Université Claude Bernard Mathématiques L3 Calcul intégral

Claude Bernard Mathématiques

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3

• revision

Université Claude Bernard Mathématiques L3 Calcul intégral Feuille d'exercices numéro 10 Changements de variables — Exercices de révision Exercice 1 (Examen juin 2008). Pour a, b, c > 0, on pose B(a, b) = ∫ 1 0 ta?1(1? t)b?1dt et ?(c) = ∫ ∞ 0 tc?1e?tdt 1a. A quelles conditions sur a, b a-t-on B(a, b) < +∞ ? A quelle condition sur c a-t-on ?(c) < +∞ ?. 1b. Soit H : (u, v) ? (s, t) avec s = uv et t = u(1 ? v). Montrer que H est un C1-difféomorphisme de l'ouvert U =]0,+∞[?]0, 1[ sur un ouvert V à préciser. 1c. Soit a > 0, b > 0 et I = ∫ R?+?R ? + sa?1tb?1e?(s+t)d?2(s, t). En calculant I de deux manières différentes (l'une d'elles utilisant le changement de variables H), montrer que pour tous a, b > 0, B(a, b) = ?(a)?(b) ?(a + b) .

• l3 calcul intégral


• changements de variables —


• feuille d'exercices numéro


• formule établie

Sujets

• Révision
• Mathématiques

Informations

• Publié par: ondey
• Publié le: 01 juin 2008
• Nombre de lectures: 61
• Langue: Français

Extrait

UniversitÉ Claude Bernard L3 Calcul intÉgral

Feuille d’exercices numÉro 10 Changements de variables — Exercices de rÉvision

MathÉmatiques

Exercice 1(Examen juin 2008). Z Z 1∞ a−1b−1c−1−t Poura, b, c>0, on poseB(a, b) =t(1−t)dtetΓ(c) =dtt e 0 0 1a. Aquelles conditions sura, ba-t-onB(a, b)<+∞? A quelle condition surca-t-onΓ(c)<+∞?. 1 1b. SoitH: (u, v)→(s, t)avecs=uvett=u(1−v). Montrer queHest unC-diffÉomorphisme de l’ouvertU=]0,+∞[×]0,1[sur un ouvertVÀ prÉciser. 1c. Soita >0>, b0et Z a−1b−1−(s+t) I=dλs t e 2 (s, t). ∗ ∗ R×R + + En calculantIde deux maniÈres diffÉrentes (l’une d’elles utilisant le changement de variablesH), montrer que pour tous>a, b0, Γ(a)Γ(b) B(a, b) =.(1) Γ(a+b) 2a. Enchoississanta=b= 1/2dans la formule (1), calculerΓ(1/2). Indication : on pourra remarquer 2 que1−(1−2x4) =x(1−x). 2b. DÉduirede la question prÉcÉdente que Z ∞ 2 √ −x e dx=π −∞ ∗ 3. Soientn∈NetA= (a ij )∈M n (R)une matrice symÉtrique et dÉfinie positive. Calculer l’intÉgrale   Z X   K= exp−a ij x i x j dλ n (x 1 ,∙ ∙ ∙, x n ). n R 16i,j6n T Indication : on rappelle que toute matrice symÉtrique positive s’Écrit sous la formeA=S S, oÙ T S∈M n (R)etSdÉsigne sa matrice transposÉe. On pourra utiliser le changement de variables y=Sx. Exercice 2(Examen janvier 2009) n Pourn>1, soitD n ={(x 1 ,∙ ∙ ∙, x n )∈R; 0< x 1 < x 2 <∙ ∙ ∙< x n <1}. n 1.Justifier queD n est un borÉlien deR. Z 2.SoitI n =x 1 ∙ ∙ ∙x n dx 1 ∙ ∙ ∙dx n . D n (a)Etablir une relation entreI n etI n−1 . (b)En dÉduire la valeur deI n . Exercice 3 1 1. SoitH: (u, v)→(s, t)avecs=uvett=u(1−v). Montrer queHest unC-diffÉomorphisme de ∗2 l’ouvertU=]0,+∞[×]0,1[sur l’ouvertV= (R). + 2. Soitx >0, y>0et Z x−1y−1−(s+t) I=dsdt.s t e + + R×R En utilisant le changement de variablesH, calculerIet retrouver la formule Établie À l’exercice 1.

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