Introduction mathématique pour l'électromagnétisme

Tahar Kateb

Description

Un chapitre d'introduction mathématique pour le cours de physique électromagnétisme de 2éme année.

Informations

• Publié par: faucon_tn2003
• Publié le: 18 juin 2014
• Nombre de lectures: 52
• Langue: Français

Extrait

Chapitre 0.Rappels mathématiques et Éléments d’analyse vectorielle

0.1.1. Systèmes de coordonnées

A.1. Coordonnées cartésiennes •, u , uO ;uM Dans le repère orthonormé direct ( x y z ), un point x, y, de l’espaceest repéré par ses coordonnées cartésiennes ( z ). Le vecteur position dupoint Ms’écrit : •

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x, y ou zM Lorsque les coordonnéesunede subissent dMx,dy ou dz variation élémentaire, le pointse dx.u ,dy.u etdz.u déplace respectivement de zx y . •dV Ainsi, le volume élémentaireest un petit dx,dy et dz parallélépipèderectangle d’arêtes: dV = dx˟dy˟dz .

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A.2. Coordonnées cylindriques

•On peut aussi repérer tout point M de l’espace par ses coordonnées cylindriques (r,θ,z) (fig. 2): –r représente la distance du point M à l’axe Oz (r> 0) ; –θ définit la position du point M autour de Oz (qangle compris entre 0 et 2p) ; –z représente la cote du point M. •On définit la base orthonormée directe (u , r u q , u z ) en posant (H projection orthogonale du point M sur le planxOy). Dans le repèreorthonormé, le vecteur positio du point M s’écrit alors : 19/04/2014 Rappelset compléments mathématiques

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 Lorsqueles coordonnéesr, θ ou z de M subissent une variation élémentairedr,dθou dz, le point M se déplace respectivement de dr u, ru r dqu q ou dz z . •Ainsi, le volume élémentairedVest un petit parallélépipède rectangle d’arêtesdr,rdθet dz : dV = dr˟rdq˟dz

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A.3. Coordonnées sphériques •Enfin, on peut aussi repérer tout point M de l’espace par ses coordonnées sphériques (r, θ,f) (fig. 3) : –r représente la distance du point M au point O (r = OM >0); –θetfdéfinissent la direction dans laquelle, depuis le point O, on voit le pointM (θ angle compris entre 0 etp,fangle compris entre 0 et 2p). •On définit la base orthonormée directe (u ,u ,u, r •Dans cette base le vecteur position s’écrit:

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•Lorsque les coordonnéesr, θ oufde M subissent une variation élémentaire dr,dθou df, le point M se déplace respectivement de drou sinθdf  Ainsi,le volume élémentaire dV est un petit parallélépipède rectangle d’arêtesdr, rdθet r sinθdf: f •+r ddOM= dr uqu q + r sinqd u fr •rddV = drq rsinqdf

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0.1.2 Intégrales multiples, circulation et flux A. Intégrales multiples •Lorsqu’on intègre sur une surface ou un volume, il est nécessaire de faire varier plusieurs coordonnées. Le calcul d’une telle intégrale, dans lecas général, est compliqué. •Cependant, si la fonction à intégrer F(x, y, z) est un produit de fonctions de chacune des coordonnées F = f*g*h et que les bornes d’intégrationde chaque coordonnée sont indépendantes des autres coordonnées, alorsl’intégrale multipleest égale au produit des intégrales simples:

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Applications: •Calculer la surface d’une calotte sphérique de rayons (R, a), où Rest le rayon de la calotte sphérique etale rayon du disque apparent sous lequel on voit la calotte depuis son axe. •Calculer le volume d’une sphère de rayonR. •Rép.: calotte 2 •2S =pcos(arcsin(a/R))R (1 cal a R O 3 •4/3V =pR. sphère 19/04/2014 Rappelset compléments mathématiques9

B. Circulation d’un champ de vecteur

•Circulation : on considère un champ de vecteurA(r), la circulation deAle long d’un contour (C) s’écrit: (C) A dl •r = OM; dr = dOM = dl M O A •Circulation le long d’un contour fermé: dr

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(C) Rappels et compléments mathématiques10

 Application: •Calculer la circulation deentre (0, 0,0) et (1, 1, 0).  Rép.: •Chemin droit:  E.dl= (3x+2y)dx–5dy y

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O

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x 11