Centrale PSI epreuve

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Centrale PSI - 2006 epreuve 1 Notations et definitions. - R2 est muni de la norme ?(x, y)? = √ x2 + y2. - On note C(R+,R) l'ensemble des fonctions continues de R+ dans R et L1 l'ensemble des fonctions f ? C(R+,R) integrables sur R+. Si f ? L1, on pose ?f?1 = ∫ +∞ 0 |f |. - On note B l'ensemble des fonctions f ? C(R+,R) bornees sur R+. Si f ? B, on pose ?f?∞ = supR+ |f |. - Si ? ? [1,+∞[, on convient que 0? = 0 ; ainsi, t ? R+ 7? t? est continue. - On pose, lorsque cela a un sens, I(?) = ∫ +∞ 0 1 1+t? dt. - Si ? ? [1,+∞[ et h est une fonction continue de R+ dans R, on note E?,h l'equation differentielle lineaire (E?,h) : y ?? ? 1 1 + t? y? + y = h Par definition, une solution de (E?,h) est une fonction de R+ dans R de la variable t de classe C2 verifiant (E?,h).

• c2 dans la question precedente


• verifiee par ?


• equation differentielle


• problemes de stabilite pour ?


• systeme fondamental de solutions

Sujets

• Équation différentielle

Informations

• Publié par: profil-ontoe-2012
• Nombre de lectures: 14
• Langue: Français

Extrait

Centrale PSI - 2006 ´epreuve1 Notationsetd´efinitions. p 2 2 2 -Rest muni de la normek(x, y)k=x+y. + +1 - OnnoteC(R,R) l’ensemble des fonctions continues deRdansRetLl’ensemble des fonctions R +∞ + +1 f∈ C(R,R)´tnirsuraegesblR. Sif∈L, on posekfk 1 =|f|. 0 + + - OnnoteBl’ensemble des fonctionsf∈ C(R,Rn)´borsseeurR. Sif∈B, on posekfk ∞ = sup + |f|. R α+α - Siα∈[1,+∞[, on convient que 0= 0 ; ainsi,t∈R7→test continue. R +∞ 1 - Onpose, lorsque cela a un sens,I(α) = α dt. 0 1+t + - Siα∈[1,+∞[ ethest une fonction continue deRdansR, on noteE α,h leeltienerff´idnoitauqe´’l lin´eaire 1 00 0 (E α,h ) :y−y+y=h α 1 +t + Parde´finition,unesolutionde(E α,h ) est une fonction deRdansRde la variabletde classe 2 Cna(tv´erifiE α,h ). -Pourune´equationdiff´erentielleline´airedusecondordre(E), de second membrehseltinfie´dno, proprie´t´esdestabilit´esuivantes: –on dira que (E) eststable par rapport aux conditions initialessi et seulement si pour 0 toutε >0, il existeη >0 tel que sifest une solution de (Etn´e)vfiarik(f(0), f(0))k ≤η, alorsf∈Betkfk ∞ ≤ε. –on dira que (E) eststable par rapport au second membre au sens 1si et seulement 1 si pour toutε >0, il existeη >0 tel que sih∈Lest tel quekhk 1 ≤ηetfest solution 0 de (E)v´erifiant(f(0), f(0)) = (0,0), alorsf∈Betkfk ∞ ≤ε. –on dira que (E) eststable par rapport au second membre au sens∞si et seulement si pour toutε >0, il existeη >0 tel que sih∈Best tel quekhk ∞ ≤ηetfest solution 0 de (Ev´)ifiert(anf(0), f(0)) = (0,0), alorsf∈Betkfk ∞ ≤ε. Deplus,danslecasdel’e´quation(E α,0 ) : –on dira que (E) estrapepparslbatam`etreortauparsi et seulement si pour tout 2 (a, b)∈Retε >0, il existeη >0 tel que :siβ∈[1,+∞[fiie´vre|α−β| ≤η,fest 0 0 solution de (E α,0 ) etgest solution de (E β,0 ) avec (f(0), f(0)) = (g(0), g(0)) = (a, b), alors f−g∈Betkf−gk ∞ ≤ε. Objectifsetde´pendancesdesparties. -L’objectifduproble`meestd’e´tudierlecomportementdessolutionsde(E α,0 ) vers +∞, ainsi que diff´erentesnotionsdestabilite´. 00 -LapartieI´etudielecasdel’´equation“limitea`l’infini”y+y=h. -LapartieII,inde´pendantedeI,´etudielecomportementa`l’infinidessolutionsde(E α,0 ) pour α >1. -LapartieIII,quie´tudielesprobl`emesdestabilite´pourα >CA.II.II,atluedstesedesr´ut1,isil et I.5. -LapartieIVqui´etudielecomportementa`l’infinidessolutionsde(E 1,0 ) utilise II.B. -LapartieV,quie´tudielesprobl`emesdestabilite´pourα= 1, utilise les parties IV et II.

