Sechs Vorträge über ausgewählte Gegenstände aus der reinen - Mathematik und mathematischen Physik

Henri Poincaré

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• Publié le: 08 décembre 2010
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The Project Gutenberg etext of Sechs Vortr¨ge, by Henri Poincar´ a e This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included with this eBook or online at www.gutenberg.net Title : Sechs Vortr¨ge ber ausgew¨hlte Gegenst¨nde aus der reinen Mathematik a a a und mathematischen Physik Author : Henri Poincar´ e Release Date : March 5, 2005 [EBook #15267] Language : German and French Character set encoding : TeX ¨ *** START OF PROJECT GUTENBERG’S SECHS VORTRAGE *** Produced by Joshua Hutchinson, K.F. Creiner and the Online Distributed Proofreading Team. This file was produced from images generously made available by Cornell University. Mathematische Vorlesungen an der Universit¨t G¨ttingen: IV a o ¨ SECHS VORTRAGE ¨ ¨ ¨ UBER AUSGEWAHLTE GEGENSTANDE AUS DER REINEN MATHEMATIK UND DER MATHEMATISCHEN PHYSIK auf Einladung der Wolfskehl-Kommission der K¨niglichen Gesellschaft der Wissenschaften o gehalten zu G¨ttingen vom 22.–28. April 1909 o von ´ HENRI POINCARE Mitglied der Franz¨sischen Akademie o Professor an der Facult´ des Sciences e der Universit¨t Paris a Mit 6 in den Text gedruckten Figuren Leipzig und Berlin Druck und Verlag von B. G. Teubner 1910 Pr´face e L’Universit´ de G¨ttingen a bien voulu m’inviter ` traiter devant un sae o a vant auditoire diverses questions d’Analyse pure, de Physique math´matique, e d’Astronomie th´orique et de Philosophie math´matique ; les conf´rences que e e e j’ai faites ` cette occasion ont ´t´ recueillies par quelques ´tudiants qui ont eu a ee e la bont´ de les r´diger en corrigeant les nombreuses offenses que j’avais faites ` e e a la grammaire allemande. Je leur en exprime ici toute ma reconnaissance. Il convient ´galement que je m’excuse aupr`s du public de la bri`vet´ avec e e e e laquelle ces sujets sont trait´s. Je ne disposais pour exposer chacun d’eux que e d’un temps tr`s court, et je n’ai pu la plupart du temps que donner une id´e e e g´n´rale des resultats, ainsi que des principes qui m’ont guid´ dans les d´e e e e monstrations, sans entrer dans les d´tails mˆmes de ces d´monstrations. e e e Inhaltsverzeichnis Erster Vortrag. ¨ Uber die Fredholmschen Gleichungen Seite 1 Zweiter Vortrag. Anwendung der Theorie der Integralgleichungen auf die Flutbewegung des Meeres 10 Dritter Vortrag. Anwendung der Integralgleichungen auf Hertzsche Wellen 18 Vierter Vortrag. ¨ Uber die Reduktion der Abelschen Integrale und die Theorie der Fuchsschen Funktionen 28 F¨ nfter Vortrag. u ¨ Uber transfinite Zahlen Sechster Vortrag. La m´canique nouvelle e 36 41 1 Erster Vortrag ¨ UBER DIE FREDHOLMSCHEN GLEICHUNGEN 2 Die Integralgleichung b (1) ϕ(x) = λ a f (x, y)ϕ(y)dy + ψ(x) wird bekanntlich aufgel¨st durch die Integralgleichung derselben Art o b (1a) wobei ϕ(x) = ψ(x) + λ a ψ(y)G(x, y)dy, G(x, y) = N (x, y; λ | f ) D(λ | f ) gesetzt ist. N und D sind, wie aus der Fredholmschen Theorie bekannt ist, zwei ganze transzendente Funktionen in bezug auf λ. Um ihre Entwicklung explizite 1 , 2 , ... n hinschreiben zu k¨nnen, bezeichne man, wie