Master SC M1 MA04 Universite d'Orleans Analyse fonctionnelle de base

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
Master 1. SC M1 MA04. Universite d'Orleans Analyse fonctionnelle de base 2008-9 Examen (Le 9 janvier 2009: 3h) (Les documents, calculatrices et telephones portables sont interdits) La redaction et les justifications seront prises en compte lors de la correction. Question de cours: Enoncer le theoreme de Hahn-Banach geometrique ainsi que le theoreme de l'application ouverte. Exercice 1. Soit H un espace de Hilbert reel. On note < x, y > le produit scalaire et ||x|| la norme associee. (1) Soit x ? H. On pose R(y) =< x, y > pour tout y ? H. Montrer rapidement que R est lineaire et continu. Puis calculer ||R|| la norme de R. (2) Soit (xn)n une suite dans H. On pose Tn(y) =< xn, y > pour tout y ? H. On suppose que la limite de la suite Tn(y) existe lorsque n tend vers l'infini, pour tout y ? H. (a) Montrer que supn |Tn(y)| est fini pour tout y ? H. (b) En deduire que supn ||Tn|| est fini (Justifiez votre reponse). On note T (y) = limn Tn(y).

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• Langue: Français

Extrait

Master 1.SC M1 MA04. Analyse fonctionnelle de base

Examen(Le9janvier2009:3h)

Universit´ed’Orl´eans 2008-9

(Lesdocuments,calculatricesette´l´ephonesportablessontinterdits)

Lar´edactionetlesjustificationsserontprisesencomptelorsdelacorrection.

Question de courscanae´ghe´moqirtor´eme`eHade-Bhnueainsiquethleerncno:E leth´eore`medel’applicationouverte.

Exercice 1.SoitHnntoleO.senuedeHipacetr´elbery >< x,le produit scalaire et ||x||rmnossealaco´iee.

(1) Soitx∈Hpose. OnR(y) =y >< x,pour touty∈Hrapidement. Montrer queRrscalc.uPlueitinutconriee´naetsile||R||la norme deR.

n n (2) Soit(x) n une suite dansH. OnposeT n (y) =>, y< xpour touty∈H. On suppose que la limite de la suiteT n (y)existe lorsquentend vers l’infini, pour touty∈H.

(a) Montrerque sup n |T n (y)|est fini pour touty∈H.

(b)End´eduirequesup n ||T n ||zefiirtov(infitsuJ.e)est´eernspo

On noteT(yli)=m n T n (y).

(c) Montrerque l’applicationTriee´naeitunctnostlieetqeeelu’v´leifier ||T|| ≤lim inf||T n ||. n (3) (a)Montrer qu’il existex∈Htel queT(y) =< x,y >pour touty∈H.

n On dit qu’une suite(x) n deHconvergefaiblementverszsi n lim>< x, y=y >,< z,∀y∈H. n n (b)De´duiredecequipre´c`edeque(x) n deHconvergefaiblementversxdu 3)a) et que n ||x|| ≤lim inf||x||. n 2∗ (4)On poseH=`(N)blreediHapec’lseueaqchntdoel´etrtneme´le´yest une suite dere´els(y k ) k v´erifiant ∞ X 2 |y k |<∞. k=1 1

2 P ∞ Le produit scalaire surHinfie´dtserap< y,z >=y k z k poury, z∈H. k=1 On notee n = (0,0, ...,1,0,0, ....)la suite dont toutes les composantes sont nulles sauflan-ie`mequivaut1. Montrer quee n convergefaiblementvers 0 = (0,0, ....) mais qu’elle ne con- 2∗2∗ verge pas dans`(N) pour la norme`(N).

(5)Enonce´unepropositionr´esumantcequiae´t´ede´montre´danscetteexercice.

