Lycée Brizeux Samedi février PCSI A B

Yves Josse

Description

Niveau: Supérieur
Lycée Brizeux Samedi 19 février 2011 PCSI A & B Devoir surveillé no 5 Électrocinétique – La durée de l'épreuve est de 4 heures. Les candidats ne sont pas autorisés à sortir avant la fin du temps prévu. – L'usage de la calculatrice est autorisé. – Tous les problèmes et exercices sont indépendants – Les résultats devront être encadrés. – Toute application numérique ne comportant pas d'unité sera considérée comme fausse. – Si au cours de l'épreuve vous repérez ce qui semble être une erreur d'énoncé, vous le signale- rez sur votre copie et poursuivrez votre composition en expliquant les raisons des initiatives que vous avez été amené à prendre. – Les résultats littéraux non homogènes entraîneront la perte de tous les points de la question. Problème I Bobine en régime sinusoïdal forcé On dispose d'une bobine B que l'on assimilera à l'association série d'une inductance L et d'une résistance r. (L et r sont des constantes positives, indépendantes de la fréquence). A Détermination de r A.1 La bobine est parcourue par un courant i(t). Exprimer la tension u(t) a ses bornes en fonction de r, L, i(t) et de sa dérivée par rapport au temps. A.2 On réalise le circuit suivant, en plaçant, en série avec la bobine, un résistor de résistance R = 40 ?.

• nature probable du filtre


• amplitude ue de la tension ue


• module au carré de l'impédance du dipôle ab


• diagramme de bode du filtre précédent


• série avec la bobine


• expression de l'impédance complexe

Informations

• Publié par: profil-nechor-2012
• Publié le: 01 février 2011
• Nombre de lectures: 110
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

LycÉe Brizeux PCSI A & B

o Devoir surveillÉ n5

Samedi 19 fÉvrier 2011

ElectrocinÈtique –La durÉe de l’Épreuve est de 4 heures. Les candidats ne sont pas autorisÉs À sortir avant la fin du temps prÉvu. –L’usage de la calculatrice est autorisÉ. –Tous les problÈmes et exercices sont indÉpendants –Les rÉsultats devront tre encadrÉs. –Toute application numÉrique ne comportant pas d’unitÉ sera considÉrÉe comme fausse. –Si au cours de l’Épreuve vous repÉrez ce qui semble tre une erreur d’ÉnoncÉ, vous le signale- rez sur votre copie et poursuivrez votre composition en expliquant les raisons des initiatives que vous avez ÉtÉ amenÉ À prendre. –Les rÉsultats littÉraux non homogÈnes entraneront la perte de tous les points de la question.

ProblÈme IBobine en rÉgime sinusodal forcÉ On dispose d’une bobineBque l’on assimilera á l’association srie d’une inductanceLet d’une rsistancer. (Letrsont des constantes positives, indpendantes de la frquence).

A Dèterminationde r A.1La bobine est parcourue par un couranti(t). Exprimer la tensionu(t)a ses bornes en fonction der, L, i(t)et de sa drive par rapport au temps. A.2On ralise le circuit suivant, en plaÇant, en srie avec la bobine, un rsistor de rsistance R= 40 Ω. L’alimentation est un gnrateur de tension continue, constante, de force lectromotrice E 0 = 1,0Vet de rsistance interner 0 = 2,0 Ω.

On mesure, en rgime permanent, la tensionU R aux bornes deR. Exprimerren fonction des donnes de cette question. CalculerravecU R = 0,56V.

B Dèterminationde r et L À partir d’un oscillogramme On place, en srie avec la bobine, un rsistor de rsistanc R= 40 Ωet un condensateur de capacitC= 10µF. Le GBF (gnrateur basses frquences) est rgl pour d- livrer une tension sinusodale de frquencef= 250Hz(l pulsation sera noteω) et de valeur crte á crte de 10 V. Deux tensions sont visualises sur un oscilloscope num- rique. On obtient un oscillogramme quivalent au graphe suivant :

1

B.1Dterminer l’amplitudeU e de la tensionu e et l’amplitudeU R de la tensionu R . B.2Dterminer l’amplitudeIdu couranti. B.3Rappeler l’expression gnrale de l’impdanceZd’un dipÔle quelconque (module de l’im- pdance complexe). Calculer alors l’impdanceZ AM du dipÔleAM. B.4Des deux tensions,u R (t)etu e (t), laquelle, et pourquoi d’aprs l’oscillogramme, est en avance sur l’autre? asag B.5Dterminer prcisment, á partir de l’oscillogramme, le dpheφ u e /i entreu e eti, (c’est á dire entreu e etu R ). B.6Ecrire l’expression gnrale de l’impdance complexeZ AM en fonction der, R, L, C,ω. B.7Ecrire l’expression de l’impdance complexeZ AM en fonction de son moduleZ AM et du dphasageφ u e i . B.8Exprimerren fonction deR, Zetφ. Calculer sa valeur. AM u e /i B.9ExprimerLsa valeur.en fonct. uler ion deC, ω, Z AM etφ u e /i Calc

