Université d'Orléans Année

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Université d'Orléans Année 2009-2010 Espaces vectoriels et applications linéaires 2MA01-Licence de Mathématiques Espaces vectoriels Exercice 1 Soit E un espace vectoriel. Pour ~x, ~y ? E et ?, µ ? K, montrer que l'on a : 1. 0~x = ~O, 1~x = ~x, (?1)~x = ?~x 2. ?(~x? ~y) = ?~x? ?~y. 3. (?? µ)~x = ?~x? µ~x. 4. (??)(?~x) = ?~x. Exercice 2 On définit sur Rn les deux lois suivantes : Pour tous (x1, x2, . . . , xn), (y1, y2, . . . , yn) ? Rn et ? ? K, (x1, x2, . . . , xn) + (y1, y2, . . . , yn) = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn) ?(x1, x2, . . . , xn) = (?x1, ?x2, . . . , ?xn) Montrer que Rn muni de ces deux lois est un R-espace vectoriel. Exercice 3 Sur R2, on définit les deux lois suivantes : pour (x, y), (x?, y?) ? R2 et ? ? R, on pose (x, y) + (x?, y?

• ?? z¯


• dimension de ker


• multiplication externe par le scalaire ? ?


• application linéaire


• endomorphisme de r2


• ??

Sujets

• Application linéaire

Informations

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• Langue: Français

Extrait

UniversitÉ d’OrlÉans AnnÉe 2009-2010

Espaces vectoriels et applications linÉaires

Espaces vectoriels

Exercice 1SoitEun espace vectoriel. Pour~x,~y∈Eetλ, µ∈K, montrer que l’on a : ~ 1.0x~=O,1x~=,x~(−1)x~=−~x 2.λ(~x−y~) =λx~−y~λ. 3.(λ−µ)x~=~xλ−~xµ. 4.(−λ)(−x~) =~xλ.

n Exercice 2On dÉfinit surRles deux lois suivantes : n Pour tous(x 1 , x 2 , . . . , x n ),(y 1 , y 2 , . . . , y n )∈Retλ∈K,

(x 1 , x 2 , . . . , x n ) + (y 1 , y 2 , . . . , y n ) = (x 1 +y 1 , x 2 +y 2 , . . . , x n +y n )

λ(x 1 , x 2 , . . . , x n ) = (λx 1 , λx 2 , . . . , λx n ) n Montrer queRmuni de ces deux lois est unR-espace vectoriel.

Exercice 3

20 02 SurR, on dÉfinit les deux lois suivantes : pour(x, y),(yx , )∈Retλ∈R, on pose

0 0 0 0 (x, y) + (yx , ) = (x+yx , +y)etλ ?(x, y) = (λx,0)

2 Le triplet(R,+, ?)est-il un espace vectoriel surR? Quels axiomes d’espace vectoriel sont vÉrifiÉs ?

2MA01-Licence de MathÉmatiques

20 00 0 Exercice 4Sur l’ensembleRon dÉfinit l’addition par(x, y) + (x , y) = (x+x , y+y)et la multiplication externe par le 2 scalaireλ∈Rparλ(x, y) = (λx,0). L’ensembleRmuni de ces deux lois est-il un espace vectoriel surR?

+0 0 0 0 Exercice 5Sur l’ensembleR\ {0} ×Ron dÉfinit l’addition par(x, y) + (x , y) = (xx , y+y)et la multiplication externe λ∗ par le scalaireλ∈Rparλ(x, y) = (x , λy). Montrer que l’ensembleR{0} ×Rmuni de ces deux lois est un espace vectoriel + surR.

2 2 Exercice 6DÉterminer si l’ensembleRest un espace vectoriel surRdans les cas oÙ l’addition dansRet la multiplication par un scalaire surRsont dÉfinies par 0 0 0 0 1.(x, y) + (x , y) = (x+x , y+y)etλ(x, y) = (λx, y); 0 0 2.(x, y) + (yx , ) = (x, y)etλ(x, y) = (λx, λy); 0 0 0 02 2 3.(x, y) + (x , y) = (x+yx , +y)etλ(x, y) = (λ yλ x, ).

Exercice dansKon

7SoitVl’ensemble des fonctions d’un ensemble non videXvers le corpsK. Etant donnÉsfetgdansVetλ dÉfinit les fonctionsf+getλfdeVpar

(f+g)(x) =f(x) +g(x)

et

(λf)(x) =λf(x)

pour toutxdansX. Montrer queV, muni de ces opÉrations, est unK-espace vectoriel.

Exercice 8

2 Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels deR?

2 2 2 F=Z, F={(x, y)∈R;|x|=|y|}, F={(x, y)∈R; 2x+ 3y= 0} 2 2 F={(x, y)∈R; 2x+ 3y= 3}, F={(x, y)∈R;x≥0ety= 0} 2 2 2 2 F={(x, y)∈R;x+y≤r}>, r 0.