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00 PartieI.Etudedel’´equationy+y=h. +00 Sih∈ C(R,R), on note (F h )´el’atqundioellientre´eiffy+y=hondelutinesoon,uitinfie´draP.(F h ) 2 + est une fonction de classeCdeRdansRafiir(tne´vF h )? I.A. A.1. Donnerl’ensemble des solutions de (F 0 ). A.2. Dans cette question uniquement, on prend pourh:x7→cos(x). Donnerl’ensemble des solutions de (F h ) dans ce cas. + A.3. Danscette question uniquement, on prend pourhla fonction 2πqudiures´p-oireRed´niefi par  sin(x) six∈[0, π] h(x) = 0 six∈]π,2π] + De´montrerquehest continue surRontie(sderminerletd´etdeseosule’snmelbF h ). I.B.ape´parrbatStilitionondiauxcportse.itlaisin 20 Si (a, b)∈Retfest la solution de (F 0 tinraefi´v)(f(0), f(0)) = (a, b), montrer quef∈Bet kfk ∞ ≤ k(a, b)k. R t + + I.C. Sih∈ C(R,R), montrer quef 0 :t∈R7→h(u) sin(t−u)duest solution de (F h ) et en 0 d´eduirel’ensembledessolutionsde(F h ). I.D.atsucenoraarpprobilit´epSta.s1enuseabremdm 10 On donneh∈Lete´D.tionsoluerlarminfde (F h afitne(´irv)f(0), f(0)) = 0, montrer que f∈Betkfk ∞ ≤ khk 1 . Ende´duireque(F h ) est stable par rapport au second membre au sens 1. I.E.nsausembrendmetSlibae´tirrpapoapaurtcose∞. 00 Soitδ >uord´Rse.0ff´diontiuaeq’´elelleitnerey+y=δcos(t) et montrer que ses solutions sont nonborn´ees,etpluspre´cise´ment,nesontpaseno(t) quandt→+∞. End´eduirelanonstabilite´de(F 0 ) par rapport au second membre au sens∞. PartieII.Comportement`al’infinidessolutionsde(E α,0 )pourα >1. II.A.De´montrerl’existencedeI(α), pourα >appar`trot´uiarepcosainnt,1teα. II.B.iaer.entangulRel`evem +∗k On donneg:R→Cde classeC,k≥2. 0 g −A B.1. Justifierl’existence d’une primitiveAde etmontrer quegeest constante. g B.2.Ene´crivantlafonctionAsous la formeA=B+iC,o`uBetCeualrssondtseofcnitno`sva k+∗k+iθ r´eelles,justifierqu’existentr∈ C(R,R) etθ∈ C(R,R) tels queg=re. + II.C.omCnemetropfini’la`topinruα >1. + 1 Soitα >1 etfune solution non nulle de (E α,0 ). Onnoteq:t∈R7→ α . 1+t 1 +∗1 + C.1. Enappliquant II.B, montrer qu’existentr∈ C(R,R) etθ∈ C(R,R) telles quef= + 0 0 rcos(θ) etf=rsin(θ). Exprimerren fonction defetf. Les fonctionsretθ.treiitedlasutepaecetasee´xfitruopisnions 0 C.2.De´montrerqueθ=−1 +qsin(θ) cos(θ). 0 2 C.3.De´montrerquer=qrsin (θ). C.4.De´montrerquera une limite strictement positive en +∞vire´ntfiamlir≤r(0) exp(I(α)). +∞ 0 0 D´emontrerquefetfspeen´orarnobtsk(f(0), f(0))kexp(I(α)).

