PCSI B Mathematiques Lycee Brizeux annee

Description

Niveau: Supérieur
PCSI B Mathematiques Lycee Brizeux - annee 2009-2010 F e u i l l e d e T D 1 6 C o n t i n u i t e e t d e r i v a b i l i t e I Limite. Continuite 1. A l'aide de la caracterisation sequentielle, montrer que : (a) f definie sur R par f(x) = x sinx n'admet pas de limite en +∞ ; (b) f definie sur ]0,+∞[ par f(x) = sin 1x n'admet pas de limite en 0 ; 2. Montrer que la fonction 1Q n'est continue en aucun point. 3. Soient f, g : R ? R continues telles que pour tout x ? Q, f(x) = g(x). Montrer que f = g. 4. Soit k > 0 avec k 6= 1. Soit f : R ? R verifiant : ?x ? R, f(k x) = f(x). Montrer que si f est continue en 0, alors f est constante. 5. Soient f, g ? C0(I,R). Etablir que (a) |f | est continue ; (b) sup(f, g) et inf(f, g) sont continues.

• inegalite des accroissements finis


• point fixe


• unique solution


• determiner lim


• x0 au voisinage de x0


• u0 ?


• determiner

Sujets

• Théorème des accroissements finis
• Point fixe
• Determiner

Informations

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• Langue: Français

Extrait

PCSI B Math´ematiques Lyc´ee Brizeux - ann´ee 2009-2010
C o n t i n u i t´e e t d´e r i v a b i l i t´e
´I Limite. Continuite
`1. A l’aide de la caract´erisation s´equentielle, montrer que :
(a) f d´efinie surR par f(x) = x sinx n’admet pas de limite en +∞;
1(b) f d´efinie sur ]0,+∞[ par f(x) = sin n’admet pas de limite en 0;
x
2. Montrer que la fonction 1 n’est continue en aucun point.Q
3. Soient f,g : R→R continues telles que pour tout x∈Q, f(x) = g(x). Montrer que f = g.
4. Soit k > 0 avec k = 1. Soit f :R→R v´erifiant :
∀x∈R, f(kx) = f(x).
Montrer que si f est continue en 0, alors f est constante.
0 ´5. Soient f,g∈C (I,R). Etablir que
(a) |f| est continue;
(b) sup(f,g) et inf(f,g) sont continues.
1 16. Discuter la continuit´e des fonctions d´efinies par f(0) = g(0) = 0 et f(x) = sin( ), g(x) = x sin( ) pour
x x
x = 0.
7. Soit f : [a,b]→R continue. On suppose que pour tout x∈ [a,b],f(x) > 0. Montrer qu’il existe λ > 0
tel que pour tout x∈ [a,b],
f(x)≥ λ.
Montrer que cela n’est plus vrai lorsque l’intervalle n’est plus ferm´e born´e.
8. Soit I un segment et f : I → I une fonction continue. Montrer qu’il existe x ∈ I tel que f(x ) = x0 0 0
(existence de point fixe). Montrer que cela n’est plus vrai si on ne suppose plus que I est un segment.
9. Vrai-Faux.
(a) Une bijection deR dansR est soit strictement croissante, soit strictement d´ecroissante.
(b) Une bijection continue deR dansR est soit strictement croissante, soit strictement d´ecroissante.
