Universite de Nice Annee Departement de Mathematiques Systemes Dynamiques

Thomas Malthus

Description

Niveau: Supérieur
Universite de Nice Annee 2011-2012 Departement de Mathematiques Systemes Dynamiques Cours 1 : Introduction aux Equations differentielles en dimension 1 Lorsqu'on s'interesse a modeliser une quantite qui evolue au cours du temps et qu'il est naturel de postuler une relation entre cette quantite et sa derivee, on propose une equation differentielle. C'est l'exemple le plus simple de systeme dynamique. Nous allons voir ici ce qu'est une equation differentielle, dans le cas unidimentionel pour commencer, et comment on peut les etudier. 1 Definitions et premiers exemples Considerons une quantite y(t) (taille d'une population, concentration d'une substance, ...) qui evolue au cours du temps et sa derivee y?(t) (lorsqu'il est raisonnable de supposer que cette derivee existe). Supposons qu'on soit conduit a postuler une relation entre cette quantite et sa derivee de la forme dy(t) dt = f(t, y(t)) pour une fonction f particuliere. Cette relation est une equation differentielle du premier ordre1 et la resolution d'une telle equation consiste a trouver toutes les fonctions y(t) inconnues qui satisfont cette equation. Exemple : Le modele exponentiel, tres rudimentaire, a ete propose pour representer la croissance d'une population par Thomas Malthus en 1798. Il suppose que la population possede un taux de reproduction r constant, simple difference du taux de natalite et du taux de mortalite (la population est supposee isolee c'est-a-dire qu'aucune migration n'est envisagee).

• unique equilibre du modele exponentiel


• croissance exponentielle


• derivee y?


• differents equilibres de l'equation


• allure des graphes des solutions de l'equation sur la figure


• equation differentielle


• equilibres


• equilibre

Sujets

• Thomas Malthus
• Croissance exponentielle
• Équation différentielle
• Équilibre

Informations

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Extrait

Universit´edeNiceAnn´ee2011-2012 D´epartementdeMath´ematiquesSyst`emesDynamiques Cours1:IntroductionauxEquationsdiffe´rentiellesendimension1 Lorsqu’ons’int´eresse`amode´liserunequantite´qui´evolueaucoursdutempsetqu’ilestnaturelde postulerunerelationentrecettequantit´eetsade´rive´e,onproposeune´eertneillequationdiff´e. C’est l’exemple le plus simple deysydeme`tsquenamie,llre´eientoitaffidnenutuqe´ricisnov’useciqe.alloNous dans le cas unidimentionel pour commencer, et comment on peut les etudier.