C Etudede la fonction de transfert C.1Rappeler la dfinition de la fonction de transfertHdu filtre ainsi form avecu e pour tension d’entre etu R pour tension de sortie. C.2Proposer un schma quivalent en basses puis en hautes frquences et en dduire la nature probable du filtre. C.3ExprimerHen fonction der, R, L, C, ω. H max   C.4MettreHsous la forme :H=. On exprimera littralementH max , le ω ω 0 1 +jQ− ω 0 ω paramtreω 0 ainsi que le facteur de qualitQde ce circuit en fonction der, R, L, C. C.5La figure ci-dessous reprsente (en partie) le diagramme de Bode du filtre prcdent. Rap- peler la dfinition du diagramme de Bode.

2

C.6Dterminer, á partir du graphe et des donnes initiales, les valeurs deretL.

D Facteurde puissance On reprend le circuit de la partieBavecf= 250Hz. D.1Rappeler la dfinition du facteur de puissance. D.2On place alors, en parallle surADune bote de condensateurs á dcades (figure ci-dessous) 0 et l’on fait varier cette capacitCjusqu’á ce que, en observant l’oscilloscope,u R etu e soient en phase.

Quelle est alors la valeur du facteur de puissance du circuitAM? D.3Quelle est alors la valeur du facteur de puissance du circuitAD? D.4Quelle particularit prsente alors l’admittance complexeY AD du circuitAD? 0 D.5ExprimerY AD en fonction der,L,C,Cet de la pulsationω 0 D.6DterminerCen fonction der,L,C,ω. Faire l’application numrique avec les valeurs de retLcalcules prcdemment.

3

ProblÈme IICircuit Électrique anti-rÉsonant On considre le circuit suivant(C 1 )aliment par une source de tension alternative de f.e.m. e(t) =E 0 cos(ωt). La bobine idale a une inductanceL(L= 0,10H), le conducteur ohmique une rsistanceR(R= 10 Ω) et le condensateur une capacitC(C= 1,0nF).

2 On noterajle nombre complexe tel quej=−1

A Questionsprèliminaires A.1Qu’appelle-t-on rsonance en intensit dans un circuit? Par analogie que peut-on appeler antirsonance en intensit? A.2 Dansle cas du circuitR,L,CsÉriequelle est l’expression de l’impdance complexe Z? Quelle est l’expression du moduledu dipÔle constitu par l’association de ces trois lments Z(ω)de cette impdance complexe? A.3â quelle condition surZ(ω)? Pour quellea-t-on rsonance en intensit dans le circuit srie valeurω 0 de la pulsation ce phnomne se produit-il ? Que peut-on dire du dphasage de l’intensit dans le circuit par rapport á la tension aux bornes du conducteur ohmique á la rsonance? B Ètudedu circuit anti-rèsonant B.1Calculer l’impdance complexe du dipÔleAB. B.2En dduire que le module au carr de l’impdance du dipÔle AB s’crit : 2 22 R+L ω 2 Z(ω) = 2 22 22 (1−LCω) +R C ω B.3Une drivation non demande montre queZ(ω)passe par un extremum pour une pulsation h i p 0 02 22 2 ωqui vrifieω=ω1 + 2R C/L−R C/L. 0 00 2 R C B.3.1Vrifier que :1. L 0 B.3.2Montrer queω 0 =ω 0 (1−f(R, L, C))oÙω 0 reprsente la pulsation de rsonance du circuitR,L,Csrie tablie á la questionA.2etf(R, L, C)une fonction deR,LetC dont on prcisera l’expression. 0 B.3.3Calculer numriquementf(R, L, C)pour le circuit tudi. Que peut-on alors dire deω 0 etω 0 0 Dans tout la suite on pourra utiliser l’approximationω 0 ≈ω 0 . B.4Donner les limites deZ(ω)en0et en l’infini. Donner l’allure des variations de cette fonction 0 en prcisant la valeur deZ(ω) =Z m . Justifier que l’on parle d’« antirsonance » dans ce cas. 0 0 B.5Ètablir une relation entrei,i,R,L,Cetω.

