Devoir surveillé no5 Mécanique & Optique

Yves Josse

Description

Niveau: Supérieur
Lycée Brizeux Samedi 30 Janvier 2010 PCSI A Devoir surveillé no 5 Mécanique & Optique – La durée de l'épreuve est de 4 heures. Les candidats ne sont pas autorisés à sortir avant la fin du temps prévu. – L'usage de la calculatrice est autorisé – Tous les problèmes et exercices sont indépendants – Les résultats devront être encadrés. – Toute application numérique ne comportant pas d'unité sera considérée comme fausse. – Les résultats littéraux non homogènes entraîneront la perte de tous les points de la question. Problème I Observation d'étoiles depuis un satellite A Préliminaires : Troisième loi de Kepler On considère un satellite assimilé à un point matériel P de masse m en orbite autour d'un astre fixe, au point O et de masse M . On notera ??r = ??? OP et G la constante universelle de gravitation. A.1 Exprimer la force exercée par l'astre fixe sur le satellite en fonction de G, M , m, ??r et de la distance r. A.2 Que vaut le moment en O de la force précédente ? A.3 Exprimer le moment cinétique en O du satellite en fonction de m, de son vecteur vitesse ??v et du vecteur ??r . A.4 En appliquant en O le théorème du moment cinétique, montrer que la trajectoire du satellite est plane. A.5 On se place dorénavant dans le plan de la trajectoire.

• point matériel


• masse µ


• satellite


• vecteurs unitaires usuels des coordonnées polaires


• masse du soleil ms dans la base


• ex- pression du vecteur accélération du satellite


• période de l'orbite du satellite géostationnaire

Sujets

• Satellite
• Point matériel

Informations

• Publié par: profil-nechor-2012
• Publié le: 01 janvier 2010
• Nombre de lectures: 219
• Langue: Français

Extrait

LycÉe Brizeux PCSI A

o Devoir surveillÉ n5

Samedi 30 Janvier 2010

MÉcanique & Optique –durÉe de l’Épreuve est de 4 heures. Les candidats ne sont pas autorisÉs À sortir avant la finLa du temps prÉvu. –L’usage de la calculatrice est autorisÉ –Tous les problÈmes et exercices sont indÉpendants –Les rÉsultats devront tre encadrÉs. –Toute application numÉrique ne comportant pas d’unitÉ sera considÉrÉe comme fausse. –Les rÉsultats littÉraux non homogÈnes entraneront la perte de tous les points de la question.

ProblÈme IObservation d’Étoiles depuis un satellite A PrÉliminaires: TroisiÈme loi de Kepler On considre un satellite assimil á un point matrielPde massemen orbite autour d’un astre −→ −→ fixe, au pointOet de masseM. On noterar=OPetGla constante universelle de gravitation. −→ A.1Exprimer la force exerce par l’astre fixe sur le satellite en fonction deG,M,m,ret de la distancer. A.2Que vaut le moment enOde la force prcdente? −→ A.3Exprimer le moment cintique enOdu satellite en fonction dem, de son vecteur vitessevet −→ du vecteurr. A.4En appliquant enOle thorme du moment cintique, montrer que la trajectoire du satellite est plane. A.5On se place dornavant dans le plan de la trajectoire. On repre un pointPpar ses coor- donnes polairesretθ(cf. figure ci-contre). La −→−→ base polaire sera note(u r , u θ ). Dterminer l’ex- −→ pression du vecteur vitessevdu satellite en coor- donnes polaires. Pour cette question et toutes les suivantes, on suppose que la trajectoire du satel- lite est un cercle de rayonr. Comment se simplifie −→ l’expression dev? A.6Dterminer en coordonnes polaires l’ex- pression du vecteur acclration du satellite. A.7â partir de la relation fondamentale de la dynamique applique au satellite, montrer que la dθ vitesse angulaire du satelliteω=est constante. dt ˙ 3 2 A.8Dduire aussi de la relation fondamentale de la dynamique applique au satellite quer θ=K oÙKest une constante qu’on exprimera en fonction des donnes. e A.9On appelleTloi dela priode du mouvement. Dmontrer la relation suivante, appele 3 2 2 T4π Kpler : 3 = a GM

