Si vous utilisez un téléphone portable alors l'appareil cherche le canal de commu nication avec son central par un algorithme d'utilisation qui utilise des résultats ré cents des mathématiques Ces résultats ne relèvent donc pas du domaine de l'in formatique ou de l'ingénierie Si vous payez votre facture avec une carte bleue puce la machine vérifie votre si

Norbert Schappacher

Description

Niveau: Supérieur

• corrigé d'exercice

Si vous utilisez un téléphone portable, alors l'appareil cherche le canal de commu- nication avec son central par un algorithme d'utilisation qui utilise des résultats ré- cents des mathématiques. Ces résultats ne relèvent donc pas du domaine de l'in- formatique ou de l'ingénierie. Si vous payez votre facture avec une carte bleue à puce, la machine vérifie votre si- gnature électronique par une procédure dont la sécurité dépend de la complexité de la tâche consistant à factori- ser un grand nombre entier donné en produit de nom- bres premiers. Les nombreux robots qui in- terviennent dans le montage des voitures de grandes marques sont programmés (afin de minimiser leur dé- pense d'énergie, les chemins parcourus par les bras et l'u- sure des articulations) en sui- vant des solutions d'équations différentielles qu'on n'aurait pas pu obtenir sans les re- cherches mathématiques des quinze dernières années. Norbert Schappacher directeur de l'UFR de Mathématiques et Informatique de Strasbourg Les mathématiques. Parlons-en. Supplément à l'Essentiel mars 2001 Numéro 9 Sommaire A quoi servent les mathéma- tiques ? Activités mathématiques et abstraction Les mathématiques dans la formation L'enseignement des mathé- matiques Mathématiques sans Frontières Un exercice de Mathémati- ques sans Frontières : deux poids, deux mesures Solution à rédiger en allemand, anglais, espagnol ou italien (en un minimum de 30 mots).

• etablissement scolaire


• classes entières de troi- sième et de seconde


• serveur de l'académie


• mathématique


• année année


• groupe de recherche

Sujets

• Inspection
• Gondrexon
• Académie de Strasbourg
• Communication
• Alsace
• Lambert

Informations

• Publié par: profil-nechor-2012
• Publié le: 01 mars 2001
• Nombre de lectures: 59
• Langue: Français

Extrait

Supplément à l’Essentiel mars 2001

Numéro 9

Dossier IPR MATHS

Sommaire ¨A quoi servent les mathéma tiques ?

¨Activités mathématiques et abstraction

¨Les mathématiques dans la formation

¨L’enseignement des mathé matiques

Les mathématiques. Parlonsen.

En conclusion de cette année mondiale des mathématiques riche en mobilisations—journées, rencontres avec des chercheurs, expositions, concours—rappeler l’utilité de cette discipline est important : en microchirurgie, calcul de la vision géométrique du moniteur dans une interven tion sous arthroscopie, perception du mouvement d’un solide pour un ingénieur, profilage de la coque d’un voilier… par exemple. Je félicite et encourage tout particulièrement celles et ceux dont les réflexions et pistes pédagogiques permettentde rendre attractives et accessibles les mathématiques pour les élèves en difficultés… et pour tous. Claude Lambert, Recteur de l’Académie, Chancelier des Universités

A quoi servent les mathématiques ?

Si vous utilisez un téléphone portable, alors l’appareil cherche le canal de commu nication avec son central par un algorithme d’utilisation qui utilise des résultats ré cents des mathématiques. Ces résultats ne relèvent donc pas du domaine de l’in formatique ou de l’ingénierie. Si vous payez votre facture avec une carte bleue à puce, la machine vérifie votre si

Mathématiques sans Frontières

Un exercice de Mathémati ques sans Frontières : deux poids, deux mesures Solution à rédiger en allemand, anglais, espagnol ou italien (en un minimum de 30 mots). Antoine dispose de 4 billes iden tiques à l’œil appelées A, B, C et D. Parmi elles, 3 ont la même masse et la quatrième a une masse différente. Il ne sait pas si cette bille est plus lourde ou plus légère que les autres. Antoine ne possède qu’une ba lance permettant de comparer des masses et il doit déterminer la bille différente des autres en 2 pesées maximum.

