MASTER MATHEMATIQUES PURES

Emmanuel Fricain

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+5
MASTER (MATHEMATIQUES PURES) ANALYSE FONCTIONELLE ET THEORIE DES OPERATEURS COURS et EXERCICES Emmanuel Fricain - 2009-2010 -

• c?-algebre


• calcul fonctionnel


• operateurs compacts


• algebre de banach


• theoreme de banach-steinhaus


• ensembles compacts


• rappels d'analyse complexe


• introduction aux c?-algebres


• definition du calcul fonctionnel de dunford-schwarz

Sujets

• Algèbre de Banach
• Théorème de Banach-Steinhaus

Informations

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Extrait

MASTER (MATHEMATIQUES PURES)
ANALYSE FONCTIONELLE ET
THEORIE DES OPERATEURS
COURS et
EXERCICES
Emmanuel Fricain
- 2009-2010 -2Table des matieres
1 Operateurs bornes... 7
1.1 Adjoint d’une application lineaire continue . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Operateurs normaux, unitaires, positifs... . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Spectre des applications lineaires et continues . . . . . . . . . . . 14
1.4 Exercices, complements de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Operateurs compacts 23
2.1 Applications lineaires compactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Theorie spectrale des operateurs compacts . . . . . . . . . . . . . 30
2.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.1 Premiers exemples d’operateurs compacts : shifts ponderes,
operateurs integraux et operateur de Volterra . . . . . . . 40
2.3.2 Operateurs de Hilbert{Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.3 Decomposition des operateurs compacts . . . . . . . . . . 42
3 Algebres de Banach 45
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2 Inversibilite et spectre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3 Ideaux et caracteres d’une algebre de Banach . . . . . . . . . . . . 58
3.4 Les algebres quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.5 Ideaux maximaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.6 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
34 TABLE DES MATIERES
3.6.1 L’algebre des fonctions continues sur un compact . . . . . 68
3.6.2 L’algebre de Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.7 La transformation de Gelfand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4 Calcul fonctionnel holomorphe... 93
4.1 Aspect algebrique : calcul fonctionnel rationnel . . . . . . . . . . . 93
4.2 De nition du calcul fonctionnel holomorphe.. . . . . . . . . . . . . 97
4.2.1 Formules de Cauchy pour le cas polyn^ omial et rationnel . . 97
4.2.2 De nition du calcul fonctionnel de Dunford-Schwarz . . . . 100
4.2.3 Proprietes du calcul de Dunford-Schwarz . . . 101
4.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5 Calcul fonctionnel continu... 107
5.1 Introduction aux C -algebres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.1.1 Involution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.1.2 Caracteres dans une C -algebre . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.2 Le theoreme de Gelfand{Naimark . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.3 Le calcul fonctionnel continu pour les normaux . . . . . . . . . . . 114
5.4 Mesures spectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.4.1 De nitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.4.2 Integrale d’une fonction scalaire par rapport a une mesure
spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.5 Le theoreme spectral... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
A Quelques rappels d’analyse fonctionnelle 139
A.1 Produit de Cauchy de series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
A.2 Quelques grands principes d’analyse fonctionnelle . . . . . . . . . 140
A.2.1 Theoremes de Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
A.2.2 Theoreme de Banach-Steinhaus . . . . . . . . . . . . . . . 141TABLE DES MATIERES 5
A.2.3 Critere d’inversibilite a gauche . . . . . . . . . . . . . . . . 142
A.3 Supplementaire toplogique... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
A.4 Ensembles compacts et relativement compacts . . . . . . . . . . . 148
A.5 Topologie faible et faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
A.6 Espaces separables, espaces re exifs . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
B Quelques complements d’analyse complexe 171
B.1 Rappels d’analyse complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
B.2 Fonctions reglees a valeurs vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . 175
B.3 Fonctions holomorphes a valeurs vectorielles . . . . . . . . . . . . 179
Bibliographie 1896 TABLE DES MATIERESChapitre 1
Operateurs bornes sur les espaces
de Hilbert
1.1 Adjoint d’une application lineaire continue
entre espaces de Hilbert
On commence avec la notion d’adjoint ; plusieurs des classes particulieres
d’operateurs bornes seront de nies a l’aide de cette notion.
Proposition 1.1.1 Soient E et F des espaces de Hilbert et T2L(E;F ). Alors
il existe un unique T 2L(F;E) tel que, pour tout x2E et tout y2F , on ait :
hT (x);yi =hx;T (y)i:
On a de pluskT k =kTk.
Preuve : Pour touty2F l’applicationx7 !hT (x);yi est lineaire et continue
(de norme inferieure akTkkyk d’apres l’inegalite de Cauchy-Schwarz). D’apres le
theoreme de representation de Riesz, il existe donc un unique element noteT (y)
tel que
hT (x);yi =hx;T (y)i:
On veri e facilement que pour tous y;z2F et scalaire, T (y) + T (z) veri e
la propriete qui de nit T (y + z ). Par unicite, T (y) + T (z) =T (y + z ), ce
qui prouve que T est lineaire.
7 8 CHAPITRE 1. OPERATEURS BORNES...
Par de nition de la norme operateur et en utilisant un corollaire d’Hahn-Banach,
on a
kT k = sup kT yk = sup jhx;T yij
y2F;kyk 1 x2E;kxk 1
y2F;kyk 1
= sup jhTx;yij = sup kTxk =kTk:
x2E;kxk 1 x2E;kxk 1
y2F;kyk 1
Ainsi T est continue etkT k =kTk.