Dans chacun des cas ci-dessus, on dÉterminera Vect(F).

Exercice 9 (i) Quels sont les sous-espaces vectoriels dansR. 2 (ii) Quels sont les sous-espaces vectoriels dansR. 3 (iii) Quels sont les sous-espaces vectoriels dansR.

Exercice 10

Applications linÉaires

Montrer que toutC–espace vectoriel est unR– espace vectoriel. La rÉciproque est–elle vraie ?

Exercice 11:VÉrifier les assertions suivantes (a)Cest unRvectoriel ;– espace 2 (b)(x, y)−7→x+i yest un isomorphisme deRvectoriels de– espaces RsurC.

Exercice 12ConsidÉrons l’application f:C−→C z→−7z¯ 1. Montrer quefestR-linÉaire quand on considÈreCcomme unR-espace vectoriel. 2. Montrer quefn’est pasC-linÉaire quand on considÈreCcomme unC-espace vectoriel.

Exercice 13 (a) VÉrifier que la dÉrivÉe n n−10n−1n−2 P=a n X+a n−1 X+. . .+a 1 X+a 0 −→7P=n a n X+ (n−1)a n−1 X+. . .+a 1 est un endomorphisme linÉaire dans l’espace vectoriel des polynÔmes. (b) Idem pour l’intÉgrale R n n−1 a n n+1 n− n a 1 a 1 2 P=a n X+a n−1 X+. . .+a 1 X+a 0 7−→P=X+X+. . .+X+a 0 X n+1n2 (c) Est-ce que ce sont des isomorphismes rÉciproques ?

n Exercice 14Soitf:R−→Rune application. Montrer quefest linÉaire si et seulement s’il existea 1 , . . . , a n ∈Rtels n que pour tout(x 1 , . . . , x n )∈R, on ait n X f(x 1 , . . . , x n ) =a i x i i=1

Exercice 15

SoientE,FetGtroisK-espaces vectoriels. ConsidÉrons l’application

f:E x

−→ 7−→

F×G (g(x), h(x))

Montrer quefest linÉaire si et seulement sigethsont linÉaires.

Exercice 16On se place dans l’espace vectorielEdes suites numÉriques. On dÉfinit la fonctionshiftoudÉcalageSdeE dansEqui, À toute suite(u n ) n , associe la suite(v n ) n telle quev n =u n+1 pour toutn. DÉmontrer queSest une application linÉaire deEdansE. DÉterminerKer(S)etIm(S).

Exercice 17SoitE=C(R,R)l’espace vectoriel des fonctions continues deRdansR. SoitΔl’application qui À toute fonctionfde E associe la fonctionΔ(f) =gdÉfinie par : Z x ∀x∈R, g(x) =f(t)dt. 0

1. (a) VÉrifier que pour toute fonctionfdeE,Δ(f)est dÉrivable. (b) En dÉduire queΔn’est pas surjective. 2. DÉmontrer queΔest un endomorphisme deE. 3. DÉmontrer queΔest injective.

Exercice 18SoitEun espace vectoriel de dimension finie. Un endomorphismefdeEest dit nilpotent si il existe un p entier naturelptel quef= 0. 2 2 2 1. Exemple : Soitf:R→Rune application dÉfinie parf(x, y) = (y,0). Montrer quefest un endomorphisme deR et quefest nilpotent. q 2. On revient au cas gÉnÉral. Soitfun endomorphisme nilpotent. Soitqle plus petit entier naturel tel quef= 0. Montrer q−1q−1 qu’il existe un vecteurxdeEtel quef(x)6= 0. Montrer que la famille{x, f(x), ..., f(x)}est libre. En dÉduire queq≤dim(E).

Exercice 19

Exercice 20

2 Montrer que les vecteurse= (1,0)etf= (1,1)forment une base deR.

n On considÈre les vecteurs suivants deK:

e 1 = (1,0, . . . ,0),

e 2 = (0,1,0, . . . ,0),

∙ ∙ ∙, e n = (0, . . . ,0,1)

n Montrer que les vecteurs(e i ) 1≤i≤n forment une base deK, appelÉe base canonique.

Exercice 21Montrer que siA={x 1 , . . . , x n }est une famille libre dans un espace vectorielE, alors pour tousi, j∈ {1, . . . , n}, on ax i 6= 0etx i 6=x j sii6=j.

0 Exercice 22SoientF={x 1 , . . . , x p }etF={x 1 , . . . , x p , x p+1 , . . . , x n }deux familles d’ÉlÉments dans un espace vectoriel E. Montrer que l’on a 0 1. SiFest libre, alorsFest libre. 0 2. SiFest gÉnÉratrice, alorsFest gÉnÉratrice.

