Rapport de stage de fin de licence Stabilite d'ondes progressives d'un modele de

Description

Niveau: Supérieur, Master

• rapport de stage - matière potentielle : fin de licence

Rapport de stage de fin de licence. Stabilite d'ondes progressives d'un modele de transition de phases M.Mercier, sous la direction de J.M. Roquejoffre 11 septembre 2004 1 Intitule Le but de ce projet est l'etude d'une equation parabolique avec petits parametres intervenant dans un modele de transition de phases. Ce type de phenomenes est tres etudie en physique des materiaux : phenomenes de solidification, d'evaporation, etc. et fait toujours l'objet d'intenses efforts de modelisation. Le projet propose porte sur l'etude du modele simple de solidification suivant : dans un milieu monodimensionnel —i.e. toutes les quantites ne dependent que du temps et d'une seule coordonnee spatiale—, la proportion de la phase solide satisfait l'equation : ∂? ∂t ? ?4 ∂6? ∂x6 +A?2 ∂4? ∂x4 ? ∂2? ∂x2 = ?(?? ?)(1? ?) = f(?) ou : – ? est un parametre mesurant la predominance de la phase solide sur la phase liquide, – ? est un petit parametre correctif. Un article datant d'une dizaine d'annees de Gardner et Jones [3] etudie l'existence d'ondes progressives pour ce modele (i.e. des solutions de la forme ?(x + ct)) et leur stabilite —i.e. que se passe-t-il si l'on resout avec une donnee initiale proche d'un profil d'onde ?— Les methodes utilisees pour la premiere partie utilisent une version geometrique d'une classe de theoremes de varietes invariantes (theoremes de persistance de Fenichel

• invariant sous le flot


• transition de phase


• methodes utilisees


• u1 ?


• theoreme


• parametre mesurant la predominance de la phase solide sur la phase liquide


• limites finies en ±∞

Sujets

• Mercier
• Transition de phase
• Théorème
• rapport de stage

Informations

• Publié par: cidur
• Publié le: 01 septembre 2004
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• Langue: Français

Extrait

1

Rapport de stage de fin de licence. Stabilite´d’ondesprogressivesd’unmod`elede transition de phases

Intitul´e

M.Mercier, sous la direction de J.M. Roquejoffre

11septembre2004

Lebutdeceprojetestl’´etuded’une´equationparaboliqueavecpetitsparam`etresintervenant dansunmode`ledetransitiondephases.Cetypedephe´nom`enesesttr`es´etudie´enphysiquedes mat´eriaux:ph´enome`nesdesolidification,d’´evaporation,etc.etfaittoujoursl’objetd’intenses effortsdemod´elisation.Leprojetpropos´eportesurl’e´tudedumode`lesimpledesolidification suivant:dansunmilieumonodimensionnel—i.e.touteslesquantit´esnede´pendentquedutemps etd’uneseulecoordonne´espatiale—,laproportiondelaphasesolidesatisfaitl’e´quation:

6 4 2 ∂φ ∂ φ ∂ φ ∂ φ 4 2 −ε+Aε−=φ(φ−θ)(1−φ) =f(φ) 6 4 2 ∂t ∂x ∂x ∂x o`u: –θiqelasph,deuiecnaaledde´rnimoesidlauraspholesutpnramaseurantlap`etremes –εitepnutse`maraptorretrec.ectif Unarticledatantd’unedizained’anne´esdeGardneretJones[3]´etudiel’existenced’ondes progressivespourcemod`ele(i.e.dessolutionsdelaformeφ(x+cturstetle))e.i—euq.libae´ti sepasse-t-ilsil’onr´esoutavecunedonn´eeinitialeproched’unprofild’onde?—Lesme´thodes utilis´eespourlapremie`repartieutilisentuneversiong´eom´etriqued’uneclassedethe´ore`mesde vari´ete´sinvariantes(th´eor`emesdepersistancedeFenichel);pourladeuxie`mepartielesme´thodes utilis´eessontdesme´thodestopologiquesrelativement´elabore´es.Ilsetrouvequelad´emonstration deGardneretJonespeuteˆtretr`essimplifie´eparl’emploideme´thodesd’´equationsauxd´erive´es partielles.Leprojetconsisteradonc`a´etudiercesyst`emeavecdesme´thodesanalytiques. Onconsid`erel’´equation:   ∂φ1ε ∂ +P φ=f(φ) (1) 2 ∂t ε i ∂x ou` P n 2k P=a k X , a 1 >0, a n 6= 0 etf(x) =x(1−x)(x−θ) k=1

