Universite d'Orleans Faculte des Sciences Departement de Mathematiques

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite d'Orleans Faculte des Sciences Departement de Mathematiques Licence de Mathematiques SCL5MT01 –Analyse fonctionnelle Automne 2006 Page web : http : // Topologie I. Espaces metriques 1. Distances, normes Definitions : Une distance sur un ensemble (non vide) X est une application d : X ?X ? [ 0, +∞ [ telle que (i) d(x, y) = 0 ?? x = y (non degenerescence) (ii) d(x, y) = d(y, x) (symetrie) (iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (inegalite triangulaire) Un espace metrique (X, d) est un ensemble (non vide) X muni d'une distance d Exemples : • X = Rn ou Cn dp(x, y) = { ( |x1 ? y1|p + . . . + |xn ? yn|p ) 1 p si 1 ≤ p < +∞ max ( |x1 ? y1| , . . . , |xn ? yn| ) si p = +∞ En particulier, d2(x, y) = √ |x1 ? y1|2 + .

• reunion finie de fermes


• conditions equivalentes


• espace norme


• espace metrique


• limite uniforme d'applications continues


• universite d'orleans faculte des sciences departement de mathematiques


• licence de mathematiques scl5mt01


• application continue

Sujets

• Espace vectoriel normé
• Espace métrique

Informations

• Publié par: vehot
• Nombre de lectures: 25
• Langue: Français

Extrait

Universited’Orleans LicencedeMathematiques FacultedesSciences SCL5MT01–Analysefonctionnelle DepartementdeMathematiques Automne2006 Page web: http :/www.univ–orleans.fr/mapmo/membres/anker/enseignement/AF.html Topologie I.Espacesmetriques 1. Distances,normes Denitions:Une distance sur un ensemble (non vide)X est une applicationd:XX→[ 0,+∞[ telleque (i)d(x, y) = 0⇐⇒x=y)eeccndeg(noneresen (ii)d(x, y) =d(y, xmysirtee)() (iii)d(x, z)d(x, y) +d(y, zriangulagalitet()nie)eri Unespacemetrique(X, d) est un ensemble (non vide)Xmuni d’une distanced Exemples : n n X=RouC  (   1 p p p |x 1 y 1 |+. . .+|x n y n |si 1p <+∞ d p (x, y) =   max|x 1 y 1 |, .,. .|x n y n |sip= +∞ 2 2 En particulier,d 2 (x, y) =|x 1 y 1 |+. . .+|x n y n |distance euclidienne  0 six=y  usetercsidecnatDiseblemnsneruXquelconque :d(x, y) = 1 six6=y Denitions:nenUemroevactoecrususpne)exele(relrimpcoouelE est une applicationk.k:E→[ 0,+∞que[ telle (i)k xk=|| kxkeneeti)ho(gmo (ii)kxk= 0⇐⇒xneeercsneec)=0(nondeg (iii)kx+yk kxk+kykanriettligaein(ri)eugal Unespacenorme(E,k.k) est un espace vectorielEmuni d’une normek.k Remarque :Soit (E,k.knespacenorme)u Alorsd(x, y) =kxykrsustdiceaneinutendE Attention :Toute distance ne provient pas d’une norme Exemples : n n  E=RouC ( 1   p p p |x 1 |+. . .+|x n |si 1p <+∞ kxk p =   max|x 1 |,, .. .|x n |sip= +∞ 2 2 En particulier,kxk 2 =|x 1 |+. . .+|x n |est la norme euclidienne d p est la distance associee ak.k p  E= B(Xseeurussnoinrobsfdectones)cepaenensemblX (avaleursreellesoucomplexes) kfk ∞ = sup|f(x)| x∈X 1

