M1 Cinématique du point matériel

Yves Josse

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
M1 Cinématique du point matériel La cinématique est la discipline de la mécanique qui étudie le mouvement des corps, en faisant abstraction des causes du mouvement. Cette étude du mouvement nécessite un repérage dans l'espace et dans le temps. I Repères d'espaces En physique et notamment en mécanique on travaille dans un espace à trois dimensions. Pour repérer un pointM , il faut donc connaître les composantes du vecteurs position ??? OM dans un système de coordonnées judicieusement choisi. I.1 Notion de point matériel I.1.a) Solide Un solide est un système matériel (S) dont les distances entre deux points quelconque de (S), restent invariable au cours du temps. ?(N,P ) ? S || ??? NP || = cste Un système de coordonnées est dit lié à un solide lorsque l'origine et les axes de ce système sont fixes par rapport au solide. I.1.b) Définition d'un point matériel On appelle point matériel un solide dont la position est entièrement définie par la seule donnée des trois coordonnées d'un point du solide. Ce point est également affecté de caractéristiques physiques du solide parmi lesquelles la masse, la charge la force appliquée. . .Cela revient à négliger tout effet de rotation du solide sur lui même ou son extension spatiale.

• composantes dans la base choisie


• point matériel


• déplacements élémentaires


• ??? om


• vecteur de position


• composante


• coordonnées sphériques

Sujets

• Point matériel
• Composante
• Coordonnées sphériques

Informations

• Publié par: profil-thowyeng-2012
• Nombre de lectures: 169
• Langue: Français

Extrait

M1 CinÉmatique du point matÉriel

La cinÉmatique est la discipline de la mÉcanique qui Étudie le abstraction des causes du mouvement. Cette Étude du mouvement et dans le temps.

mouvement nÉcessite un

des corps, en faisant repÉrage dans l’espace

I RepÈresd’espaces En physique et notamment en mÉcanique on travaille dans un espace À trois dimensions. Pour −−→ repÉrer un pointM, il faut donc connatre les composantes du vecteurs positionOMdans un systÈme de coordonnÉes judicieusement choisi. I.1 Notionde point matÉriel I.1.a) Solide Un solide est un systÈme matÉriel (S) dont les distances entre deux points quelconque de (S), restent invariable au cours du temps. −→ ∀(N, P)∈S||N P||=cste Un systÈme de coordonnÉes est dit liÉ À un solide lorsque l’origine et les axes de ce systÈme sont fixes par rapport au solide.

I.1.b) DÉfinitiond’un point matÉriel On appelle point matÉriel un solide dont la position est entiÈrement dÉfinie par la seule donnÉe des trois coordonnÉes d’un point du solide. Ce point est Également affectÉ de caractÉristiques physiques du solide parmi lesquelles la masse, la charge la force appliquÉe.. .Celarevient À nÉgliger tout effet de rotation du solide sur lui mme ou son extension spatiale.

Mme si la validitÉ de ce concept peut tre remis en cause (par exemple mouvement d’un ballon de rugby ou d’un ballon de foot), l’approximation d’un solide par un point matÉriel permet dans un grand nombre d’expÉriences d’interprÉter correctement la trajectoire observÉe. De plus lorsque cette approximation n’est plus possible, l’Étude du mouvement d’un solide se fera À partir du mouvement du centre d’inertie de celui-ci (Cours de deuxiÈme annÉe).

I.1.c) Mesurede distance On repÈre la position de points matÉriels avec l’unitÉ de longueur du systÈme international : le mÈtre.

La dÉfinition actuelle du mÈtre est la longueur du trajet parcouru dans le vide pendant une durÉe 1 de seconde. 299792458

Ordres de grandeurs : −15 – rayondu noyau atomique : de l’ordre du fermi10m −10 – rayonatomique :10m – rayonde la Terre :6380km 11 – distanceTerre-Soleil :1,495.10m

1

I.2 SystÈmesusuels de coordonnÉes I.2.a) BasesorthonormÉes directes −→−→−→ En mÉcanique toute base (Ensemble de vecteurs linÉairement indÉpendants)(u 1 , u 2 , u 3 )est sup- posÉe orthonormÉe directe : −→−→−→−→−→−→ –u 1 ,u 2 ,u 3 sont unitaires||u 1 ||=||u 2 ||=||u 3 ||= 1, −→−→−→ –u 1 ,u 2 ,u 3 sont orthogonaux entre eux, −→ – Lesens deu 3 est donnÉ par « la rÈgle du tire-bouchon ».

I.2.b) CoordonnÉescartÉsiennes −−→ Dans ce repÈre la position d’un pointMest dÉfinie par le vecteurOMdont les composantes (x, y, z)sont telles que : −−→−→−−→ −→−→−→ OM=OH+HM=xu x +yu y +zu z –xest l’abcissex∈]− ∞; +∞[ –yest l’ordonnÉey∈]− ∞; +∞[ – etzest la cotez∈]− ∞; +∞[

Ce systÈme plus adaptÉ cercles.

de coordonnÉes est celui auquel on pense le plus souvent À la symÉtrie du problÈme, notamment lorsque les points

mais ce n’est pas forcÉment le matÉriels se dÉplacent sur des

I.2.c) CoordonnÉescylindriques et polaires Lorsqu’on Étudie le mouvement de rotation d’un pointMautour d’un axe, on introduit pour −−→ simplifier les calculs le systÈme de coordonnÉes cylindriques. Le vecteur positionOMs’Écrit alors : −−→−→−−→ −→−→ OM=OH+HM=ru r +zu z –rest le rayon polairer∈[0; +∞[ –θest l’angle polaireθ∈[0; +2π[ – etzest la cotez∈]− ∞; +∞[ −→ π →−→− Le vecteur orthoradialu θ s’obtient par une rotation dedeu r , autour de l’axeu z . Lorsque le 2 −−→ −→ −→−→ mouvement est plan (z= 0) on se place dans la base polaire (u r , u θ ), on a alorsOM=ru r