Comment doitil procéder ? Un concours interclasses organisé, chaque année depuis 1990, par l’Inspection Pédagogi que Régionale de Mathémati ques et l’Institut de Recherche s u rl ’ E n s e i g n e m e n td e s Mathématiques. 14 langues, 25 pays près de 100 000 élèves dont 20

gnature électronique par une procédure dont la sécurité dépend de la complexité de la tâche consistant à factori ser un grand nombre entier donné en produit de nom bres premiers. Les nombreux robots qui in terviennent dans le montage des voitures de grandes marques sont programmés (afin de minimiser leur dé pense d’énergie, les chemins

000 en Alsace, en 2000. Des classes entières de troi sième et de seconde ou de ni veau équivalent dans des pays étrangers concourent entre elles. Une palette d'exercices variés leur est proposée (dix en troi sième et treize en seconde). La solution de l'un des exerci ces doit être rédigée en langue étrangère. La classe s'organise pour ré soudre les exercices en une heure et demie et rend une seule feuilleréponse pour cha cun d'eux.

parcourus par les bras et l’u sure des articulations) en sui vant des solutions d’équations différentielles qu’on n’aurait pas pu obtenir sans les re cherches mathématiques des quinze dernières années. Norbert Schappacher directeur de l’UFR de Mathématiques et Informatique de Strasbourg

Sondage… "Classez les trois matières où vous avez obtenu les meil leurs résultats". Classement des réponses: 1. Les Langues vivantes. 2. Les Mathématiques. 3. … "Classez les trois matières qui vous plaisent le plus". Classement des réponses : 1. Les Mathématiques. 2. Les Langues vivantes. 3. … Enquête auprès des élèves de Seconde de l'Académie, juin 1993

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Activités mathématiques et abstraction

¨ Comment les mathématiques développent l’activité intellectuelle résolution nécessite une même rédigerla solution du pro Ouvrons des manuels de mathé« On suppose que la vitesse gammeétendue d’activités :blème et répondre àla matiques et relevons trois énonmoyenne d’un avion est 700 lireafin de repérer les donnéesquestion posée. cés :km/h et que celle du TGV estpar rapport à la question po Le but de la résolution « Jeanne joue deux parties de 200 km/h. Pour prendre l’asée ; de problèmes mathéma billes. A la première partie elle vion, les trajets villeaéroport faire la liste des informations, tiques est de pouvoir perd 6 billes. En tout, elle gagnedemandent 1 heure au départles organiser et les transcrire réinvestir cette démar 9 billes. Que s’estil passé à la et 1 heure à l’arrivée. Si l’onsous une autre forme : tableau, che dans d’autres situa deuxième partie ? »ne considère que le temps degraphique, figure, traduction tions mathématiques ou « ABCD » est un trapèze ; I et Jparcours, à partir de quellealgébrique..... relevant de situations sont les milieux des segments distanceaton intérêt à prentrouver, au besoin par tâtonne réelles, professionnelles AD et AC. On appelle K le pointdre l’avion? »ments, les outils mathémati ou quotidiennes. MarieAgnès Egret et Claudine d’intersection des droites IJ etques permettant de résoudre le Kahn, IREM de Strasbourg BC. Montrer que K est le milieuCes trois problèmes semblentproblème ; du segment BC. »a priori très différents. Leur utiliserces outils ;

¨ Abstraitconcret, querelle de mots ?

Courbe de Lissajou (sin 4t ; sin7t)