2(c) Soit f une fonction deR dansR. Si f est continue, alors f est continue.
(d) Soit f continue de [0,1] dansR. Il existe α∈]0,1[ tel que f est monotone sur [0,α].
10. Soit f d´efinie surR, p´eriodique de p´eriode T > 0. On suppose que f a une limite en +∞. Montrer que
f est constante.
11. Soit f continue sur [0,+∞[ et v´erifiant lim f(x) = ‘ ∈ R. Montrer que f est born´ee. La fonction f
x→+∞
atteint-elle ses bornes?
12. Soit f d´efinie et continue surR a` valeurs dansZ. Montrer que f est constante.
13. Soit f d´efinie et continue surR, p´eriodique de p´eriode T > 0. Montrer que f est born´ee.
α`14. A quelle condition sur α∈R, la fonction f d´efinie sur ]0,+∞[ par f(x) = x est-elle lipschitzienne sur
]0,+∞[?
15. D´eterminer toutes les fonctions f :R→R v´erifiant :
2∀(x,y)∈R , |f(x)−f(y)| =|x−y|.
Indications. montrer d’abord que f est une bijection continue sur son image. Que dire alors de f ?
Conclure.
1
DeiTee6dF1u6l6l16. On veut d´eterminer les fonctions croissantes f deR dansR v´erifiant :
2∀(x,y)∈R , f(x+y) = f(x)+f(y).
(a) Montrer que f(0) = 0.
(b) Soit x∈R. Montrer par r´ecurrence que pour tout n∈N, f(nx) = nf(x).
(c) En d´eduire que pour n∈Z, f(nx) = nf(x). (Indication. Comparer f(x) et f(−x)).
f(x)x∗(d) Soit x∈R. D´eduire de la question (b) que pour tout n∈N , f( ) = .
n n
(e) Conclure que pour tout x∈Q, f(x) = xf(1).
(f) Par un argument de densit´e et de limites, en d´eduire que f = aId avec a≥ 0.R
(g) Peut-on remplacer f croissante par une autre hypoth`ese permettant d’obtenir une conclusion sem-
blable?
2´ ´17. Etudier la continuit´e de f d´efinie surR par f(x) = E(x)+{x} . Tracer le graphe de f. Etudier la nature
de la suite (u ) d´efinie par u ∈R et u = f(u ).n 0 n+1 n
II De´rivabilite´. Accroissements finis.
0 21. Soit f ∈ C (]a,b[,R) ne s’annulant pas sur ]a,b[. Montrer que si f est d´erivable sur ]a,b[, il en va de
mˆeme de f.
2. Soit f d´efinie et d´erivable surR.
0´(a) Etudier la parit´e de f lorsque f est paire ou impaire.
0´(b) Etudier la parit´e de f lorsque f est paire ou impaire.
0´(c) Etudier la p´eriodicit´e de f lorsque f est p´eriodique.
0´(d) Etudier la p´eriodicit´e de f lorsque f est p´eriodique.
´3. Etudier la d´erivabilit´e des fonctions suivantes
x(a) f(x) = x .
(b) f(x) = ln|lnx|.
(c) f(x) =|x|x.
√
(d) f(x) = cos( x).
4. Calculer les limites suivantes.
√ √
x− e
(a) lim .lnx−1x→e
x xa −b(b) lim ou` a,b,c et d sont des r´eels avec c = d.x xc −dx→0
2 2(arcsinx) −π /16
(c) lim .2√ 2x −1
x→1/ 2
shx−sinx(d) lim thx−tanxx→0
x cos(2x)−sin(x)
(e) lim sh(2x)−sin(2x)x→0
x aa −x(f) lim
chx−chax→a
5. D´eterminer `a quelle condition sur les r´eels a,b et c la fonction f d´efinie surR par

