A MATH I PC

Description

Niveau: Supérieur

• concours d'entrée

A 2009 MATH. I PC ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2009 PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière PC (Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I - PC L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

• phénomène de trou spectral


• ?sn ?


• mines de nancy


• disposition des concours


• supérieure de l'aéronautique et de l'espace


• disque fermé de centre

Sujets

• École polytechnique
• École nationale supérieure des mines de Nancy

Informations

• Publié par: profil-nechor-2012
• Nombre de lectures: 25
• Langue: Français

Extrait

A 2009MATH. IPC

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FilièreTSI).

CONCOURS D’ADMISSION 2009

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PC

(Durée de l’épreuve : 3 heures) L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES I - PC

L’énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble tre une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

Étude spectrale d’un opérateur de transfert

Soit V un C -espace vectoriel et T un endomorphisme de V : on dira que le complexe λ est une valeur propre deTs’il existe un élémentfdeVnon nul tel queT f=λf. 0 Soit C l’espace des fonctions de R dans C qui sont continues et1 − périodiques. Cet espace est normé par kfk ∞ = sup{|f(x)|, x∈R}. On désigne par e 0 la fonction constante égale à1sur tout R et par D le sous-espace 0 vectoriel deCengendré pare 0 . 0 Sif∈Con définit   1x x+ 1 T f(x) =f( )+f( ). 2 22 L’objet du problème est l’étude des propriétés spectrales de diverses restrictions de 0 T à des sous-espaces invariants de C . On mettra notamment en évidence sur certains de ces espaces la propriété de « trou spectral » : il existe0 < r < 1tel que les valeurs propres autres que1sont de module inférieur ou égal àr.

I Préliminaires 0 1) Montrerque sifappartient àCalorsT faussi.

0 2) Montrer que pour tout élément f de C on a l’inégalité kT fk ∞ 6kfk ∞ puis que supkT fk ∞ = 1. kfk ∞ =1

0 0 On appelleHl’hyperplan deCdes fonctionsftelles que Z 1 f(t)dt= 0. 0

0 3) MontrerqueHest stable parT.

0 4) Expliciterla projectionPsurDparallèlement àH.

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II Fonctionstrigonométriques 2iπkx Pour tout entier relatif k , on note e k ( x ) = e de sorte que e k est continue et 0 1-périodique, c’est-à-dire que e k appartient à C . Pour tout entier n , on désigne par E n 0 le sous-espace deCengendré pare 0 , e 1 , e −1 ,∙ ∙ ∙, e n , e −n .

5) Déterminer T e k (respectivement P e k ) pour tout entier relatif k et en déduire que les espacesE n sontT−stables (respectivementP-stables).

On note T n (respectivement P n ) l’endomorphisme de E n induit par T (respectivement parP).

6) Calculerles valeurs propres deT 2 . L’endomorphismeT 2 ?est-il diagonalisable

∗k−1k 7) Soit n∈N et k l’unique entier tel que2 6n < 2 . Montrer pour tout entier p>k,l’identité suivante : p T=P n . n

8) Calculer les coefficients de Fourier de T f en fonction de ceux de f pour tout 0 f∈C.

9)DéterminerlenoyaudeT.

III Fonctionshöldériennes On rappelle que pour tous les réelsxety, ix iy |e−e|6|x−y|. α0 Soitα∈]0,1[. On appelleCle sous-espace deCdes fonctionsftelles que ( ,) |f(x)−f(y)| 2 (x, y)∈R, x6=ysoit majoré. α |x−y|

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On notera alors ( ,) |f(x)−f(y)| 2 m α (f() = supx, y)∈R, x6=y . α |x−y| On admettra que kfk α =m α (f) +kfk ∞ α définit une norme surC.

α 10) MontrerqueCest stable parT.

α On noteT α l’endomorphisme deCinduit parT .

α 11) Montrerque pour toutf∈C,kT α fk α 6kfk α puis quesup kfk α =1 kT α fk α = 1.

Soit λ un nombre complexe de module strictement inférieur à1. On pose, pour tout réelx, n X k S n (x) =λ e 2 (x). k k=0

P k 12) Montrer que la série de fonctions k λ e 2 converge normalement sur R vers une k 0 fonctionf λ ∈C.

On admettra, que dans ce cas, la suite( S n , n> 0)converge dans l’espace vectoriel 0 (C ,k k ∞ )versf λ : limkS n −f λ k ∞ = 0. n→+∞

13) Montrerqu’alorsT f λ =λf λ .Est-ce queλest une valeur propre deT?

−α 14) Soitmaintenantλtel que|λ|62et deux réelsxetytels que −n−1−n 2<|x−y|62. En considérant séparément les sommes avec k6n et k > n dans la série ayant α pour valeurf λ (x)−f λ (y), montrer quef λ ∈C. 4

α0α 15) MontrerqueT α laisse invariantH=H∩C .

0 16) Soitf∈Cuqree,montr

n 2−1 X n−n−n−n T f(x) = 2f(k2 +x2 ). k=0

α 17) Établir,pourf∈C, l’inégalité suivante : Z 1 n−nα sup |T α f(x)−f(t)dt|62m α (f). 0 x∈[0,1]

α 18) Montrerque sif∈Halors pour tout entiern, l’inégalité suivante est vérifiée :

n1−nα kT fk α 62kfk α . α

19) En déduire que l’ensemble des valeurs propres de T α est la réunion du singleton { 1 } −α et du disque fermé de centre0et de rayon2(phénomène de trou spectral).

Fin du problème

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