4

0 0 B.6Notons respectivementIetIles amplitudes deieti. Montrer qu’á l’antirsonance le courantIdans la branche constitue par la bobine et le conducteur ohmique est beaucoup plus grand que celuiIdans le circuit gnral. Soit(C 2 )le circuit suivant, constitu de l’association parallle d’une bobine idale d’induc- 0 0 tanceL, d’un conducteur ohmique de rsistanceRet d’un condensateur de capacitC, identique á celui intervenant dans le circuit(C 1 ).

B.7Montrer qu’au voisinage de l’antirsonance les circuits(C1)et(C2)peuvent tre considrs 0 0 comme quivalents et calculer alorsLetRpour que cette quivalence soit ralise. On utilisera avantageusement les admittances pour traiter cette question.

ProblÈme IIICapteur pH-mÉtrique Pour dterminer lepHde l’eau d’une piscine, on utilise unpH-mtre lectronique. Il est constitu d’une lectrode de verre et d’une lectrode de rfrence relie á la masse. Lorsque l’lectrode de verre est plonge dans l’eau, on obtient une pile dont la force lectromotriceE dpend dupH. Sa rsistance interne est noteR. On ralise le montage suivant dans lequel tous les amplificateurs oprationnels sont supposs idaux et fonctionnent en rgime linaire.

1. Etablir l’expression deU A en fonction de la force lectromotrice de la pile. Nommer le montage. On considre queE= 406−58pHenmV. U B 2. Exprimerle gain de l’tage intermdiaireG=. Nommer cet tage. U A 3. OnfixeR 2 = 10kΩ. En dduire la valeur deR 1 pour obtenir une variation deU B de±1V quand le pH varie d’une unit. 4. Endduire l’expression numrique deU B en fonction dupH. On dsire faire une lecture directe dupHsur un millivoltmtre de rsistance interne trs grande, suppose infinie. 0 5. ExprimerU C en fonction deRE , 3 etR 4 . 0 6. Endduire l’expression deU V =U B −U C en fonction deE ,R 3 , R 4 et dupH. 0 7. OnfixeR 4 = 470ΩetE=−15V. Dterminer la valeur á donner áR 3 pour avoirU V =pH.

5

ProblÈme IVFiltre actif On considre le filtre suivant oÙ l’amplificateur oprationnel est suppos ideal et fonctionne en regime linaire quelque soit la frquence. La tension d’entre est fournie par un gnrateur et s’critv e (t) =V em cos(ωt+ϕ e )oÙV em est la valeur maximale etωla pulsation de la tension d’entre. La tension de sortie sera note v s (t) =V sm cos(ωt+ϕ s ). L’tude mathmatique du filtre sera effectue en utilisant la notation j(ωt+ϕ e )j(ωt+ϕ s ) 2 complexev e etv s pour ces deux tensions :v e =V em eetv s =V sm eavecj=−1.

A Analysequalitative A.1Rappeler ce qu’est un amplificateur idal fonctionnant en rgime lineaire. A.2Comment se comporte un condensateur en basse frquence ? Reprsenter le circuit en basse frquence. Etablir á partir de ce circuit la limite dev s en basse frquence. A.3? Reprsenter le circuit enComment se comporte un condensateur en haute frquence haute frquence. Etablir á partir de ce circuit la limite dev s en haute frquence. A.4Dduire de ce qui prcde la nature du filtre.

B Analysequantitative H 0 B.1Montrer que la fonction de transfert complexe s’ecrit :H= 2 . ω ω 1−+2jλ 2 ω ω 0 0 On prcisera les expressions deH 0 , λetω 0 en fonction deRetC. Vrifier la concordance des resultats duAavec cette expression deH. B.2Comment s’exprime l’amplitudeV sm du signal de sortie en fonction de|H|et de l’amplitude V em du signal d’entrev e ? Quelles grandeurs lectriques faut-il donc relever exprimentalement pour dterminer|H|?? Quel(s) appareil(s) peut-on utiliser B.3Comment s’exprime la phaseϕ s du signal de sortiev s en fonction de la phaseϕdeHet de la phase du signal d’entreϕ e ? Quel(s) appareil(s) peut-on utiliser pour mesurerϕ? B.4 Diagrammede Bode √ 2 On considrera par la suite queλ=. 2 1 B.4.1Montrer que|H|=. r 4 ω 1+ 4 ω 0 B.4.2Tracer le diagramme de Bode en gain du filtre directement sur votre feuille en prcisant les grandeurs portes sur les axes ainsi que les valeurs remarquables de ces grandeurs. On prcisera les asymptotes en basse et haute frquence ainsi que la pulsation de coupure á−3dB. B.4.3Tracer le diagramme de Bode en phase du filtre. On prcisera les asymptotes en basse et haute frquence. Que vaut la phaseϕdeHpourω=ω 0 ?

6