Les mathématiques sont par exEstce que « abstrait » ne vouLa plupart des activités industivité économique : les ca cellence le lieu du savoir et dedrait pas simplement diretrielles supposent une réellepacités qui y sont acquises l’apprentissage conceptuel, non « nouveau » et « concret » aptitude à l’abstraction. Bien sonttransférables à de nom bien sûr que toute pensée« bien compris, bien assimi quedestinées, en bout debreux secteurs d’activités conceptuelle soit d’ordre mathélé »?Auquel cas l’opposition course à fabriquer des objets(informatique, médecine, matique (heureusement). Laentre les deux ne serait qu’unconcrets, elles mettent en oeuservices commerciaux, logis pensée de tous les jours em énièmeavatar de la lutte entrevres des procédures hautetique etc.)dont l’activité es prunte de plus en plus aux maréaction et progrès, conserva m e n ta b s t r a i t e ssentielle consiste à traiter de thématiques, et l’abstrait d’hiertisme et modernité ?(programmation d’automates,l’information. Ces types Extrait du journal « Le Monde » est devenu le concret d’aujourconception assistée par ordinad’activités, caractéristiques Pierre Schapira d’hui. teur,méthodes de gestion).des emplois dans les socié professeur de mathématiques à l’uni Dans une discussion, des chifOr, un aspect fondamental detés postindustrielles, sont versité Pierre et Marie Curie fres, un tableau, un graphiquel ’ a c t i v i t ém a t h é m a t i q u eremarquablement préparés apparaîtront comme des arguconsiste à traiter de l’informapar l’apprentissage des ma ments « concrets ». Pourtant,tion abstraite. Sous cette anthématiques et particulière que de chemin avant d’arrivergle elles sont puissammentment la géométrie. Gérard Kuntz, IREM de Strasbourg au concept de nombre.formatrices et utiles dans l’ac

¨ L’Institut de Recherche sur l’Enseignement des Mathématiques (IREM)

Depuis plus de trente ans, annéedans les groupes de recherche, destion initiale et continue des ensei après année, au sein de l’IREM deenseignants du Primaire, du Collège,gnants. Strasbourg, une centaine d’ensei duLycée (général ou technologique)La bibliothèque de l’IREM accueille gnants se rencontrent dans des grou etde l’Université apportent, leur renombre d’étudiants des IUFM qui y pes de recherche sur l’enseignementgard, leur expérience et leur spécificitrouvent une grande variété d’ouvra des mathématiques, réfléchissent, té.Les débats en sont enrichis et lesges, dont les travaux de leurs aînés débattent, innovent et publient lesproblèmes apparaissent dans toute dansle réseau des IREM, en France et résultats de leurs travaux.leur complexité.dans le monde francophone. Ceuxci portent sur les contenus desL’interdisciplinarité y est habituelle. L’IREM de Strasbourg a participé à programmes de mathématiques, lesDes réflexions croisées entre mathéplusieurs expositions dans le cadre de méthodes, la façon d’intégrer les matiqueset physique, mathématiquesl’année mondialedes mathématiques, nouveaux outils (calculatrices et etéconomie, mathématiques et frandécrétée par l’Unesco. La diffusion de TICE) et les diverses manières deçais ont conduit à clarifier la notion dela culture mathématique hors des rendre les mathématiques intelligibles« discipline de service », à rapprocherétablissements scolaires, en direction dans les classes. Ils tiennent compteles points de vue d’enseignants desdu « grand public » est une de ses du nouveau public d’élèves, de ladiverses disciplines, à expérimenter nouvellesvocations. massification du système éducatif eten commun dans les classes et à puToutes ces activités se déroulent en des difficultés qui en découlent.blier des articles et des brochures trèscollaboration étroite et fructueuse  demandés.avec l’Inspection Pédagogique Régio Des rencontres peu communes à Lesgroupes de recherche sont desnale. l’IREM de Strasbourg :viviers de formateurs pour la forma

L’enseignement des mathémati ques à l’heure d’Internet Sur le serveur de l’académie : www.ac strasbourg.fr rubrique pédagogie/second degré/ mathé matiques, avec en particulier des liens actualisés vers une sélection de sites, dont irem.ustrasbg.fr, scienceouverte.u strasbg.fr/ rubrique GEPS mathématiques (groupe d’expert pour les programmes) Les sites des autres académies : www.ac………fr De nombreux sites personnels de collè gues de l’académie (liens dans la rubrique du serveur académique) Au niveau national :www.educnet. education.fr/math/mathsb.htm, cndp. fr/lycee/maths… et le coup de cœur : www.quickmath.com