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B LeSatellite Hipparcos Le satellite Hipparcos fut lanc le 8 aoÛt 1989 par une fuse Ariane IV. Ce projet de l’Agence spatiale europenne (ESA) avait notamment pour but de mesurer avec prcision la distance de plus de 2,5 millions d’toiles. Il tait prvu á l’origine de placer Hipparcos sur une orbite gostationnaire. Cette partie se propose d’tudier les caractristiques principales d’une telle orbite. On se placera dans cette partie dans le rfrentiel gocentrique, suppos galilen. On rappelle que le rfrentiel gocentrique a pour origine le centreTde la Terre et que ses axes pointent dans trois directions fixes. Un satellite, assimil á un point matrielMde massem, est en orbite autour de la Terre, de masse M T . On ngligera l’influence sur le mouvement du satellite des astres autres que la Terre. Le satellite est gostationnaire c’est-á-dire qu’il reste en permanence á la verticale d’un mme point de la Terre situ á l’quateur. B.1La priode de l’orbite du satellite gostationnaire est gale á un jour sidral dont la dureT sid est de 23 h 56 min 4 s (T sid = 86164s). Expliquer pourquoi cette valeur est lgrement infrieure (d’environ 4 minutes) á la dure du jour solaireT sol de 24 heures. B.2En notanthl’altitude etR T le rayon de la Terre et en utilisant la 3ıme loi de Kpler, calculer numriquement l’altitude du satellite gostationnaire. 24−11 3−1−2 Donnes :T sid = 86164s;R T = 6378km;M T = 5,97.10kg;G= 6,67.10m kgs. Le satellite Hipparcos devait tre plac sur une telle orbite gostationnaire mais, en raison d’une panne de moteur au moment du lancement, il se retrouva sur une orbite trs elliptique, ce qui ne l’empcha pas de remplir correctement sa mission. Celle-ci s’est acheve le 17 aoÛt 1993.

C Sondesspatiales aux points de Lagrange Pour succder á Hipparcos, l’Agence spatiale europenne dveloppe le projet Gaia, qui est une sonde devant tre lance en dcembre 2011. Elle doit observer plus d’un milliard d’objets et permettre ainsi de grands progrs dans la connaissance des toiles, des galaxies et des plantes extrasolaires. L’orbite de Gaia sera compltement diffrente de celle d’Hipparcos puisque Gaia sera place á l’un des points de Lagrange. Les points de Lagrange sont des points particuliers oÙ un objet de faible masse (comme une sonde) tournerait autour du Soleil avec exactement la mme vitesse an- gulaire que la Terre. On ne s’intressera qu’aux deux points de LagrangeL 1 etL 2 qui se situent tous deux sur la droite(ST)oÙSest le centre du Soleil etTcelui de la Terre,L 1 tant entreSetTalors queL 2 se trouve plus loin deSqueT(cf. figure ci-contre). On appelle le rfrentiel hliocentrique, suppos galilen, d’origine Set dont les axes (SX,SY,SZ) ont des directions −→−→−→ fixes. On dfinit un second rfrentiel,R(S, u x , u y , u z ) tournant par rapport au prcdent autour de l’axeSZ dθ á la vitesse angulaire de la Terre,ω=, constante, la dt Terre tant suppose avoir une orbite circulaire autour du Soleil. On suppose que la sonde se trouve au point de LagrangeL 2 . On notera :d=ST,` 2 =T L 2 . C.1Le rfrentielRest-il galilen? C.2On se place dans le rfrentielR. La sonde, de massem, subit alors la force : −→−→−→ 2 −→ F=F S +F T +m(d+` 2 )ω u x −→−→ oÙF S etF T sont les forces gravitationnelles exerces respectivement par le Soleil et par la Terre sur 2 −→ la sonde. Expliquer l’origine du troisime termem(d+` 2 )ω u x . −→ C.3Donner l’expression deF S en fonction deG,m,d,` 2 et de la masse du SoleilM S dans la base −→−→−→ (u x , u y , u z )deR. 2

