Master IMEA Mathematiques des derives financiers DM

Description

Niveau: Supérieur, Master
Master 2 IMEA Mathematiques des derives financiers DM Theoreme de Girsanov I. Changement de mesure. Soient un espace probabilise (?,A,P), une variable aleatoire X normale centree reduite et un reel ? positif. On pose, pour tout A ? A Q(A) = E ( 1A exp ( ?X ? ?2 2 )) = ∫ ? 1A exp ( ?X ? ?2 2 ) dP. On veut montrer le resultat suivant : la fonction Q definit une mesure de probabilite sur (?,A) pour laquelle la variable aleatoire X suit la loi N (?, 1) ; en outre Q et P sont equivalentes, i.e. Q(A) = 0 si et seulement si P(A) = 0. On pourra alors ecrire, pour tout A ? A, Q(A) = ∫ ? 1A dQ , autrement dit dQ = exp ( ?X ? ? 2 2 ) dP. On aura aussi, pour toute variable aleatoire Z ∫ ? Z dQ = ∫ ? Z exp ( ?X ? ?2 2 ) dP. a. Montrer que Q(?) = 1 et que Q(Ac) = 1?Q(A).

• imea mathematiques des derives financiers


• proprietes generales de l'esperance conditionnelle


• contexte du modele de black-scholes pour les marches financiers


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• processus des prix

Sujets

• Théorème de Girsanov

Informations

• Publié par: profil-mupheg-2012
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• Langue: Français

Extrait

Master 2 IMEA

Mathe´matiquesdesde´riv´esfinanciers

Th ´ eor ` emedeGirsanov

DM

I. Changement de mesure. Soientunespaceprobabilise´(Ω,A,P´laeotriraailbaeevenu,)Xecentr´enormaluteee´rne´retiudelαpositif. On pose, pour toutA∈ A Z   2   2  α α Q(A) =E 1 A expαX−=1 A expαX−dP. 2 2 Ω Onveutmontrerlere´sultatsuivant: la fonctionQredrpbobalitie´usd´efinitunemesure(Ω,A)iravalele´laelbapoelqulaurreatoiXsuit la loi N(α,1); en outreQetPs,tee.i.viuqnelaose´tnQ(A) = 0si et seulement siP(A) = 0.   R 2 α Onpourraalorse´crire,pourtoutA∈ A,Q(A) =1 A dQ, autrement ditdQ= expαX−dP. On Ω 2 auraaussi,pourtoutevariableal´eatoireZ Z Z  2  α Z dQ=ZexpαX−dP. 2 Ω Ω c a.Montrer queQ(Ω) = 1 et queQ(A) = 1−Q(A). b.Montrer queQestσ-additive. On pourra remarquer que si (A n mene´ve´’detiusesntoisjditsenneunesig)d´ P deux`adeuxdontlare´unionestAalors1 A =1 A n itunesilo;eteleoh´enraitsu:ieBedemr`ev-Lpoep n R PP R si(f n )est une suite de fonctions mesurables positives alors(f n )dP=f n dP. Ω n n Ω c.Montrer que les mesuresPetQostne´uqvilaueqreuqramer(setneP(A) = 0⇔1 A = 0P-ps). d.´eorlethsanttilie,unrtreMnoavlletiouerntepqurtoufsna,treeme`rtedIdeRon a Z   1 1 2 Q(X∈I) = √ exp−(x−α)dx. 2 2π I End´eduirequeladensit´esousQdeXest celle d’une loiN(α,1). Notations : –d´eriv´eedeRadon-Nikodym  2  dQα = expαX−. dP2 –espe´rancesouslaprobabilit´eQ:E Q ; par exemple : dQ E Q (Z) =E(LZ) avecL=. dP

II.Processusdechangementdemesure(pourunbrownieng´ene´ralise´). SoitXipfinaroscupers´leesd X t =µt+σW t ou`µetσ >(u0´nsete`o´eelsdonsontdesrW t ) t≥0 neuntse´eprreP-brownien standard. a.tae´erioellairbaalavioedrlalmineeterD´X t . √ b.Pourtfix,o´eecn´triX t =µt+σ tY t avecY t ∼ Nftisiutrapertoplee´rn(0;1).Soitd’aurfix.´e

michel miniconi

version du 29 septembre 2011