,∙ ∙ ∙, m n−3 , m n−2 , m n−2 , e j ) ×per(m 1 ,∙ ∙ ∙, m n−3 , c, c,e j ),(3) avec égalité si et seulement sic(j)etm n−2 (j)sont colinéaires.

n Dans les questions 12 et 13,cest un élément deRtel queQc= 0.

12. Établirl’identité : n X 0 =Qc.c=m j,n−2 per(m 1 ,∙ ∙ ∙, m n−3 , c, c, e j ) j=1

13. Montrerque pour toutj∈I n ,

per(m 1 ,∙ ∙ ∙, m n−2 , c, e j ) = 0etper(m 1 ,∙ ∙ ∙, m n−2 , m n−2 , e j )>0.

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14. EndéduireQc= 0si et seulement sic= 0.

P n Soite= i=1 e i ,pour toutθappartenant à[0,1], on pose

B θ (x, y) = per(θm 1 + (1−θ)e,∙ ∙ ∙, θm n−2 + (1−θ)e, x, y).

On note Q θ etΦ θ la matrice symétrique et la forme quadratique associées à la forme bilinéaire symétriqueB θ .

15. ExpliciterQ 0 . Montrer que ses valeurs propres sont(n−1)!et−(n−2)!et que

r= 1(Φ )ainsi ques(Φ )=n−1. Q 0 Q 0

0 16. Soitθetθdeux éléments distincts de[0,1]. Montrer que, pour toutxet touty n deR,

n−2 √ Y 0 |B θ (x, y)−B θ (x, y)|6n n!|θ−θ| kxkkyk(km j k+n). 0 j=1

17. Établirquer(Φ Q 1 ) = 1ets(Φ Q 1 ) =n−1.

On pourra raisonner par l’absurde et considérerτ= sup θ∈[0,1] {θ / r(Φ Q θ ) = 1}.

18. Établir l’inégalité d’Alexandrov qui stipule que pour m 1 ,∙ ∙ ∙, m n−1 vecteurs de n n Rà coordonnées strictement positives etbvecteur quelconque deR,   2 per(m 1 ,∙ ∙ ∙, m n−1 , b)>per(m 1 ,∙ ∙ ∙, m n−1 , m n−1 ) per(m 1 ,∙ ∙ ∙, b, b).

Fin du problème

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