−→ C.4Donner l’expression deF T en fonction deG,m,` 2 et de la masse de la TerreM T dans la base −→−→−→ (u x , u y , u z )deR. C.5Ècrire la condition d’quilibre de la sonde dans le rfrentielRen ne faisant intervenir queG, M T ,M S ,d,` 2 et la dureT A de l’anne terrestre (priode de l’orbite de la Terre autour du Soleil). ` 2 C.6En utilisant la 3e loi de Kpler donne á la question A.9, et en notantε=, montrer que   d 1 M T cette condition peut s’crire :M S 1 +ε− 2 − 2 = 0 (1+ε)ε 3 M T C.7On supposeε1. Montrer que l’quation prcdente se simplifie en :ε=γ. Dterminer M S α la constante sans dimension,γ. On rappelle qu’au second ordre prs,(1 +ε)≈1 +αε. 8 2430 C.8Calculer numriquement` 2 . Donnes :d= 1,5.10km;M T = 5,97.10kg,M S = 1,99.10kg. C.9On admet que le point de LagrangeL 1 est le symtrique deL 2 par rapport áTc’est-á-dire queT L 1 =T L 2 . Ètant donn les objectifs de Gaia, dire, en justifiant la rponse, si les ingnieurs de l’ESA prvoient d’envoyer Gaia au point de LagrangeL 1 ou au point de LagrangeL 2 .

ProblÈme IIDynamique de molÉcules diatomiques Une molcule diatomique peut tre assimile á un systme mcanique constitu de deux points matrielsA 1 etA 2 de masses respectivesm l etm 2 situs dans un rfrentielRgalilen aux positions −→−→ dfinies par les vecteursr l etr 2 (cf. figure ci-dessous). Les quantits de mouvement deA 1 etA 2 sont notes respectivementp 1 etp 2 . Ces deux points matriels sont soumis á des forces d’interaction −→ −→ −→−→ drivant d’une nergie potentielleE p (r), oÙrest la norme der=r 1 −r 2 : la forceF I cre par −→ dE p −→−→ A 2 et s’exerÇant surA 1 s’crit doncF I =−u r oÙu r est le vecteur unitaire port par la droite dr −→−→ (A l A 2 ) et dirig deA 2 versA l (de sorte que l’on peut crirer=rur).

On considre que les deux points matrielsA l etA 2 sont uniquement soumis aux forces d’interaction drivant de l’nergie potentielleE p (r).

A PointmatÉriel fictif A A.1Donner la dfinition et un exemple de rfrentiel approximativement galilen. −→ A.2Donner l’expression de la forceF 2 cre parA 1 et s’exerÇant surA 2 . −→−→ A.3Dterminer l’expression der G , position du centre de masseGdu systme, en fonction der l −→ etr 2 dans le rfrentielR. −→ A.4Dterminer la quantit de mouvementp G deGaffect de la massem=m 1 +m 2 en fonction −→ −→−→ dep 1 etp 2 . Que peut-on dire dep G ? Conclure sur le mouvement deGdansR. −−→−−→ −→ A.5Exprimer les vecteursGA 1 etGA 2 en fonction der.

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A.6Appliquer la relation fondamentale de la dynamique aux points matrielsA l etA 2 et en dE −→ p −→ combinant ces deux relations, montrer quervrifie l’quation diffrentielle suivante :µr¨ =−u r dr m 1 m 2 avecµ= m 1 +m 2 −→ −→ On dfinit un point matriel fictifAde positionGA=ret de masseµ. Les trajectoires deA 1 etA 2 autour deGse dduisent de celle deApar partir des rsultats tablis á la question A.5. On admettra donc que le mouvement deA l etA 2 dans le rfrentiel du centre de masseR G se dduit de −→ celui du point matrielAsoumis á la forceF I . A.7Montrer que dans le rfrentielR G du centre de masse, le moment cintique par rapport áG du systme des deux points matrielsA 1 etA 2 est gal au moment cintique par rapport áGdu point matriel fictifA. A.8Montrer que dans le rfrentielR G , l’nergie cintique du systme des deux points matriels A l etA 2 est gale á l’nergie cintique du point matriel fictifA.

B Approximationde l’Énergie potentielle d’interaction L’nergie potentielleE p (r)est reprsente graphiquement sur la figure ci-dessous. On tudie uniquement les mouvements du systme lorsquerreste proche der e , valeur pour laquelleE p (r)est minimum et est gale á−E p0 .