Lebutestded´emontrerleth´eore`me: Th´eor`eme1.1On suppose quePruelavadeuqrxuea’ntemdse´rcanise`,eelloirdasavoisleuxf ze´ro.Pourfaciliterlade´monstration,onsupposedeplusquelesracinesnon-nullesdePsont deux `adeuxdistinctes.L’e´quation(1)admetalorsununiqueprofild’ondeprogressivequideplusest stable.

1

2

Existence d’une

On sait que pourε qui tend vers 0 quand qu’il existe un unique

onde progressive

=0,l’e´quation(1)admetuneuniquesolutionsousformed’ondeprogressive x→ −∞et vers 1 quandx→+∞’e.C])[6redi`astoipnlstac(.f`rsetran,`a couple (c 0 , φ 0 ) tel que toute solution onde progressiveψsce´’evir:

ψ(x, t) =φ 0 (x−x 0 +c 0 t) Oncherchealorsunesolutionsousformed’ondeprogressivepourlesyst`emeperturb´e: φ(x, t) =φ(x+ct). On obtient, en posantξ=x+ct:   1ε d 0 cφ+P φ=f(φ) 2 ε i dξ On pose :u 1 =φ, ˙u 1 =u 2 ,u˙ 2 =u 3 ,εu˙ 3 =u 4 . . ,, . ε˙u 2n−1 =u 2n rs:L’.qu´eoita´’snirceolat

n−1 X k n cu 2 +a k (−1)u 2k+1 +a n (−1)εu˙ 2n =f(u 1 ) k=1 Soitx:= (u 3 , u 4 , . . . , u 2n ) la variable rapide ety:= (u 1 , u 2 )lneleO.etravalbaime`e:lenastsy  ε˙x=p(x, y, ε) (2) y˙ =q(x, y, ε) auquelonvoudraitappliquerleth´eor`emedevari´et´einvariantedeFenichel:

The´ore`me2.1(varie´te´invariantedeFenichel(cf.[5]))SoitM 0 -e´rctiqieuuqcirote´iraval respond`al’ensembledessolutionsdusyst`eme(2)pourε= 0. On suppose queM 0 est normalement hyperboliqueparrapportausyste`medit“rapide”:  0 x=p(x, y,0) (3) 0 y= 0

Celasignifiequelesyste`me(3)line´aris´eadmetexactement2valeurspropressurl’axeimaginaire, lavariablelentee´tantdedimension2. Alors, pourε >0´te´iraverpsisaespzetit,ilexisteuneM ε telle que : –d(M 0 , M ε ) =O(ε) –M ε etsoeomid´ff`arpheM 0 –M ε .)em2(tse`udyseflotouslsatnitsnvarei Parconse´quent,ilfauttoutd’abords’int´eresser`alavari´ete´critiqueM 0 .

Varie´t´ecritique Quandε0=ts:el,me(esy`tivne)2ed   u 4 =u 5 =∙ ∙ ∙=u 2n = 0 cu 2 −a 1 u 3 =f(u 1 )  0 00 u 1 =φ, u 2 =uφ , 3 =φ Lesvaleurspropresdusyst`eme(3)line´arise´sontcellesdelamatrice:  0 0 0. . . 0 0 0. . . 0 1 0. . . . . .0 1 M= . . .  0 0 0. . .0  n−1 −1)a −a 1 ( n−1 ∗ ∗ n+1 0. . . n+1 (−1)a n (−1)a n

2

 0 0 0 0

 1  0