De nition 1.1.2 SoientE etF deux espaces de Hilbert etT2L(E;F ). L’unique
application lineaire T 2L(F;E) telle que pour tous x2E;y2F on ait
hT (x);yi =hx;T (y)i
est appelee l’adjoint de T .
Regroupons dans la proposition suivante quelques proprietes des adjoints.
Proposition 1.1.3 SoientE etF des espaces de Hilbert. L’applicationT7 !T
est isometrique deL(E;F ) dansL(F;E) ; elle est lineaire si les espaces sont reels
et antilineaire si les espaces sont complexes. De plus,8T2L(E;F ), (T ) = T
2 etkT Tk =kTk . En n (TS) =S T .
Preuve : Par de nition du produit scalaire et de l’adjoint, pour tous x2
E;y2F , T ;T 2L(E;F ) et 2C, on a :1 2
hx; (T + T ) (y)i = h(T + T )(x);yi1 2 1 2
= hT (x);yi +hT (x);yi1 2
= hx; (T ) (y)i +hx; T (y)i1 2
= hx; (T + T )(y)i:1 2
Ainsi T7 !T est antilineaire. Elle est isometrique d’apres la proposition 1.1.1.
Montrons que (T ) =T . Pour cela on montre que pour tousx2E ety2F , on1.1. ADJOINT D’UNE APPLICATION LINEAIRE CONTINUE 9
ahT (x);yi =h(T ) (x);yi: On a
hT (x);yi = hx;T (y)i
= hT (y);xi
= hy; (T ) (x)i
= h(T ) (x);yi:
2Montrons quekT Tk =kTk . Tout d’abord on rapelle que la norme operateur
2est une norme d’algebre et donc, en particulier,kT Tk kTkkT k = kTk .
D’autre part, en utilisant encore une fois de plus un corollaire d’Hahn-Banach et
la de nition de la norme operateur, on obtient :
kT Tk = supkT T (x)k
kxk 1
= sup jhT T (x);yij
kxk 1;kyk 1
supjhT T (x);xij
kxk 1
= supjhT (x);T (x)ij
kxk 1
2= kTk :
2 On a donc l’egalitekT Tk =kTk . En n, pour veri er que ( TS) =S T , il su t
de montrer que pour tous x2E et y2F on ah(TS) (x);yi =hS T (x);yi: On
a, par de ntion de l’adjoint,
h(TS) (x);yi = hx; (TS)(y)i
= hT (x);S(y)i
= hS T (x);yi:
Comme ceci est vrai pour tous vecteurs x;y, on a l’egalite (TS) =S T .

Exemples d’operateurs et calculs de leur adjoint 10 CHAPITRE 1. OPERATEURS BORNES...
1. SoitH un espace de Hilbert separable admettant une base orthonormale
(h ) . Soit = ( ) une suite bornee de nombres complexes. On de nitn n n n
surH par
!
X X
28c = (c ) 2‘ (N); c h = c h :n n n n n n n
n0 n0
L’application lineaire est dite diagonale car elle admet une representation
matricielle diagonale relativement a la base (h ) , avec ( ) sur sa diago-n n n n
nale . On veri e que est continue, de normekk . De plus = , 1
ou est la suite des nombres conjuges de la suite .
2 12. SoitH =L ( ;) et f2L ( ;). Soit M de nie parf
M (g) =fg:f
On veri e que M est lineaire, continue, de normekfk et M =M .f 1 f f
2 23. Le shift (operateur de decalage a droite) surH = ‘ (N) ouH = ‘ (Z) est
l’application lineaire de nie par
(S(x)) =x pour tout n2N ou n2Z;n n 1
avec la convention x = 0 lorsque n2N.1
On veri e que S est de norme 1. De plusS est de ni par ( S (y)) =y .n n+1
1 2 2En fait S = S sur ‘ (Z). Par contre S n’est pas inversible sur ‘ (N), il
est simplement inversible a droite avec S S =Id.
Proposition 1.1.4 Soient E et F deux espaces de Hilbert et soit T2L(E;F ).
Alors
? ? F = ker(T ) (Im(T )) et E = ker(T ) (Im(T )) ;
ou (Im(T )) et (Im(T )) designent la fermeture (pour la norme) de Im(T ) et
Im(T ) respectivement.