Numéro 9

Les mathématiques dans la formation

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¨ Enseigner les mathématiques pour qui ? Pour quoi ? Comprendre le monde métrique »).contrôler. On lui explique pour mieux se comprendre que les décisions prises sont Des mathématiques pour « les seules possibles » puis Le premier devoir de l’école le monde du travail qu’elles s’appuient sur la est de donner aux jeunes les L’enseignement des mathé « Science et le Technique ». instruments d’intelligibilité du matiques développe des ap Beaucoup sont désarmés monde dans lequel ils sont titudes intellectuelles qui face à des statistiques, des plongés et dont ils devien sont d’une grande utilité courbes, des formules ma dront les acteurs. Parmi ces dans la vie professionnelle. Ensemble de Mandelbrot thématiques compliquées qui outils pour comprendre l’uni 2 La capacité de raisonner, verge avecz etz zc { c|z con } =0 + = + n0n1n masquent des a priori idéolo vers et les sociétés humai d’analyser une situation, de giques. L’école doit préparer nes, il en est deux dont l’im conjecturer, de détecter l’er le futur citoyen à décoder le portance semble primor reur dans une démarche, de discours de ses dirigeants, à diale : la langue maternelle modéliser un problème sont le discuter, à faire des (écrite et parlée) et les ma des pratiques que les mathé contrepropositions, à dé thématiques. Le premier per matiques développent très masquer les manipulations  quisont pré statistiques, à déceler les  lavie profes raccourcis simplificateurs de l’information et les demi tur citoyen vérités de l’image télévisée. es sociétés mo Gérard Kuntz, IREM de Strasbourg oumis à un flot s qu’il a peine à

quipes de deux (formule g n rale ment retenue), trois problèmes originaux faisant appel essentielle ment au raisonnement et à leurs

ace ives.comme indi ves ont concouruqué sur la e Première et 520figure. minale.Déterminer pour chaque atiques de Pre taille de pla ujet 1que la disposi tion qui per r possède des pla met de cuire le carrées de côté un plus grand centimètre. Il peut nombre de disposer les gâteaux ronds de 10 gâteaux en centimètres de diamètre qu’il doit une fournée. faire cuire de deux manières A ou B

¨ 2000 : année mondiale des mathématiques

A cette occasion, des expositions, des manifestations, des conféren ces, des énigmes, des concours, de la maternelle à l’université, sur tout le territoire : Barr, Bischheim, Col mar, Dambach, Herrlisheim, Mul

Logique et informatique

La science grecque classique invente la logique et c’est une grande surprise de constater son rôle désormais essentiel en informatique. La logique intervient ainsi dans la conception de logiciels sûrs, de programmes certifiés ou de protocoles crypto graphiques robustes. Institut national de recherche en informatique et en automatique

house, Orbey, Rixheim, Strasbourg, Sainte MarieauxMines,Thann, Vendenheim… et bien d’autres. Avec le concours de l’ULP, de l’IR MA, de l’IREM, du GERLSUP, de la mission culture scientifique et

technique, de l’UHA, de la mission Action Culturelle et de l’Inspection Pédagogique Régionale du rectorat, de l’association itinéraire culturel européen H. Schickhardt, du conseil général du BasRhin…

Peuton trouver sans « sécher » ?

L’apprentissage de la géométrie nécessite, de la part des élèves, un investissement intellectuel important et un effort que tous ne sont pas prêts à consentir... Il est vrai que chaque élève peut se trouver face à un problème de géométrie, dans la situation angoissante de « sécher ». Il y a là une réalité que chacun rencontre dès qu’il aborde un problème dont il ne connaît pas la solution, mais apprendre à sur monter cette difficulté nous semble un objectif essentiel, et pas seulement en ma thématiques. Commission de réflexion sur l’enseignement desmathématiques

Académie de Strasbourg

6 rue de la Toussaint 67975 Strasbourg cedex 9 Directeur de publication Claude LAMBERT Recteur de l'Académie de Strasbourg Rédaction Inspection Pédagogique Régionale de Mathématiques Mise en forme Mission à la communication Etienne Gondrexon, MarieLaure Laricchia, Michel Rougraff (édition internet) Tél. : [phone] Fax : [phone] Diffusion par courrier électronique ce.communication@acstrasbourg.fr Mars 2001 N° ISSN : 12737569

