Thèse de doctorat

Description

Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8

• question dans le cadre borélien


• actions ergodiques de groupes moyennables sur l'espace borélien standard de probabilité


• relation d'équivalence


• théorie de bass-serre pour les relations d'équivalence


• espace quotient

Sujets

• Vienne
• Renault
• Paulin
• Álvarez
• Zimmer
• Relation d'équivalence

Informations

• Publié par: profil-zyak-2012
• Nombre de lectures: 57
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 3 Mo

Extrait

2 Aurélien Alvarez
Ce travail de thèse a été réalisé en grande partie dans l’excellente ambiance de
l’Unité de Mathématiques Pures et Appliquées de l’École Normale Supérieure de
Lyon bien qu’ayant bénéficié d’inspirations californiennes (janvier-juillet 2006) et
viennoises (mars et juillet 2007). En effet, j’ai eu le grand plaisir d’être accueilli
pendant plusieurs mois par Sorin Popa à l’Université de Los Angeles (UCLA) où
j’ai notamment fait connaissance avec les algèbres d’opérateurs et commencé à com-
prendre le lien étroit qui unit certains facteurs de type II et les relations d’équiva-1
lence mesurées. Je remercie vivement Sorin pour son accueil chaleureux.
De nombreuses personnes ont contribué de près ou de loin à ce travail et c’est
avec une reconnaissance sincère que je voudrais remercier ici mon directeur de thèse
DamienGaboriau.Toutd’abordpoursaconfiancedèsledébutdecettethèseettout
aulongdecelle-cipuisqu’ilm’atoujourslaisséunegrandelibertédansmesrecherches
et lectures. Il n’a jamais ménagé son temps et sa patience pour m’expliquer et ré-
expliquer de nombreuses idées et démonstrations. Sa précision, sa rigueur et ses
grandes qualités humaines ont été déterminantes.
Je voudrais également remercier mes deux rapporteurs Jean Renault et Frédéric
Paulin.J’aieul’occasionderencontrerJeanàdiversesreprises,notammentàVienne
où il n’a pas hésité à répondre à toutes les questions que je me posais concernant les
groupoïdes et m’a ainsi beaucoup éclairé sur le sujet. Quant à Frédéric, je voudrais
particulièrement le remercier pour l’immense travail qu’il a fait sur une première
version de mon texte : ses remarques et commentaires ont considérablement amélioré
la qualité de ce manuscrit et je lui en suis extrêmement reconnaissant.
Je suis très heureux de pouvoir compter dans mon jury Alain Louveau que j’ai
rencontré à UCLA alors qu’il était de passage : j’ai beaucoup appris sur les relations
d’équivalenceboréliennesgrâceàsesnombreuxtravauxsurlesujet.Enfin,c’estpour
moi un immense honneur qu’Étienne Ghys ait accepté de faire partie de mon jury :
son enthousiasme pour les mathématiques est sans limite et il n’a eu de cesse de me
le faire partager durant ces années. C’est également lui qui m’a entraîné dans une
aventure exceptionnelle que fut celle de réaliser Dimensions,unfilmautourdela
projection stéréographique, des polyèdres réguliers de l’espace de dimension 4 et de
la fibration de Hopf. Je le remercie infiniment.
Enfin, je voudrais remercier ma famille et plus particulièrement mes parents et
mon frère pour leur soutien sans faille depuis le début. Sans eux, rien n’aurait été
possible.Une théorie de Bass-Serre pour les relations d’équivalence et les groupoïdes boréliens 3
L’arboretum du Parc de la Tête d’Or à LyonChapitre 1
Introduction
Soit Γ un groupe dénombrable opérant en préservant la mesure sur un espace
borélienstandarddeprobabilitéX. Cette action engendre une relation d’équivalence
mesuréeRsurX:deuxélémentsdeXsontéquivalentss’ilsappartiennentàlamême
orbite sous l’action deΓ.Voiciunequestionnaturelle:R se souvient-elle deΓ et de