Exercice 2.SoitHOn noteun espace de Hilbert.g >< f,le produit scalaire de f, g∈H. (1) Onse donne une applicationn´eaireliA:H→H.On suppose qu’il existe une applicationeria´einlB:H→Htelle que ∀f, g∈Af, gH, <>=Bg > .< f, Monbrer queAest continue ainsi queB.

2 (2)SoitH=L([−π, π])etdseleel´ersruelava`snoitcsfonrtdeilbeedeHpscale’ R π carr´einte´grablesur[−π, π]. Onnoteg >< f,=f(t)g(t)dtuo`dtest la −π mesure de Lebesgue sur[−π, π].

On se donnehctioefonurabnmesfieinel´dnuseru[−π, π]`alevasrurel´e.sel 2 2 On suppose que pour toutf∈Lalorshf∈Let on poseM(f) =hf.

Montrer queMun.noittceeirean´liste

(3)On noteC >0tnafiveinire´ntefinstanecou Z Z π π 2 22 |h(t)f(t)|dt≤C|f(t)|dt(∗). −π−π On noteµ(A)la mesure de Lebesgue de l’ensembleA⊂[−π, π]etχ A l’indicatrice de l’ensembleA.

(a) En prenantf=χ {|h|>C+ε} dans (∗que). Montrer|h(t)| ≤C+εpour presque toutt∈[−π, π] (i.e.µ({|h|> C+ε}) = 0.)

(b)Ende´duirequeµ({|h|> C}) = 0 et queh(t)≤Cpresque pour tout t∈[−π, π].

(c) Montrerque||M||=||h|| L . ∞

2 (4)On suppose de plus queMest une bijection deLui-mˆeme.dansl

2 (a) Montrerqu’il existeK >0 tel que, pour toutg∈L, −1 ||M(g)|| 2 ≤K||g|| 2 .

(b) Soitµ(V)>0. Calculer||χ V || 2 .

(c) Montrerque sihest nulle surV⊂[−π, π] avecµ(V)>0 alors M(χ V )(t) = 0,∀t∈[−π, π´ddeiuerequ.]nEµ({h= 0}) = 0.

−1 (d)De´terminerM.

3

(e) Enconclure pour presque toutt∈[−π, πl,i’´e]lati´nge 1 ≤h(t)≤C. K Exercice 3.s.´ethleor´eme`eBade1(onE)recnspuispourlesfermripeuolrseuoevtr

∞ (2)d`sionncOereP=∪quone(eucl´rqedegeemdsynˆospolledesembP k=0 P k l’en k estl’ensembledespolynoˆmesdedegr´eauplusk). Pourf∈ P k de la forme  ! 1/2 k k X X j2 f(t) =a j tt ,∈R, a j ∈R, on pose||f|| 2 =|a j |nc.Osione`dre j=0j=0 ||.||une norme surP.

(a) Soitk∈N’uqrertnoM.e´xfinscouxdeteisexiltantes0< m k ≤M k <∞ telles que, pour toutf∈ P k , m k ||f|| 2 ≤ ||f|| ≤M k ||f|| 2 . (b) Onfixef 0 ∈ P k qu’il n’existe pas de. Montrerε >0 tel que B(f 0 , ε) ={g∈ P;||f 0 −g||< ε} ⊂ P k . (Onraisonneraparl’absurdeetonconsid`ereraunefonctiongbien choisie dedegr´eexactement(k+ 1)).

(c)End´eduirequeP k t´erd’inesturiedevinsdaPpour la norme||.||.

(d) Peut-on munirP(Justifier votred’une structure d’espace de Banach ? re´ponse).

(e)Peut-onre´pondrea`laquestionb)sansutilisera)? Exercice 4.SoitEaBedecapsenutleeer´chnaBun sous-ensemble deEsuppose. On 0 0 que pour toutf∈E, l’ensemble{f(x), x∈B}edanotrbne´ssR. (Eest le dual deE).

Enutilisantlethe´or`emedeBanach-Steinhauss,montrerqueBsebtro´ndenasE.