0 Exercice 23SoientF={x 1 , . . . , x p }etF={x 1 , . . . , x p , x p+1 }deux familles d’ÉlÉments dans un espace vectorielE. Montrer que l’on a 0 1. SiFest libre et six p+1 6∈V ect(F), alorsFest libre. 0 2. SiFest gÉnÉratrice deEet six p+1 ∈V ect(F), alorsFest gÉnÉratrice deE.

Exercice 24Soientf:E−→Fune application linÉaire et{x 1 , . . . , x n }une famille d’ÉlÉments dansE. 1. Montrer que si{f(x 1 ), . . . , f(x n )}est une famille libre dansF, alors{x 1 , . . . , x n }une famille libre dansE. 2. Montrer que sifest injective et si{x 1 , . . . , x n }est une famille libre dansE, alors{f(x 1 ), . . . , f(x n )}est aussi une famille libre dansF.

Exercice 25Soientf:E−→Fune application linÉaire et{x 1 , . . . , x n }une famille d’ÉlÉments dansE. 1. Montrer que si{f(x 1 ), . . . , f(x n )}est une famillle gÉnÉratrice deF, alorsfest surjective. 2. Montrer que sifest surjective et si{x 1 , . . . , x n }est gÉnÉratrice deE, alors{f(x 1 ), . . . , f(x n )}est gÉnÉratrice deF.

Exercice 26SoientEunK-espace vectoriel de dimensionnetB= (e 1 , . . . , e n )une base deE. SoientFun espace vectoriel et{y 1 , . . . , y n }des vecteurs deF. Montrer qu’ il existe une unique application linÉaireTdeEdansFtelle que pour tout n i∈ {1, . . . , n}, on aitT(e i ) =y i . En dÉduire qu’il existe une application linÉaire bijective deEdansK.

Exercice 27

Pour quelles valeurs dea, les vecteurs

V 1 = (2,1,0),

V 2 = (−1,1,0)etV 3 = (−3,−4, a)

sont linÉairement indÉpendants ?

Exercice 28SoitF(R,R)l’ensemble des applications deRdansR. On considÈre dansF(R,R)les ÉlÉments suivants dÉfinis par : pour toutx∈R,

jx f 1 (x) = 1, f 2 (x) = sin(x), f 3 (x) = sin(2x), f 4 (x) = sin(3x)etϕ j (x) =e

1. Montrer que{f 1 , f 2 , f 3 , f 4 }forme une famille libre dansF(R,R). 2. Montrer que pour toutn∈N, la famille{ϕ 0 , . . . , ϕ n }est libre dansF(R,R).

Exercice 29

3 On considÈre les vecteurs suivants deC:

V 1 = (1−i, i,1 +i),

V 2 = (−1,1,3)etV 3 = (1−i, i, i)

3 1. Montrer que(V 1 , V 2 , V 3 )est une base deC. 2. Calculer les coordonnÉes du vecteurV= (1 +i,2, i)dans la base(V 1 , V 2 , V 3 ).

Exercice 30

4 On considÈre les vecteurs suivants deR:

V 1 = (1,−2,1,2),

V 2 = (1,−3,1,2),

V 3 = (2,−4,3,4)etV 4 = (1,−1,2,3)

4 1. Montrer queB= (V 1 , V 2 , V 3 , V 4 )est une famille libre deR. 2. Soienta, b, c, ddes nombres rÉels. Calculer les coordonnÉes du vecteurV= (a, b, c, d)dans la baseB.

4 Exercice 31Parmi les sous-ensembles suivants deR, prÉciser lesquels sont des sous-espaces vectoriels et lorsque c’est le cas, en donner une base : 4 1.{(x, y, z, t)∈R; 3x−y+t= 0}. 4 2.{(x, y, z, t)∈R;x−y+ 2z+t= 1}. 4 3.{(x, y, z, t)∈R;x+t= 0et2x+y−z= 0}. 4 4.{(x, y, z, t)∈R;|x+t|=|y|}.

3 Exercice 32SoitFle sous-espace vectoriel deRengendrÉ par les vecteurs(2,3,−1)et(1,−1,−2). SoitGle sous-espace 3 vectoriel deRengendrÉ par les vecteurs(3,7,0)et(5,0−7). Montrer que l’on aF=Get trouver une Équation deF.

3 Exercice 33Soitaun nombre rÉel. Quel est la dimension du sous-espace vectoriel deRengendrÉ par les vecteurs (a+ 2, a, a−2),(1, a,−1)et(a,−a,1)?

