Master Mathematiques MAT414 Universite Joseph Fourier

Joseph Fourier

Description

Niveau: Supérieur, Master
Master 1 Mathematiques, MAT414 Universite Joseph Fourier 2009-2010 Feuille d'exercices 3 : processus a temps discret Exercice 1. Loi geometrique et fonction generatrice. Une variable aleatoire T a valeurs dans N suit la loi geometrique de parametre s ? [0, 1[ si P[T ≥ n] = sn pour tout n ? N, ou encore si P[T = n] = (1? s)sn pour tout n ? N. 1. Montrer que pour toute variable aleatoire X a valeurs dans N, la fonction generatrice gX de X verifie gX(s) = P[T ≥ X], ou T est une variable aleatoire independante de X suivant la loi geometrique de parametre s. 2. En deduire que si X et Y sont deux variables aleatoires independantes a valeurs dans N et T est une variable aleatoire independante de (X,Y ) suivant la loi geometrique de parametre s, alors P[T ≥ X + Y | T ≥ X] = P[T ≥ Y ] . Exercice 2. Marche aleatoire simple sur Z. Soit (Sn)n?N une marche aleatoire simple sur Z partant de l'origine z = 0. On note p = P[Sn+1 ? Sn = 1] la probabilite que le marcheur saute vers la droite et q = 1? p = P[Sn+1 ? Sn = ?1] la probabilite qu'il saute vers la gauche au temps n.

• marche aleatoire


• variable aleatoire


• independantes


• s?


• esperance


• meme loi


• marche aleatoire sur rd de loi µ


• majoration de l'esperance du temps d'extinction


• meme question pour le temps de retour en z

Sujets

• Fourier
• Marche aléatoire
• Variable aléatoire
• Espérance

Informations

• Publié par: profil-mupheg-2012
• Nombre de lectures: 61
• Langue: Français

Extrait

FEUILLE 3 :CALCUL MATRICIEL

1.On donne les 4 matrices      1 12 3 1 0−1 0   −2 45 6     A2 3 4= 1B=C=D= 2−2 3−3.    3 78 9 −1 2−1 2 −4 01 0 Quelssontlesproduits2`a2decesmatricesquiontunsens?Effectuercesproduits.

2.Quelles sont les matrices (2,2)Atelles queAM=M Adans les cas suivants :      1 00 11 10 1 M 1 =, M 2 =, M 3 =, M 4 =. 0 00 00 1−1 0 Dans chacun des cas, peut-on toujours trouverλetµtels queA=λM+µI? Est-ce toujours vrai pour toute matriceM?

3.mauxictrtduideeselredorpffEutcesenomettssuivantseedmstoseofmre´sengisseltna d’op´erations(RaymondQueneau1964)    le a lechat ratlion    unaunmang´ede´vor´ed´egust´e . le avaitun poissonfromage touriste

4.SoientAetBdeux matrices deM(n, K) qui commutent (i.e.AB=BAla). Montrer n   X n n n−k k formuledubinoˆmedeNewton:(A+B) =A B. k k=0

5.re`eidnscoOnciseusviel3samrtantes:     0 10 00 01 00 0 0 1 −01 00 00 01 0 0−1 0     J=K=L=,     0 00−1−1 0 00 01 0 0 0 01 00−1 0 0−1 00 0 1)V´erifierlesrelations: 2 22 J=K=L=−KLI ,=−LK=J 2)End´eduirelesrelationsLJ=−J L=KetJ K=−KJ=L. 3)Onconside`relesous-espacevectorielHdeM(4,R)nearr´epgendI,J,KetLune. Trouver base deHet donner sa dimension. 4) Montrer queHest stable par multiplication, puis montrer que toute matrice non nulle deH admet un inverse dansH.

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