Fredholm, mit f ( x1 , x2 , ... xn ) o y y y diejenige n-reihige Determinante, deren allgemeines Element f (xi , yk ) ist. Setzt man dann b b b an = a a ... a x1 , x2 , ... xn f ( x1 , x2 , ... xn )dx1 . . . dxn , so hat man D(λ) = ∞ 0 (−λ)n an . n! Diese Gleichung formen wir um, indem wir die durch Iteration“ aus f (x, y) ” entstehenden Kerne heranziehen. Setzen wir zun¨chst a f (xα , xβ )f (xβ , xγ ) · · · f (xλ , xµ )f (xµ , xα ) = f (xα , xβ , · · · xλ , xµ ), so ist klar, daß f ( x1 , x2 , ... xn ) die Form hat x1 , x2 , ... xn ± f (xα , . . . xµ ), wie sofort aus der Entwicklung der Determinante hervorgeht. Sei nun b b bk = a ··· a f (xα , · · · xµ )dxα · · · dxµ , wobei k die Anzahl der Integrationsvariabeln xα , . . . xµ bedeutet, so k¨nnen wir o offenbar auch setzen b bk = a fk (x, x)dx, 3 wenn unter b b fk (x, y) = a ··· a f (x, xα )f (xα , xβ ) · · · f (xλ , y)dxα · · · dxλ der “k-fach iterierte Kern” verstanden wird. Wir haben den obigen Relationen zufolge jetzt an = ± bk . Beachten wir nun, daß gewisse unter den in einem Produkt bk enthaltenen bk einander gleich werden k¨nnen, daß ferner gewisse der Produkte bk selbst o einander gleich sein werden, n¨mlich solche, die durch eine Permutation der xi a auseinander entstehen, so ergibt eine kombinatorische Betrachtung f¨r an einen u Ausdruck von der Form an = aα+bβ+cγ+...=n n! [(−1)α+1 bα ]a [(−1)β+1 bβ ]b [(−1)γ+1 bγ ]c · · · aα bβ cγ · · · a!b!c! · · · und also D(λ) = a,b,c,... 1 a!b!c! · · · λ α bα − α a λ β bβ − β b − λ γ bγ γ c ··· d. h. ∞ (2) also (2a) (2b) D(λ) = 1 e− λα bα α , log D(λ) = − D (λ) =− D(λ) λ α bα , α λα−1 bα . Den Z¨hler N (x, y; λ) der Funktion G(x, y; λ) kann man auf analoge Weise durch a die Gleichung (3) N (x, y; λ) = D(λ) · λh fh+1 (x, y) definieren. Diese Gleichungen, welche sich ubrigens schon bei Fredholm finden, ¨ sind n¨tzlich als Ausgangspunkt f¨r viele Betrachtungen, wie sich nun an einigen u u Beispielen zeigen wird. Die Fredholmsche Methode ist unmittelbar g¨ltig nur f¨r solche Kerne u u f (x, y), die endlich bleiben. Wird der Kern an gewissen Stellen unendlich, so 4 kann dennoch der Fall eintreten, daß ein iterierter Kern, etwa fn (x, y), endlich bleibt. Dann l¨ßt sich die Integralgleichung mit dem iterierten Kerne nach a Fredholm behandeln, und Fredholm zeigt, daß die urspr¨ngliche Integralu gleichung (1) sich auf diese zur¨ckf¨hren l¨ßt. Die Aufl¨sung wird wieder durch u u a o eine Formel der Gestalt (1a) gegeben, nur ist jetzt G= zu setzen, wobei Dn (λ) = D(λn | fn ) und N1 (x, y; λ) = Dn (λ) · λh fh+1 (x, y) ist. Dabei sind N1 und Dn wieder ganze transzendente Funktionen von λ; jedoch zeigt es sich, daß sie einen gemeinsamen Teiler besitzen; wir wollen zusehen, wie sich dies aus unseren Formeln (2) bis (3) ergibt und wie wir eine Bruchdarstellung der meromorphen Funktion G erhalten, bei der Nenner und Z¨hler ganze a Funktionen ohne gemeinsamen Teiler sind. Aus unserer Annahme uber die iterierten Kerne folgt, daß die Koeffizienten ¨ bn , bn+1 , . . . endlich sind. Bilden wir nun in Anlehnung an Gleichung (2a) die Reihe bn+1 bn − ··· , K(λ) = −λn − λn+1 n n+1 so wird dieselbe konvergieren. Jetzt setzen wir G(x, y; λ) = eK λh fh+1 eK N1 (x, y; λ) Dn (λ) und behaupten, in dieser Formel die gew¨nschte Darstellung