Proc London Math Soc

Gt102

Description

Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
Proc. London Math. Soc. (3) 96 (2008) 107–135. Moyennes de certaines fonctions multiplicatives sur les entiers friables, 2 Guillaume Hanrot, Gerald Tenenbaum & Jie Wu Abstract. We derive new, very precise estimates for averages of arithmetic functions over friable integers from analytic information on their associated Dirichlet series. These yield significant improvements upon available results in classical cases, in particular concerning the e?ective expansion of “abstract” main terms of de Bruijn type. These results also permit new applications, linked to the solubility of polynomial equations. AMS Subject classification. 11N37, 11N25, 11M41, 11C08. Keywords. Friable integers, averages of multiplicative functions, polynomials, Dedekind zeta functions, solubility of polynomial equations. Sommaire 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Objectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• serie de dirichlet


• multiplicative functions


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Sujets

• Tannenbaum
• Série de Dirichlet
• Multiplicative function
• Function

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Extrait

Proc. London Math. Soc. (3) 96(2008) 107–135. Moyennes de certaines fonctions multiplicatives sur les entiers friables, 2 Guillaume Hanrot, G´erald Tenenbaum & Jie Wu

Abstract.We derive new, very precise estimates for averages of arithmetic functions over friable integers from analytic information on their associated Dirichlet series. These yield significant improvements upon available results in classical cases, in particular concerning the effective expansion of “abstract” main terms of de Bruijn type. These results also permit new applications, linked to the solubility of polynomial equations. AMS Subject classification.11N37, 11N25, 11M41, 11C08. Keywords.Friable integers, averages of multiplicative functions, polynomials, Dedekind zeta functions, solubility of polynomial equations. Sommaire 1Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Objectif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Notations et definitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 ´ ´ 1.3 Enonces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 ´ 1.4Descriptionsommaired’uneg´en´eralisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 2Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 2.1 Entiers repr´esentables comme somme de deux carr´es. . . . . . . . .. . . . . . . . 9 2.2R´epartitiondesvaleursdelafonctiond’Euler. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 10 2.3 Nombre de solutions de congruences polynomiales modulo les entiers friables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.4Solubilite´decongruencespolynomialesmodulo les entiers friables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 3iennctiampeppermuttoetrisqyuemdpevolaDpel´. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 13 3.1 Lemmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.2PreuveduThe´ore`me1.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20 4Approximation de Ψ f (x, y). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23 4.1 Objectif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23 4.2 Lemmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.3PreuveduTh´eor`eme1.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30 5eralis´eessaedeDedikdn´gneFctonnsioetzˆ. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 31 ´

1. Introduction 1 · 1. Objectif De´signonsparP(n) le plus grand facteur premier d’un entier natureln >1 et convenons quePpartie de cet article [20], les deux(1) = 1. Dans la premi`ere derniers auteurs ont obtenu des ´evaluations pour la fonction sommatoire (1·1) Ψ f (x, y) :=  f(n) n∈S(x,y)