2 Remarques : 0  imprexd’eserianmsrueisulpaylIrmesdedeuxnovilaneecre’leuqk.ketk.k surunmˆemeespacevectorielE:  chacune majore l’autre, a des constantes>0pres leurquotientestmajoreetminore,endehorsdel’origine  0 0  ∃0< C 1 C 2 <+∞,∀x∈E,C 1 kxkk xk C 2 kxk Onverraplusloinque,surunespacevectorieldedimensionnie, touteslesnormessontequivalentes  Soient (E,k.knuseapec)normeetFun sous–espace deE. Alorsk.kinduit une norme surF. Plusgeneralement,si(X, de)stiuqeeetricemespastunYest une partie deX, alorsdinduit une distance surY. Soient (E 1 ,k.k 1 ) et (E 2 ,k.k 2 s.)dexuecapsonseemr  Alorskxk= max(kx 1 k 1 ,kx 2 k 2 ) est une norme surE=E 1 E 2 . Plusgeneralement,si(X 1 , d 1 ) et (X 2 , d 2 dentesuxso)qirt,seuecapems alorsd(x, y) = max(d 1 (x 1 , y 1 ), d 2 (x 2 , y 2 )) est une distance surX=X 1 X 2 . 2. Suites Soient (X, d(,e)iruqmteapecnusex n ) n∈N une suite dansXetx∈X Denition:(x n ) converge versxsi ∀ε >0 ,∃N∈N,∀nN,d(x n , x)< ε Dans ce cas, la limitexest unique. Denition–proposition: Conditionsequivalentespourquex(edecnerehda’dreualevunitsox n ) : (i)xest limite d’une sous–suite extraite de (x n ) (ii)∀ε >0 ,{n∈N|d(x n , x)< ε}seinitn (iii)∀ε >0 et∀N∈N,∃nN,d(x n , x)< ε 3. Zoologietopologique (boules,ouverts,fermes,voisinages,interieur,adherence,frontiere,...) Soit (X, dqueirtemecapsenu) Denitiondesboules: B(x, r) ={y∈X|d(y, x)< r}est la bouleouvertede centrex∈Xet de rayonr >0 0 B(x, r) ={y∈X|d(y, x)r}est la boulermfeeede centrex∈Xet de rayonr0 2 Exercice :lrenobseseluinu–etessiDB(0,idreneetnsroems1ou)pesrlk.k p dansR Denition:Une partie deXseelnoctunetnadenesuulboe.estborneesiel Denition:Une partieUdeXest ouverte si ∀x∈U,∃r >0 ,B(x, r)U Denition–proposition: Conditionsequivalentespourqu’unepartieFdeXemr:eosefti (i)XrFest ouvert (ii) Toutesuite (x n ) dansF, qui converge dansX, a sa limite dansF

3

Exemples : 0  Les boulesB(x, r) sont ouvertes et les boulesB(x, rntsormfeese) (cequijustielaterminologie). ∅etXrtveouisfolaantosse.remesft  teer,sestvuoto’derevuonquuelcionqeunnUre uneintersectionquelconquedefermesestfermee.  ’deinnoestrevuoinneUtiecrstevertstoue, unereunionniedefermesestfermee. C’estfauxengeneralpourdesfamillesinnies. Tout ouvert deRsoleeruvditsoisjbarb’deletnilavrnionauplusdenomseutenruetn.s Iln’yaaucunresultatanalogueendimensionsuperieure: n La structure des ouverts deRest plus complexe.  sidacnateiluledrpaasicrtanDecslte,creedis toutepartieestalafoisouverteetfermee. Deuxnormessurunmˆemeespacevectorielsontequivalentes sietseulementsiellesdenissentlesmeˆmesouverts(etlesmeˆmesfermes). Remarque :Les ouverts deXconstituent une topologieOsurX i.e. unefamille de parties deXtelle que (i)∅, X∈ O S (ii)Otsesue:conqquelnoinuerrapelbatU i ∈ O∀i∈I=⇒U i ∈ O i∈I (iii)Osectnternie:iontstseapirbaelU 1 , . . . , U n ∈ O=⇒U 1 ∩. . .∩U n ∈ O Ils’agitd’unenotiondemeˆmenaturequecelledetriburencontreeenintegration. La dierence reside  atiblssadnaeriatneemlmpcoareptli (exigee pour une tribu et en general fausse pour une topologie).  disnocsseereuernoinnadsels (auplusdenombrablespourunetribuetquelconquespourunetopologie)  nadesslteinecrsonticsnoisdreese (auplusdenombrablespourunetribuetniespourunetopologie) Denition: Une partieVdeXest un voisinage dex∈Xs’il exister >0 tel queB(x, r)V Remarques :  arpatrdeieinitnou,ePnUdeXest ouverte si et seulement siUest un voisinage de chacun de ses points  Tout voisinage dexcontientx  Toute partie deXcontenant un voisinage dexest aussi un voisinage dex  noideinioveaniseiUnerntctseegesdxest encore un voisinage dex Denition–proposition:  Denitionsequivalentesdel’interieurAd’une partieAdeX:  (i)Aest le plus grand ouvert deXcontenu dansA i.e.lareuniondesouvertscontenusdansA  (ii)x∈A⇒∃⇐r >0 ,B(x, r)A