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C.5.De´montrerqueθ(t) +tverstendmitinuleldeelurqenea´t→+∞. ∗ C.6.De´montrerqu’existenta∈Retb∈Rtels quef(t)−acos(t+b)→0. + t→+∞ C.7. Tracerl’allure du graphe defvers +∞. PartieIII.Etudedelastabilit´epourα >1. Dans toute la partie,α >1, et(f 1 , f 2 )oisnedndamentaldesolutysnutseofeme`ts(E α,0 ). f 1 f 2 w=tserwel.kes´niocaonsesi 0 0   f f 1 2 Onpenseraa`utiliserlesr´esultatsdeII. III.A.ocxutidnpparatroleias.nsioitineparlit´tabiS D´emontrerque(E α,0 est stable par rapport aux conditions initiales. III.B.aurensse1.ilitStabrrap´epauaesoptrembmocdn B.1.D´eterminerunee´quationdiff´erentielleve´rifi´eeparw, et montrer qu’existenta, blsee´retsl + que pour toutx∈R, 0< a≤ |w(x)| ≤b. + B.2. Sih∈ C(R,R), montrer que les solutions de (E α,h ) sont les fonctions du typef=−C 1 f 1 + hf 2 hf 1 C 2 f 2 ,uo`C 1 etest une primitive deC 2 .une primitive de w w B.3.Quellessontlesconditionsn´ecessairesetsuffisantesrequisessurC 1 etC 2 dans la question 0 pr´ece´dentepouravoir(f(0), f(0) = (0,0) ? + 1 B.4.De´montrerl’existencedeC∈Rtelle que :pour touth∈L, la solutionfde (E α,h ) 0 v´erifiant(f(0), f(0)) = (0,0) est dansB, etkfk ∞ ≤Ckhk 1 irduueeq.E´end(E α,0 ) est stable par rapport au second membre au sens 1. III.C.tp´plriabairetapencsusItaorrbmemdnosnesuae∞. ∗ On fixeλ∈R. + 00 Soitgsolution dey+y=λcos(t). +00 1 0 0 Soitfla solution surRdey− α y+y=λcos(t) telle que (f(0), f(0)) = (0,0). Onpose 1+t Φ =f−g. + C.1.De´montrerqueΦestsolutionde(E α,h ) pour une fonctionh∈ C(R,Rerv´anifit)h(t)→0. t→+∞ Z t C.2.D´emontrerqueh(t)→0 implique que|h|=o(t). t→+∞t→+∞ 0 C.3.Utilisantlare´solutionde(E α,h ) vue en III.B, montrer que Φ(t) =o(t). t→+∞ C.4.D´emontrerque(E α,0 ) n’est pas stable par rapport au second membre au sens∞. III.D.rrpa´eitilabStre.apar`mtepaoptrua 2 On fixe pour la suite de la question (a, b)∈R. Soitβ∈]1,+∞[. 0 Soitfla solution de (E α,0 )re´vifiant(f(0), f(0)) = (a, b),gla solution de (E β,0 ri´e)vtnafi 0 (g(0), g(0)) = (a, b). On pose Φ =f−g. R R 1 +∞ dt dt Siλ >1, on poseJ(λ) = λ etK(λ) = λ . 0 1+ t 1 1+ t Comme pourI, les fonctionsJetKinfie´dnetnocteseurssuein]1sontbi,+∞[ (on ne demande pas de le montrer). D.1.De´montrerqueΦestunesolutiondel’e´quationdiff´erentielle(E α,h ) avec   1 1 0 h:t7→ −g(t) α β 1 +t1 +t

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