2

On peut relier les coordonnÉes polaires d’un point À ses coordonnÉes cartÉsiennes. Il suffit pour cela de choisir l’axe(Ox)par exemple comme axe de rÉfÉrence pour l’angle de rotationθet de projeter sur les axes(Ox)et(Oy). On peut inverser ce systÈme d’Équations pour obtenir l’expression des coordonnÉes cylindriques en fonction des coordonnÉes cartÉsiennes :   p   2 2 x=rcosθ r=x+y y   y=rsinθ θ[= arctanπ] x

I.2.d) CoordonnÉessphÉriques Lorsque des grandeurs physiques, en un pointMquelconque de l’espace dÉpendent de la distance rÀ un certain pointO.Mpeut tre dÉcrit par ses coordonnÉes sphÉriques(r, θ, ϕ)tel quer=OM, −→ −−→−→−→ θ= (Oz, OM)etϕ= (Ox, OH),HÉtant le projetÉ deMsur l’axexOy. Le vecteur position s’Écrit alors : −−→ −→ OM=ru r –rest le rayonr∈[0; +∞[ –θest la colatitudeθ∈[0;π] – etϕest la longitudeϕ∈[0; 2π[ −−→ −→−→ La base orthonormÉe(u r , u θ , u p hiest dÉfinie par : −−→ −→ –u r le vecteur unitaire suivantOM −→−→ –u θ le vecteur orthogonal Àu r et qui appartient au plan(zOM) −→−→−→−→ –u ϕ le vecteur orthogonal au pointMau plan(zOM), la base (u r , u θ , u ϕ Étant directe

3

I.3 DÉplacementÉlÉmentaire Les dÉplacements ÉlÉmentaires s’obtiennent en faisant varier de maniÈre ÉlÉmentaire chacune des coordonnÉes du systÈme de coordonnÉes considÉrÉ.

I.3.a) CoordonnÉescartÉsiennes Dans le cas des coordonnÉes cartÉsiennes, le dÉplacement ÉlÉmentaire d’un pointMde coordon- 0 nÉes(x, y, z)correspond a son dÉplacement jusqu’au pointM(x+dx, y+dy, z+dz). On a donc −−−→ −−−−→−→ −−→ 0 0 dOM=OM−OM=M M, soit : −−−→ −→−→−→ dOM=dxu x +dyu y +dzu z

I.3.b) CoordonnÉescylindriques et polaires Le dÉplacement ÉlÉmentaire d’un pointM(r, θ, z)correspond À son dÉplacement jusqu’au point −−−→ −−→ −−→−−−→ 0 00 M(r+dr, θ+dθ, z+dz). On a doncdOM=OM−OM=M M. Les variablesr,θetz Étant indÉpendantes, l’expression du dÉplacement ÉlÉmentaire est donc la somme des dÉplacements ÉlÉmentaires correspondant À la variation d’une seule variable. On a alors : −−−→ −→−→−→ dOM=dru r +rdθu θ +dzu z Lorsquez=cste,dz= 0, on obtient alors le dÉplacement ÉlÉmentaire en coordonnÉes polaires : −−−→ −→−→ dOM=dru r +rdθu θ

I.3.c) CoordonnÉessphÉriques De la mme faÇon, on peut montrer qu’en coordonnÉes sphÉriques le dÉplacement ÉlÉmentaire s’Écrit : −−−→ −→ −→−→ dOM=dru r +rdθu θ +rsinθdϕu ϕ

II DescriptioncinÉmatique du mouvement d’un point matÉriel II.1 RÉfÉrentiel II.1.a) RepÈrede temps Pour connatre l’instant d’existence d’un phÉnomÈne physique, un observateur se rÉfÈre À une Échelle de temps. On se place dans le cadre de la mÉcanique classique oÙ le temps est absolu : la mesure du temps est la mme pour tout observateur. UnitÉ de temps :La seconde (s) est dÉfinie comme la durÉe de 9192631770 pÉriodes d’une radiation Émise par un atome de cesium 133. II.1.b) DÉfinitiond’un rÉfÉrentiel On appelle rÉfÉrentielRliÉ À un solide(S)de rÉfÉrence le repÈre d’espace temps qui associe une Échelle de temps À un repÈre spatialRliÉ À(S). II.2 Position,Équation horaire et trajectoire •La positiond’un point matÉrielMdans un rÉfÉrentielRest dÉfini À l’aide du vecteur position −−→−−→ OMoÙOest un point fixe dansRou des composantes deOMdans la base de projection choisie. −−→ •Le mouvement d’un point matÉrielMdansRest dÉcrit par sonÉquation horaire:OM(t) ou ses composantes dans la base choisie. Par exemple(x(t), y(t), z(t)). •La courbe dÉcrite parMau cours du mouvement est latrajectoire. Dans l’Équation de la trajectoire, la variable temporelle ne doit plus apparatre. Exemple : DÉterminer l’Équation de la trajectoire dÉfinit par l’Équation horaire suivante :x(t) =rcosωt,y(t) =rsinωtetz(t) = 0. 4