zu haben. u Um dies zu beweisen, haben wir zu zeigen, daß eK und eK · λh+1 fh+1 ganze Funktionen sind. Zu diesem Zwecke bilden wir dK . Man berechnet leicht dλ b dK(λ) − = λn−1 dλ a N1 (x, x) dx + Dn (λ) k=n−1 b λ k=1 n+k−1 a N1 (x, y) fk (x, y) dx dy. Dn Hieraus schließt man zun¨chst, daß dK eine meromorphe Funktion von λ a dλ ist; denn sie besitzt h¨chstens Pole in den Nullstellen von Dn (λ), d. h. in den o Stellen λ = α ·λi wo α eine n-te Einheitswurzel und λi ein Eigenwert des Kernes fn ist. Man kann nun zeigen, daß in diesen m¨glichen Unendlichkeitsstellen das o Cauchysche Residuum von dK gleich 1 oder 0 ist, je nachdem α = 1 oder dλ α = 1 genommen wird. Die hierzu geh¨rige Rechnung wollen wir jetzt nicht o durchf¨hren; man benutzt dabei den Umstand, daß das f¨r λ = λk genommene u u 5 (x,y) o Residuum von N1Dn gleich ϕk (x)ψk (y) ist, wo ϕk , ψk , die zu λ = λk geh¨rigen Eigenfunktionen, den Gleichungen b ϕk (x)fp (y, x)dx = λ−p ϕk (y) k a b ψk (z)fp (z, y)dz = λ−p ψk (y) k a gen¨gen. Hieraus folgt, daß eK(λ) eine ganze transzendente Funktion ist, die nur u an den Stellen λ = λi verschwindet. Betrachtet man ebenso den Z¨hler von G, so sieht man zun¨chst, daß er eine a a meromorphe Funktion von λ wird, die h¨chstens an den Stellen λ = αλi uno endlich werden kann. Die Betrachtung der Residuen zeigt jedoch, daß dies nicht geschieht, und somit, daß der Z¨hler eK λh fk+1 ebenfalls eine ganze trana szendente Funktion ist. Damit ist die Reduktion des Fredholmschen Bruches geleistet. Die Reihenentwicklung f¨r Z¨hler und Nenner des Fredholmschen Bruches u a in dieser reduzierten Gestalt erhalten wir, indem wir auf die Bildungsweise von K(λ) zur¨ckgehen; setzen wir den Nenner u eK(λ) = so haben wir an = aα+bβ+cγ+···=n (−λ)n an , n! ±ba bb bc · · · , α β γ wobei zu setzen ist bα = 0 b f¨r α < n und u fα (x, x)dx f¨r α ≥ n. u bα = a In analoger Weise wird der Z¨hler gebildet. Man muß also die Determinanten in a der gew¨hnlichen Weise entwickeln, aber diejenigen Glieder dieser Entwicklung o wegwerfen, welche einen Faktor von der Form f (x1 , x2 , . . . xk ) mit weniger als n Ver¨nderlichen enthalten. a Unsere Formeln (2), (2a), (3) sind auch in dem Falle von Nutzen, daß außer dem Kern f (x, y) auch alle iterierten Kerne unendlich werden und die Fredholmsche Methode also nun sicher versagt. Seien etwa die Zahlen b1 , b2 , . . . bn−1 unendlich, bn , bn+1 , . . . endlich. Man kann dann jedenfalls die Reihe K(λ) bilden, fragen, ob sie konvergiert, und untersuchen, ob eK(λ) wieder eine ganze Funktion darstellt. Unter der Voraussetzung, daß f (x, y) ein symmetrischer Kern ist, d. h. f (x, y) = f (x, y), 6 ist mir dieser Nachweis gelungen. Ich benutze dabei die Relationen bn = λ−n , i die f¨r n > 2 gelten m¨ssen, da das Geschlecht der Funktion D(λ) einem Hau u damardschen Satze zufolge kleiner als 2 ist. Den Beweis mitzuteilen fehlt jetzt die Zeit. F¨r den Z¨hler des Fredholmschen Bruches habe ich die Betrachtung nicht u a durchgef¨hrt. u Noch einige Worte uber die Integralgleichung 1. Art! Auf gewisse derartige ¨ Integralgleichungen kann man, wenn man sie zuvor auf Integralgleichungen der 2. Art zur¨ckf¨hrt, die Fredholmsche Methode direkt anwenden. Es liege z. B. u u die Gleichung +∞ (1) −∞ ϕ(y)[eixy + λf (x, y)]dy = ψ(