B.1Quel est l’tat du systme lorsquer=r e ? B.2A partir d’un dveloppement limit au deuxime ordre deE p (r)autour du point(r e ,−E p0 ), on montre que : 2 dE p (r−r e ) E p (r) =E p (r e ) + (r−r e ) (r=r e ) +k dr2 2 d E p oÙk= 2 (r=r e ). Simplifier cette expression et donner l’unit dek? dr −→ B.3A partir de l’expression prcdente deE p (r), dterminer l’expression de la forceF I á laquelle −→ −→−→ est soumis le pointAen fonction dek,r,r e etu r . On vrifiera queF I est dirige selonu r lorsque −→ r < r e et selon−u r lorsquer > r e . Dans toute la suite du problÈme, on conservera pourE p (r)l’expression obtenue À la question B.2 en supposant querreste toujours proche der e .

C Vibrationet rotation de la molÉculeA 1 A 2 −→ C.1Quelles proprits vrifient l’nergie totaleE T et le moment cintiqueLpar rapport áGdu point matriel fictifAdans le rfrentielR G ? En dduire que la trajectoire deAest plane. 4

−→−→ On noterau r etu θ , les vecteurs unitaires usuels des coordonnes polaires(r, θ)deAdans le plan −→−→−→ de sa trajectoire dans le rfrentielR G . On noterau z le vecteuru r ∧u θ . −→ −→−→ ˙ C.2Exprimer le vecteur vitesser˙du pointAen fonction der˙,θet des vecteursu r etu θ . −→ −→ ˙ C.3ExprimerLen fonction der,θ,µet du vecteuru z . ˙ C.4ExprimerE T en fonction der,r e ,r˙,θ,µ,k, etE p0 , puis en fonction der,r e ,r˙,µ,k,E p0 et −→ L(norme deL). C.5Montrer que lorsqueL= 0, la trajectoire deAest rectiligne et que l’on peut assimiler le systme mcanique á un oscillateur harmonique dont on exprimera la pulsationω 0 (appele aussi pulsation de vibration de la molcule) en fonction deketµ. Dterminer l’expression de la trajectoire −→−→ r(t)du pointAavec les conditions initiales suivantes :r(0) =Cu r etr˙(0) = 0. C.6On supposeL6= 0. Montrer que si le mouvement du pointAest uniforme alors ce mouvement est un cercle centr surGdont on calculera le rayon,R, en fonction der e ,ω 0 etΩ, vitesse angulaire deAautour deG(aussi appele pulsation de rotation de la molcule). −10 C.7Applications numriques. On considre la molculeA 1 A 2 caractrise par :r e = 10m, 3−26 k= 1.10SIetµ= 10kg. C.7.1Justifier rapidement les ordres de grandeur der e etµ. C.7.2Calculer la valeur deω 0 . −33 C.7.3Calculer la valeur deRdans le cas oÙL= 10J.set en supposantRproche der e . C.7.4A quel(s) domaine(s) du spectre lectromagntique appartiennentω 0 etΩ?

ProblÈme IIITir d’un obus vers le zÉnith e Au 17 sicle, le Pre Mersenne, ami et correspondant de Descartes, se livra á un tir d’obus, le canon tant point vers le znith. Le rsultat ne fut pas du tout celui escompt. On se propose d’tudier l’influence de diffrents facteurs physiques sur la trajectoire de l’obus. −1 En un lieuAde latitudeλ= 48N, un canon tire un obus á la vitessev 0 = 100mssuivant la verticale ascendanteAz. On dsigne parAxyzun repre orthonorm li á la Terre,Axtant dirig vers le Sud. On assimile la Terre á une sphre homogne, tournant autour de l’axe des pÔles á la −5−1 −→ vitesse angulaireω 0 = 7,3.10rad.s. On noteg 0 le champ de pesanteur terrestre, de moduleg 0 −2 suppos constant gal á10ms.