2 uWeuabniJ&mraldTenenrot,G ´ elluaemaHGiu de certaines fonctions arithm´etiques multiplicatives positives ou nulles sur l’ensem- ble S(x, y) :={nx:P(n)y} des entiersy-friables n’exc´edant pasx. Alorsqueleshypoth`esesconsid´er´eesdans[20]consistentessentiellement`asup- poser que les nombresf(psruqeenedlot,)ps`ospceirltsa´dombrespreu-itedesn miers, une valeur moyenne strictement positive, il est ´egalement signal´e dans ce travail qu’une information suppl´ementaire de type prolongement analytique pour las´eriedeDirichletF(s`aa)cossee´ifrerseliofica-ignieeneio´ta’´muvdeptˆeureetplex tivementlapre´cisiondesformulesasymptotiquesobtenuespourlaquantit´e(1·1). Notonsτ κ (n) le coefficient d’indicen ´ ie de Dirichletde laζ(s) κ uo`ζnelaesigd´ ser fonctionzˆetadeRiemann.Desexemplesdelasituationfavorable´evoque´eci-dessus ont´ete´trait´es,parlame´thodeducol,dans[10]et[16]lorsqueκ= 1 et dans [14] pour toutκ >0. Dans[20](the´ore`me2.5),TenenbaumetWuontpr´ecise´,sansd´emonstration,le re´sultatobtenudanslecaso`ufest la fonction indicatrice des entier entables ´ s repr es commesommededeuxcarr´es.Lase´riedeDirichletimpliqu´eeestalorscomparable `aζ(s) 1/2 ismaon,caitrmereedesr´splempxexeaunttiusal,stnede´cef(p) n’est pas constante. Cela illustre la souplesse de la m´ethode, qui peut ˆetre adapt´ee sans alt´erationmajeureaucasd’unes´eriedeDirichletdelaforme F(s) =ζ(s) κ G(s) ou`κesnnutrbmoe´reopletisitfeG(s de Dirichlet pr´esentant de ´rie) est un e se bonnespropri´ete´sdeprolongementanalytique. Lameˆmeapprocheestpertinente,sansmodificationprofonde,pourunes´erie de Dirichlet analytiquement proche d’une fonction zˆeta de Dedekind, comme dans lere´centtravaildeScourfield[11],o`u,toutefois,lam´ethodeemploy´eenefournit pas la totalit´e les renseignements attendus. Nous verrons au paragraphe 5 que la techniquede´critedans[20]permetenfaitder´eduireleshypoth`esesconcernant F(stiue´lreu’pnorudtprochedtiquemenaeirylannu’de´se)aasucmeerettlonndie ge´ne´ralestbienapproch´eparuneexpressiondutype 1 +J( F (p))/p s ou`F∈Z[X], F (p) est le nombre des racines deFdansZ/pZetJest une fonction arbitraire deNdansR + . Parsoucideclarificationet`afinsder´ef´erenceulte´rieure,nousproposonsdans cetravailune´nonce´ge´ne´ralrecouvrantessentiellementl’ensembledescasconnus relevantdelam´ethodeducol.Notrer´esultatprincipalestleTh´eore`me1.2infra. Il englobestricto sensule cas de fonctions non multiplicatives. Cet ´enonc´e pourrait d’ailleursˆetreencoree´tenduauprixdecertainescomplicationstechniquesquenous avonspre´fere´e´viter. ´

Moyennes de certaines fonctions multiplicatives sur les entiers friables, 2 3 1 · 2. Notations et d´efinitions Nous notons (1·2)M(x;f) :=  f(n) (x0) 1nx la fonction sommatoire d’une fonction arithm´etiquef. La lettresdsi´eangnnnturbmomocexelpon,eslentmetecilipmisnossinfie´dsu nombres r´eelsσetτpars=σ+iτ. Pourβ∈]0,3/5[, nous posons L β (y) := e (logy) β (y1). Nous notonsζ K la fonction zˆeta de Dedekind d’un corps de nombresK. Pourκ >apronsn0,noesigusd´D κ lhciteeseders´sdieireDalsslcas→Z(s) repr´esentablessouslaforme (1·3)Z(s) =  ζ K j (s) κ j 1jr o`ulesK j sont des corps de nombres arbitraires et lesκ j sont des nombres r´eels non nuls tels que  κ j =κ. 1jr Nous posons alors (1·4)w Z :=  κ j [K j :Q] 1jr ou`[K j :Q]´dsegiionsendlanemediK j commeQ-espace vectoriel. Lorsqueκ∈N ∗ , ´ nous notonsD κ ∗ la sous-classe deD κ rseedsees´euititsnocZ(s) poss´edant une de´compositiondetype(1·3) dans laquelle chaqueκ j est un entier naturel positif. Ensuite, nous introduisons, pourβ >0,c >0,δ >0,β+δ <3/5, la classe E κ (β, c, δiesdeDir)dess´ercilhteF(s) convergentes pourσ >tp1esnadtnade´sso ce demi-plan d´ mposition de la forme une eco (1·5)F(s) =Z(s)G(s) `Z∈D κ etG(s) =  n1 g(n)/n s est une s´erie de Dirichlet prolongeable ou holomorphiquement au domaine (1·6)σ >1−c/{1 + log + |τ|} (1−β−δ)/(β+δ) , ou`elleve´rifielesconditions (1·7)G(1)= 0, G(s) {1 +|τ|} 1−δ .