1De´finitionsetpremiersexemples Conside´ronsunequantit´ey(tatulopepnccon,iooitartneusenu’dn()at’dnulielbstance,...)qui´veloeu 0 aucoursdutempsetsade´riv´eey(t)etsixeee´vire´d.elednnbaiaossertettequecosersuppl()qsroli’u Supposonsqu’onsoitconduita`postulerunerelationentrecettequantit´eetsade´riv´eedelaforme dy(t) =f(t, y(t)) dt 1 pour une fonctionferC.ile`eralteetticuparontitues´eneedupremierordrednoie´ffitnerlleiatquet la r´esolutiond’unetellee´quationconsiste`atrouvertouteslesfonctionsy(t) inconnues qui satisfont cette ´equation. Exemple :Lelponentiedoe`elxemi,rter,`ae´sertudimentae´opruere´rpposolaeroicr´eprntseenunass’dec populationparThomasMalthusen1798.Ilsupposequelapopulationposse`deuntauxdereproductionr constant,simplediff´erencedutauxdenatalite´etdutauxdemortalit´e(lapopulationestsuppose´eisole´e c’est-a`-direqu’aucunemigrationn’estenvisage´e).Siy(tnttans’ialn`iopapolutaialldelesignelat)d´etet y(t+δt)−y(t) 0 0 y(te´vire´das)uleforme,lay(t) =ry(t) signifie que le taux de croissanceentre les instantst δt ett+δtestpropor`lennoitay(tquuttourfficoeecelste)t´enaliedrpeitnitnopororne varie pas au cours rt dutemps.Onpeutre´soudrecettee´quation:sasolutionestdonn´eepary(t) =y(0)e`ouyd)e´isnge0( latailledelapopulationa`l’instantt= 0 qu’on appellecondition initialedomeC.rrocele`dondpoes`anc unecroissance exponentiellede la population lorsquer >uso`noonemd’d0lientnempo`eexoldesouvent utilise´a`laplacedeisnetluhlemaod`emnoqsN.toelisonentielsanceexpce´dsiordissenu’ags’auirilu’utpe r´ngetaf.iets 0 Anoterquel’e´quationdiff´erentielley(t) =ry(tfinietd´eafonparloitcn)sef(y) =ryqui est une rt fonctionline´aire.L’ensembledesessolutionss’´ecrit{y(t) =y(0)e,y(0)∈R}et comporte donc une infinit´edesolutionsdiffe´rentes,autantquedevaleurspossiblespourlacondition initialey(0). Exemple :Li’´deeduelelogismod`uqite, introduit par Verhulst en 1836, est la suivante. Si la population pouvaitcroıˆtreinde´finiment,sansrencontreraucunelimitationderessourceoud’espace,elleauraitune croissance exponentielleoitauqsnpxualupo’oelnnusiaM.assiorcexponnceeelleentiptsa’nse´teedapa observeleplussouvent`al’exceptionpeut-ˆetred’unepe´riodeinitialeo`ulatailledelapopulationest encore petite, car elle ne tient pas compte des limitations environnementales qui, de fait, ralentissent la croissance lorsqu’on s’approche de la taillenormalede la population qu’on appelle sait´eapacceuqitoib y t Kcelampredeeed´’ilu`o’D.notsnatlrteuacxrpar un taux variabler(1−aiatedellenepelddq)´diu K la population. Ce coefficient 1−ocheteprorsqde1latlieualalopeledlapuontittesesr`itepc,etsere K quiexpliqueled´ebutdecroissanceexonentielle,puisildiminuejusqu’`atendrevers0lorsquelataillede y(t) 0 lapopulationaugmenteettendverslacapacite´biotique.L’e´quationlogistiqueesty(t) =ry(t)(1−). K En fait le coefficientr(1−y/Kalere)e´rptnespsnoeridneocqieubiotit´eapacelacpdtra`aleibchaque instantt. Plus cette part s’amenuise et plus la croissance se ralentit. y(t) y 0 L’´eigtselolqieuontiff´dienereltiauq,y(t) =ry(t)(1−ontincfofie´dtse)alrapeinf(y) =ry(1−) K K y(0)K 2 quiestunpolynoˆmededegre´deux.L’ensembledesessolutionss’´ecrit{y(t) = −rt ,y(0)∈ y(0)+(K−y(0))e R}enaa.Ily´t.efininnuiesuis 10 Lese´quationsdiffe´rentiellesdu2eordrefontintervenirnonseulementlafonctionyeev´ri´edasteydae´sssieeir´vauisma 00 secondeyre’ordosn´sedqeutaltein’la`’uqsujnoitcnfoladees´eiverd´lrseevintnrenoitfordren.   2 dy ty t 1 L’´equationpeutsere´e´crire=ry(t) 1−os,epti´r´etueserceir   dy(t) =rdtMais comme on a dt K y(t) y(t) 1− K 1 1 dy(t) dy(t)y(t) 1 1 K K ste l’e´galit´e=+,l’´equationdevient+=rdtt,angr´entni’,oe`dunly(t)−ln(1−) =rt+C N y (t) K y(1−) y 1− y(t) K K 1− K ste y t rt C soit encore en prenant l’exponentielle=e eciledev´.Ilestfalecanotsrefiireuqni’detnaitarge´ticutvaoni y t 1− K   y(0)K y(0)K ste C= ln.’Dapr`o`u,mpliessitacfisnoisal,tulonioy(t.) = −rt K−y(0) y(0)+e(K−y(0))

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dy(t) Exemple :´el’atquorLuesq=formeeestdelaertneilloidnffie´a(t)y(t) +b(tu`o,)a(t) etb(t) sont dt desfonctionsdonne´es,onditquel’´equationdiffe´rentielleest´eairenildsmudoe`elxeopentneil.C’estleca pour lequela(t) =retb(t) = 0 (aetbconstansesntai)mosedtnnofsoitcd`eldumoee’tscsnecesaapls logistique.Les´equationslin´eairespeuventˆetremenetxelpciti´esoluesrderietueprce´eqironu’t-es-d`a,’c fa¸conexplicitel’ensembledeleurssolutions(quel’onappelleencoreoliotsuael´gnre´nela). Tout d’abord, R t a(t)dt sib(t) = 0,y(t) =y(0)eelare´nerol,tnemuesq.Plusg´b(t)6= 0, on doit d’abord rechercher une 0 ∗ solutionparticulie`red’´elnoteraeuq,no’lauqenoity(t),lasonee´arelulitno´grslotaanivcr´es’ R t a(t)dt ∗ ∗ y(t) =y(t) + (y(0)−y(0))e . 0

∗2t02t Parexemple,onpeutve´rifierquey(t) =tenionesoestuednoitultauqe´’ly= 2y+e´ddeiuerenet 2t2t quelasolutiong´en´eraledecettee´quations’e´crity(t) =y(0)e+te. Audeladese´quationslin´eaires,ilyaunpetitnombred’autres´equationsdiff´erentiellesquipeuvent ˆetrere´soluesexplicitement.Mais,leplussouvent,lese´quationsdiffe´rentiellesquel’onestamen´e`autiliser nepeuventpasˆetrer´esoluesexplicitement.Onaalorsrecoursaucalculapproch´e,nousverronscomment plusloin,oubiena`l’e´tudequalitativedessolutions,principalementcentre´esurl’´etudedese´quilibresde l’e´quationetdeleurstabilite´.