A Etudedans le rÉfÉrentiel terrestre galilÉen A.1On nglige la rsistance de l’air. −→ A.1.1Donner l’expression de la vitessevde l’obus á un instant quelconque. A.1.2Exprimer l’nergie mcanique de l’obus. Varie-t-elle au cours du temps? Calculer l’altitude maximale atteinte par l’obus. A.1.3En quel point et au bout de combien de temps l’obus retombe-t-il? A.2La rsistance de l’air sur l’obus, de forme sphrique de rayonr 0 = 5cmet anim d’une vitesse 2 2 v, se traduit par une force de modulekπr vaveck= 0,25S.I.. L’obus est en plomb de masse 0 −3 volumiqueρ= 11,3g.cm. A.2.1Prciser l’unit dek. A.2.2Comparer la force de frottement au poids. Commenter. 2 A.2.3On prend en compte cette force de frottement fluide. On poseu=v. Montrer que, dans la phase ascendante,uvrifie l’quation : du kπ 2 =−2g 0 −2r u 0 dz m Expliciter la fonctionz(u). En dduire l’altitude maximale atteinte par l’obus. On posera m d= 2 . 2kπr 0 Dans la suite du problme, on ne prend pas en compte les frottements de l’air sur l’obus. 5

B Etudedans le rÉfÉrentiel terrestre non-galilÉen B.1Ecrire l’quation du mouvement de l’obus. Pourquoi la force d’inertie d’entranement n’inter- vient pas explicitement dans l’quation du mouvement? −→−→ −→ B.2Soit(i ,j , k)la base orthonorme associe au repre(Axyz).Mreprant la position de −−→ −→−→ −→ l’obus, on poseAM=x i+y j+z k. B.2.1On value la force d’inertie de Coriolis en utilisant la loi de vitesse obtenue au1. Justifier cette mthode de calcul. B.2.2Montrer que : 2 d y =−2ω 0 (v 0 −g 0 t) cosλ 2 dt B.2.3En dduire une expression approche de l’ordonneyde l’obus. Èvalueryau moment oÙ l’obus tombe sur le sol. La dviation se fait-elle vers l’Ouest ou vers l’Est? Le rsultat dpend-il de l’hmisphre dans lequel on effectue le tir? B.3L’expression de la force de Coriolis utilise ne permet pas de mettre en vidence une dviation dans l’axe Nord-Sud. Or cette dviation existe. Expliquer cette apparente contradiction. Que penser de cette dviation compare á celle calcule á la question prcdente?

C Analysedu mouvement de l’obus dans le rÉfÉrentiel gÉocentrique C.1Rappeler la dfinition du rfrentiel gocentrique. Pourquoi peut-il tre suppos galilen pour ce type d’exprience? C.2Dterminer la vitesse initiale de l’obus dans ce rfrentiel. C.3Si on considre le champ de gravitation uniforme sur la trajectoire de l’obus, montrer alors que celui-ci retombe enA. Comment l’observateur gocentrique peut-il justifier la dviation value dans la partie prcdente?

Exercice 1Un peu de pratique... On souhaite observ á l’oscilloscope le signal suivant dlivr par un GBF :v(t) =v 0 +v m cos(2πf t) avecf= 1kHz,v 0 = 5Vetv m = 8V. 1. Lorsde l’observation, on constate que le signal « dfile sur l’cran ». Pourquoi le signal dfile? Que faut-il faire pour le stabiliser? 2. On souhaite rgler prcisment les valeurs dev 0 etv m á l’aide d’un multimtre numrique. Comment faut-il procder? (on dtaillera notamment le mode utilis pour le multimtre : AC, DC, AC+DC). 3. LeGBF tant parfaitement rgl, on observe ce signal á l’oscilloscope et on constate que l’on observe un signal centr sur zro volt. Que doit on faire pour observer l’ensemble du signal sur l’oscilloscope ? 4. On souhaite observer ce signal sur Synchronie. Choisir une dure d’acquisition adapte á ce signal. Les paramtres d’acquisition tant bien rgls. Que constate-t-on? Pourquoi? 5. On considre dsormais un circuit RLCaliment par un GBF. On souhaite visualiser sur la voie 1 de l’oscilloscope la tension aux bornes du GBF et sur la voie 2 l’image du courant qui traverse le circuit. Faites le schma du montage et indiquer les branchements de l’oscilloscope. Peut-on observer á l’aide de l’oscilloscope la tension aux bornes du condensateur et le courant qui traverse le circuit? Expliquer.

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