Exercice 34

4 On considÈre les vecteurs suivants deR:

V 1 = (−3,1,0,2),

V 2 = (−5,2,1,2),

V 3 = (1,1,4,−6)etV 4 = (−1,0,−1,2)

4 4 1. Montrer que le sous-espace vectoriel deRengendrÉ parV 1 etV 2 est Égal au sous-espace vectoriel deRengendrÉ par V 3 etV 4 . 4 2. Montrer que les vecteursV 1 etV 2 sont linÉairement indÉpendants. ComplÉter ces vecteurs pour former une base deR.

Exercice 35

1 On dÉsigne parP n l’ensemble des fonctions polynÔmiales

n p(x) =a 0 +a 1 x+∙ ∙ ∙+a n x

rÉelles de degrÉ infÉrieur ou Égal Àn. 1. VÉrifier queP n est un espace vectoriel de dimensionn+ 1et en donner la base canonique. 2. VÉrifier que la dÉrivÉe est une application linÉaire deP n dansP n−1 . 3. Qu’en est-il de l’intÉgrale ?

Exercice 36SoitP 2 l’espace vectoriel des fonctions polynÔmiales surRde degrÉ infÉrieur ou Égal À2. SoientP 1 , P 2 , P 3 ∈ P 2 dÉfinis par : 2 2 2 P 1 (x) =x , P 2 (x) = (x−1), P 3 (x) = (x+ 1) 1 Dans certains livres, on utilise la notationR n [X]

1. Montrer que(P 1 , P 2 , P 3 )est une base deP 2 . 2 2. DÉterminer dans cette base les coordonnÉes desQetRdÉfinis parQ(x) = 12etR(x) = 3x−10x+ 1.

Exercice 37SoientP 3 l’espace vectoriel des fonctions polynÔmiales surRde degrÉ infÉrieur ou Égal À3etTl’application deP 3 dans lui-mme dÉfinie par : 0 T(P)(x) =P(x) + (1−x)P(x) 1. Montrer queTest un endomorphisme deP 3 . 2. DÉterminer une base deT(P 3 ). 3. DÉterminer une base deker(T). 4. Montrer queker(T)∩T(P 3 ) ={0}.

Exercice 38

5 SoitFle sous-espace vectoriel deRengendrÉ par les vecteurs

(1,0,1,−1,0),

(2,1,2,1,1),

5 SoitGle sous-espace vectoriel deRengendrÉ par les vecteurs

(1,1,3,−1,1),

(2,−1,−4,4,−1),

et(3,1,2,0,1)

(0,1,2,0,1),

1. Trouver une base deFet une base deG. 2. DÉterminer une base deV ect(F∪G)et en donner une Équation. 3. Trouver des Équations deFet des Équations deG. 4. DÉterminer une base deF∩G.

et(1,−2,−3,−1,−2)

Exercice 39SoientEun espace vectoriel de dimensionnetf:E−→Eune application linÉaire. Montrer que les conditions suivantes sont Équivalentes : 1.ker(f) =Im(f). 2.f◦f= 0etdim (E) = 2 dim (Im(f)).

Exercice 40

3 4 On considÈre l’application linÉairef:R−→RdÉfinie par :

f(x, y, z) = (x+z, y−x, z+y, x+y+ 2z)

3 1. DÉterminer l’image parfde la base canonique deR, et calculer le rang def. 2. En dÉduire la dimension deker(f)et en donner une base.

4 3 Exercice 41On note{e 1 , e 2 , e 3 , e 4 }la base canonique deRet{ε 1 , ε 2 , ε 3 }la base canonique deR. On considÈre l’appli- 4 3 cation linÉairefdeRdansRdÉfinie par :

f(e 1 ) =ε 1 + 2ε 2 +ε 3 , f(e 2 ) =f(e 4 ) =−ε 1 −2ε 2 +ε 3 etf(e 3 ) = 2ε 1 + 4ε 2 + 3ε 3

1. DÉterminer une base de l’image def. 2. DÉterminer une base du noyau def.

Exercice 42

3 On considÈre dansRles trois vecteurs suivants :

u= (1,−2,0),

v= (1,−3,0)etw= (0,0,1)

3 1. Montrer que(u, v, w)est une base deR. 3 2. Soitfl’application linÉaire deRdans lui-mme dÉfinie par :

f(u) = (1,0,1),

DÉterminer le rang et le noyau def.

Exercice 43

f(v) = (1,1,2)etf(w) = (2,1,3)

3 3 SoitB= (e 1 , e 2 , e 3 )la base canonique deRetfl’application linÉaire deRdÉfinie par :

f(e 1 ) =e 1 +e 2 + 2e 3 , f(e 2 ) =e 1 + 2e 2 + 3e 3 etf(e 3 ) =e 1 + 2e 2 + 3e 3

1. Calculer le rang defet en dÉduire la dimension du noyau def.