Universite d'Orleans Faculte des Sciences Departement de Mathematiques

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite d'Orleans Faculte des Sciences Departement de Mathematiques Licence de Mathematiques SCL5MT01 –Analyse fonctionnelle Automne 2006 Feuille 9 d'exercices Integrale de Lebesgue Sauf mention contraire, N sera toujours muni de la tribu discrete et de la mesure de comptage, et R (ou plus generalement Rn) de la tribu borelienne et de la mesure de Lebesgue. 1. Montrer que la fonction caracteristique de Q est integrable sur R et calculer son integrale. 2. Illustrer la construction de l'integrale de Lebesgue, en considerant successivement • les fonctions etagees positives, • les fonctions mesurables positives, • les fonctions integrables reelles, • les fonctions integrables complexes, sur les exemples suivants : (a) la mesure de comptage sur N , (b) la mesure de Dirac ?a sur un ensemble (non vide) X muni de la tribu discrete P(X) . 3. Soit ? une application mesurable entre deux espaces mesures (X,A, µ) et (Y,B, ?) . On supose que ? est la mesure image de µ par ? : ?(B) = µ ( ??1(B) ) pour tout B ? B . Soit g : Y ?? C une fonction ? – mesurable. Montrer que g est ? – integrable si et seulement si la fonction f = g ? ? : X ?? C est µ – integrable et qu'alors ∫ Y g d? = ∫ X f dµ .

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Extrait

NOM : PRENOM :

Date : Groupe :

Analyse:Feuilleder´eponsesduTP9 Accroissements finis

. .

Onr´epondraauxquestionspose´esdanslesespacespre´vusetonremettracettefeuille der´eponsesenfindeTPa`l’enseignantcharg´eduTP. Exercice1.:Th´eor`emedeRolle 3 1.Ve´rifierqueleshypothe`seduthe´ore`medeRolles’appliquenta`lafonctionf(x) =x−x pour−1≤x≤1puis trouver le pointcaltiafsiisulcnocatisquiaerth´eondume.For`e demˆemepourg(x) = cos2x,0≤x≤2π.

−2 2. Pourla fonctionf(x) = (x−1)e,´verifierquf(0) =f(2)et que pourtant il n’existe pas 0 dectel quef(c) = 0e.llcooincteulraqnueteprapsorleidqiueE´.rpoxelhtedoRe`em Meˆmequestionpourg(x) =|x−1|.

1

Exercice2.:Egalit´edesaccroissementsfinis Montrerqu’unefonctiondontlade´rive´eestpositiveestunefonctioncroissante.

2

Exercice3.:Ine´galit´edesaccroissementsfinis 0 1. Soitfefonunurlbseiravdne´tcoi[2,5]et telle que1≤f(x)≤4pour toutx∈[2,5]. Montrer que3≤f(5)−f(2)≤12.

2. Existe-t-ilune fonctionftelle quef(0) =−1,f(2) = 4etf(x)≤2pour toutx? Expliquer.

3

Exercice4:Th´eor`emedelavaleurmoyenne 2 1. Trouver lavaleur moyenne de la fonctionf(x) = 4x−xsur[0,3].

2. Trouver unevaleurc∈[0,3]`oufatteint sa valeur moyenne.

3. Tracer le graphe defprepusteernuresoedglanctir’atloneetsrpe´ic´smenet´egale`a l’int´egraledefentre0et3.

2 π π 4.Meˆmeexercicepourlafonctionh(x) = sinxcosxsur[−,]. 2 4

4