R e t r o u v e z  n o u ss u rl ew e b w w w . a c  s t r a s b o u r g . f r

¨ Pratiques d’enseignement des mathématiques observées en classe de sixième

La phase « d’ activités de classe » constitue manifes tement le cœur d’une séance de mathématiques. Cette phase prééminente est la plus discontinue de toutes, c’est à dire inter rompue par une ou deux autres phases qui sont complémentaires : d’une part, la correction d’exerci ces donnant lieu à un tra vail cherché en dehors de la classe, d’autre part, la « capitalisation du savoir » qui ponctue, durant le cours ou à la fin, des pha ses « d’activités de classe » et de correction d’exercices. La plupart des enseignants assurent un suivi individuel de leur élèves sur des questions pédagogiques ou personnelles. Ce suivi s’exerce principalement en début de séance (séance de soutien ou en classe

entière), mais aussi en fin de séance. Au cours d’une séance les élèves sont susceptibles d’intervenir en posant des questions ou en émettant des remarques. Pendant la phase d’activités de classe, le climat sonore semble ne pas empêcher les ensei gnants d’être réceptifs aux interventions de leurs élèves quand elles ont lieu; l’indif férence permanente de la part d’un professeur appa raît comme un comporte ment plutôt rare pendant une telle phase et les réac tions négatives absentes. Lorsque des interventions ont lieu, elles sont le plus souvent réinvesties sans tarder. Direction de la programmation et du développement Ministère de l’Education Nationale septembre 2000

Petit théorème de Fermat(16011665) pourppremier et premier aveca, p 1 aest un multiple de 1p.

Le feu

tétraèdre

L’air

octaèdre

L’enseignement des mathématiques

¨ De l’ambition pour les élèves en grande difficulté...

De l'ambition quand sous pré texte de problèmes proches de leur quotidien on demande aux élèves en grandes difficultés de "calculer" sur un ticket de caisse imaginaire de Cora ? de s'atta quer à une feuille de paye ou à la facture du garagiste… ? De la motivation quand ils savent que les autres "font des maths"… ? Non seulement ces problèmes ne sont pas du quotidien de nos élèves en grande difficulté, pas plus que des autres élèves d'ail leurs, mais ils représentent pour ces élèves toutes leurs difficultés face aux "calculs", toutes ces "casseroles" qu'ils traînent de puis le primaire :  le support est usé, en décalage avec leurs attentes,  les contenus sont es sentiellement opératoires et les replacent face à leurs difficultés. Loin de contourner l'obstacle, ils rentrent à nouveau "dans le mur". Donner à ces élèves les moyens de conceptualiser, d'abstraire sans être bloqué d'entrée de jeu par la technique, c'est leur don ner les moyens de contourner la difficulté et de mettre en place une démarche intellectuelle nou velle pour eux. Un nouveau dé part est possible… simple mais pas simpliste "Dans un triangle rectangle, l'aire du carré construit avec le grand côté est égale à l'aire du carré construit avec le moyen côté plus l'aire du carré construit avec le petit côté" –Dany / octo bre 2000.

Conjecture de Goldbach Tout nombre pair est somme de deux nombres premiers

L’eau

icosaèdre

La terre

cube

Une lecture du théorème de Py thagore qui va lui permettre de rentrer dans la mise en œuvre. C'est cette mise en œuvre ini tiale, cette opérationnalité qui va donner son sens à la multiplica grand tion, à l'addition, petit à l'aire, au carré moyen d'un nombre… Et puis en plus les élèves travaillent L’aire du petit carré plus l’aire sur Pythagore du moyen carré comme les co est égal à l’aire du grand carré pains… de la motivation à l'abstrac tion "Mais alors, M'sieur, quand le grand, il est égal au moyen + au petit, c'est que le triangle est rectangle" –Ulas / novembre 2000. La réciproque est mûre. La motivation est parfois d'ordre "économique"…C'est pour écrire plus vite que Florent propose plus tard de remplacer le texte 2 2 2 de Dany parAC +BC =AB . Le carré d'un nombre vient enfin de prendre sens pour lui. tous ? Tous n'ont pas pris ce nouveau départ. Tous ne sont pas arrivés à ce niveau d'abstraction… Où est le problème…? De toutes façons tous ont au moins fait des opéra tions sur un "nouveau pro blème"… Par contre pour les Da ny, Ulas et Frédéric, même si la route est longue, de petits pas en petits pas, ils avancent à nou veau. Robert Guichenuy / Collège Rouget de Lisle / 30 janvier 2001

Grand théorème de Fermat Démontré par Wiles en 1994 n n n Pour n entier > 2, l’équation x+y =z n’a pas de solution entière.

L’univers

dodécaèdr