Calcul Intégral et Différentiel

Description

Niveau: Supérieur
Calcul Intégral et Différentiel J. Melleray Université Lyon I Semestre de printemps 2011-2012

• continuité


• rappels de topologie en dimension finie


• rappels


• uniforme continuité


• preuve du théorème de convergence


• inégalité des accroissements finis

Sujets

• Continuité
• Continuité uniforme
• Théorème des accroissements finis

Informations

• Publié par: zauj
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• Langue: Français

Extrait

Calcul

Intégral

et

Différentiel

J. Melleray

Université Lyon I Semestre de printemps 2011-2012

Avertissement. elles sont écrites à mesure que le semestreCes notes sont actuellement en pleine évolution ; avance et comportent certainement leur lot d’erreurs plus ou moins graves. Elles ne suivent pas exactement ce qui a été fait en cours (par exemple des exemples faits en cours ne sont pas dans les notes, des exercices proposés ici n’ont pas été mentionnés en cours.). Remarques, commentaires, questions, corrections, etc. sont les bienvenus.

Table des matières 1 Fonctions réglées et intégrale 1 1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Intégrale des fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Intégrale des fonctions réglées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 Propriétés fondamentales de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 Intégrales impropres 13 2.1 Définition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Intégrales impropres de fonctions positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3 Intégrales impropres et séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 Suites d’intégrales; intégrales à paramètre 19 3.1 Convergence uniforme et conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2 Convergence monotone et convergence dominée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.3 Preuve du théorème de convergence dominée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.4 Intégrales à paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4 Fonctions de plusieurs variables 27 4.1 Rappels de topologie en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.2 Fonctions continues de plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.3 Différentiabilité des fonctions de plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.4 Inégalité des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.5 Gradient, hessienne et extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.6 Difféomorphismes et inversion locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.7 Fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41