exp(x) si x≥ 0
f(x) = 2ax +bx+c sinon.
2est de classe C surR.
2
66. Soit f d´erivable surR v´erifiant pour tout x∈ [0,+∞[
0f (x)≤ f(x).
Montrer que pour tout x∈ [0,+∞[
f(x)≤ f(0) exp(x).
Retrouver de cette fa¸con que pour tout x≥ 0
x≤ exp(x).
7. D´eterminer la d´eriv´ee n-i`eme
2(a) de f d´efinie surR par f(x) = x exp(x).
n−1(b) de f d´efinie sur ]0,+∞[ par f(x) = x ln(x). (ici n≥ 1).
8. D´eterminer le nombre de racines r´eelles du polynˆome
nX 1 kP (x) = x .n
k!
k=0
9. Montrer que pour tous x,y dansR
|arctanx−arctany|≤|x−y|.
x+1
x10. Soit g d´efinie sur ]0,+∞[ par g(x) = x . On pose f(x) = g(x+1)−g(x) pour x > 0.
D´eterminer lim f(x).
x→+∞
211. Montrer que pour tout couple (a,b)∈]0,+∞[ avec a≤ b
a−b a a−b
≤ ln ≤ .
a b b
012. Soit f d´efinie et d´erivable surR. On suppose qu’il existe k∈ [0,1[ tel que pour tout x∈R, |f (x)|≤ k.
´(a) Etablir que g d´efinie par g(x) = x−f(x) est une bijection deR dansR.
(b) En d´eduire que f admet un unique point fixe.
0(c) Soit h d´efinie surR par h(x) = 1+ln(chx). Montrer que pour tout x∈R, |h (x)| < 1, mais que h
n’a pas de point fixe.
213. Soit f : ,[−1,1]→R de classe C v´erifiant f(−1) = f(1) = 0.
(a) Soit α∈]−1,1[. D´eterminer un polynomeˆ P de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 2 de telle sorte que f +P
s’annule en −1,1 et α.
(b) En d´eduire qu’il existe c∈]−1,1[ tel que
2α −1 00f(α) = f (c).
2
(c) Conclure que
1 00sup |f(x)|≤ sup |f (x)|.
2x∈[−1,1] x∈[−1,1]
2(d) Adapter ce qui pr´ec`ede `a une fonction f ∈C ([a,b],R) et ´etablir l’existence d’une constante C > 0,
que l’on explicitera, telle que pour tout x∈]a,b[
2 00|f(x)|≤ C(b−a) sup |f (x)|.
x∈[a,b]
(e) Comparer avec l’exercice 4 (paragraphe Convexit´e).
014. Soit f d´erivable surR, born´ee et telle que f est croissante surR. Montrer que f est constante.
´15. (Egalit´e des accroissements finis g´en´eralis´ee) Soient f et g des fonctions continues sur [a,b], d´erivables
sur ]a,b[.
3(a) Montrer qu’il existe c∈]a,b[ tel que :
0 0
g (c) (f(b)−f(a)) = f (c) (g(b)−g(a)).
(b) En d´eduire l’in´egalit´e des accroissements finis g´en´eralis´ee :
0 0si |f (t)|≤ g (t) pour tout t∈]a,b[, alors :
|f(b)−f(a)|≤ g(b)−g(a).
´16. Etant donn´e un entier n≥ 1, on pose
P (x) = x(x−1) ··· (x−n).n
0(a) MontrerquetouteslesracinesdeP sontr´eellesetsimplesetquelapluspetite,not´eeλ ,appartientnn
a` l’intervalle ]0,1[.
n0 PP (x) 1n´(b) Etablir que = .
P (x) x−in
i=0
1 1 1(c) En d´eduire que ≥ 1+ +···+ .
λ 2 nn
(d) D´eterminer la limite de λ quand n tend vers +∞.n
017. (R`egle de L’Hospital) Soient f et g d´efinies et d´erivables au voisinage de x ∈R. On suppose que g ne0
s’annule pas au voisinage de x .0
0f (x) f(x)−f(x )0(a) Etablir que si lim = ‘ ∈ R, alors lim existe et est ´egale `a ‘. On ´etablira au0g (x) g(x)−g(x )0x→x x→x0 0
pr´ealable que g(x) = g(x ) si x = x au voisinage de x .0 0 0
Indication. Utiliser l’exercice pr´ec´edent.
(b) Appliquer la r`egle de l’Hospital pour calculer
sinπx argshx
lim et lim √ .
3x→1− lnx x→0+ 1+x−1
3 1 218. Soit φ d´efinie surR par φ(x) = x + x −12x+2.2
(a) Montrer que φ a une unique racine dans l’intervalle ]0,1[ not´ee α.
1On d´efinit f par f(x) = x+ φ(x).10
(b) Montrer que f(x) = x est ´equivalent `a φ(x) = 0.
20(c) Montrer que [0,1] est invariant par f et ´etablir que sup |f (x)| = .x∈[0,1] 10
(d) Etablir que la suite (u ) d´efinie par u = 0 et u = f(u ) est dans l’intervalle [0,1] et que pourn 0 n+1 n
tout n∈N,
2 n|u −α|≤ ( ) .n
10
119. Soit f d´efinie par f(x) = x−4+ lnx.
4
(a) Montrer que l’´equation f(x) = 0 a une unique solution que l’on note α.
1Soit g d´efinie par g(x) = 4− lnx.4
2 2(b) Etudier les variations de g. Etablir que g([e,e ])⊂ [e,e ].
(c) En d´eduire que la suite d´efinie par u = 3 et u = g(u ) est bien d´efinie pour tout n et que0 n+1 n
2u ∈ [e,e ] pour tout n∈N.n
2´(d) Etablir que α∈ [e,e ].
0 1(e) Montrer que sup |g (x)|≤ .10
2x∈[e,e ]
Indication. On prendra e≥ 2.5.
(f) Etablir pour tout n≥ 0 que
1
|u −α|≤ |u −α|.n 0n10
2 −4(g) En admettant que e −e≤ 5, `a partir de quel rang approche-t-on α par u `a 10 pr`es. Calculern
alors α.
4
66´III Convexite
31. Etudier la convexit´e de f donn´ee par f(x) = arcsin(3x−4x ). On d´eterminera au pr´ealable le domaine
3de d´efinition de f. Pour cela, on ´etudiera x7→ 3