2Etudequalitative:e´quilibreetstabilit´edese´quilibres Laprincipalecaracte´ristiquedumod`elelogistiquequenousavonse´tudie´estqu’ilpr´esenteune´quilibre attractifoseuqleuocrueltiumsdonti,qle`eoduoetnettosullsserslevetendquelitin(elatidninoiufsasi y(0)=0!).Orl’existenced’e´quilibresetleursproprie´te´s(parexemplelefaitquelesautressolutions tendentverslui)sontdes´el´ementsquel’onpeutsouventd´eduiredirectementdel’´equationdiff´erentielle, meˆmesil’onnesaitpascalculerexplicitementsessolutions.C’estl’´etudedugraphedelafonctionf(une droite dans le cas exponentiel et une parabole du cas logistique) qui permet de le faire. D´efinition:id´ffitnoitlerenePourequaune´foladeleerm dy(t) =f(y(t)),(1) dt ∗ ∗ onappelle´equilibreo´uetat stationnaireune valeur constanteyiseuqelleatlyede´natuiqty(0) =y ∗ alorsy(t) =ypour touttl(qait´euanterbqe´’iliue`alrest)´nU.steencdouieqbrlioicnnotsnuselotuante del’´equationdiff´erentielle.Unetellesolutionan´ecessairementunede´riv´eenulle,c’est-`a-direquel’ona ∗ ∗ f(y) = 0; en d’autres termesyest aussiuzne´orde la fonctionf. ∗ Ainsidanslemode`leexponentielo`uf(y) =ryibilqu´ere,liaynuesluyet=0omelsnadele`d ∗ ∗ logistiqueo`uf(y) =ry(1−), il y en a deux,y= 0 ety=K. K Dansunmode`ledetype(1),ilyaautantd’´equilibresdiffe´rentsqu’ilyadez´erosdiff´erentsdela fonctionfO.pnliseisuaoncveutduqlibierdsle´’qerlesdiff´erents´ergelehpaaledtiuaenona¸trntca fonctionfostnrbsesbicelas.Leuilis´eqtcesretnargudnoispdeesss’isdntoiuizontal(qa’exohirhpaeevlc est ici l’axe desyzonthorinaxeursores,lasiivuseredaledame´hcsnu,latemeutnophraerepE.)gect dynamique:ilsuffitdemettreunefl`echedanslesensdesysantroislessssurtndsgeemex`olea’ucf >0 (c’est-`a-direo`ulegraphedefestaudessusdel’aexe)uten`flceehadsedsneselsnyce´dsleurssntsaisro segmentsdel’axeo`uf <ec`rlaiutuerpmalseulnydaqimame´hledantsapeetesueuffitscescfois.Par0 uner´esolutiondel’´equation(qui,detoutefa¸con,estbiensouventimpossible). ∗ 0∗ De´finition:´nqeiuilrbeOnditqu’uypour lequelle on af(y)<0utsee´nquilibre stablecar dans ce cas ∗ l’e´volutiondetoutesolutiondontlaconditioninitialeestprochedel’´equilibreyest de s’en rapprocher. ∗ 0∗ Defa¸conanalogue,onditqu’un´equilibreypour lequelle on af(y)>e0seut´nquilibre instablecar ∗ danscecasl’e´volutiondetoutesolutiondontlaconditioninitialeestprochedel’´equilibreyest de s’en ´eloigner. Onpeutv´erifierenappliquantcecrite`requel’uniquee´quilibredumod`eleexponentieleststable lorsquer <0 (extinction) et instable lorquer >opesnsupil’ome,semˆenoisdte)e(0olpxr >0, on peut ∗ v´erifierquel’e´quilibrey=K(>estun´equilibresdoe`eloligtsqieutiioe)quoralslbatac(eicapbe´tmud)0 ∗ queynstabreible.seut0=iuil´nqe 0 ∗0 Lorsquef(ysspautpeeaprrd`toiiaarvenno,0=)fil’ueountabl,insnnieq’´ilselbatstseerbiliu l’autre.

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