l’action qui lui ont donné naissance?
L’une des premières remarques que l’on peut faire est que l’espace quotient
d’unetellerelationd’équivalenceborélienneestlaplupartdutemps«pathologique»
comme c’est déjà le cas lorsque l’on considère une rotation sur le cercle d’angle irra-
tionnel. Ces espaces quotients sont le prototype d’espaces singuliers (cf. [Con79]) et
ont fait l’objet d’une attention soutenue ces trente dernières années. Dans le cas qui
nous intéresse des relations d’équivalence mesurées de type II (c’est-à-dire à classes1
dénombrables, préservant une mesure de probabilité non atomique et ergodiques),
ce sont certaines algèbres de von Neumann (facteurs de type II,cf.[MvN36]) qui1
sontlesbriquesélémentairesdelathéoriedelamesure/intégrationnon-commutative
de l’espace quotient (cf. [Con79]). Bien entendu, les aspects topologiques (respecti-
vement différentiels ou géométriques) de ces espaces quotients ont donné naissance
àlatopologie(resp.topologiedifférentielle ou géométrie) non-commutative via les
￿C -algèbres (voir [Con90]et[Con94]pourbiend’autresexemplesetdenombreuses
discussions autour de ces idées).
LaquestiondesavoircedontsesouvientRasuscitédetrèsnombreuxtravauxces
dixdernièresannéesetestdevenueunsujetderecherchetrèsactif.Maisonpeutaussi
définirR de façon abstraite (voir [FM75], [FM77a], [FM77b]) et Feldman-Moore dé-
montre en 1977 que toute relation d’équivalence borélienne (que nous supposerons
toujours à classes dénombrables) peut être engendrée par une action de groupe. La
difficile question de savoir si l’action peut être choisie libre ou non ne sera résolue
qu’en 1999 par Furman qui démontre dans [Fur99b]l’existencederelationsd’équi-
valence mesurées de type II qui ne peuvent pas être engendrées par des actions1
libres de groupes (mentionnons également Adams qui répond à la question dans le
cadre borélien ou dans le cadre mesuré en présence d’une mesure non ergodique, cf.
[Ada88]).
Théorème 1 (Feldman-Moore, [FM77a]). Soit R une relation d’équivalence boré-
lienne sur un espace borélien standard X.AlorsilexisteungroupedénombrableΓ et
4Une théorie de Bass-Serre pour les relations d’équivalence et les groupoïdes boréliens 5
une action borélienne deΓ sur X tels queR soit la relation d’équivalence borélienne
engendrée parΓ.
De nombreuses avancées dans ce domaine ont été obtenues et c’est autour de
ce thème qu’est née la Théorie Mesurée des Groupes,souventconsidéréecommela
petite sœur de la Théorie Géométrique des Groupes qui étudie les propriétés des
groupes se reflétant dans sa géométrie à grande échelle. Il existe de nombreux liens
entre théories géométrique et mesurée des groupes et cette dernière suscite énor-
mément d’attention, à la croisée des chemins entre théorie ergodique ([Fri70]pour
uneintroduction),algèbresdevonNeumann(voir[Dix96],[Fil96],[Tak02],[Tak03a],
[Tak03b])etthéoriedescriptivedesensembles(voir[Kec95],[Kec99],[Mos80]).Pour-
tant les balbutiements de la théorie qui remontent sans doute aux travaux de Dye
en 1959-1963 (cf. [Dye59]et[Dye63]) aboutissent en 1980 à un résultat voilant toute
la richesse de la théorie.
Théorème 2 (Dye, Ornstein-Weiss, [OW80]). Toutes les actions ergodiques de
groupes moyennables sur l’espace borélien standard de probabilité non atomique sont
orbitalement équivalentes entre elles.
La relation d’équivalence mesurée ci-dessus est la relation hyperfinie ergodique
detypeII etellesembleavoirtoutoubliédugroupe(parexempleellenesesouvient1
pas si le groupe était ou non de type fini). En fait, seuls les groupes moyennables
peuventengendrercetterelationetfinalementonpeutdirequelarelationhyperfinie
ergodique de type II ne se souvient que de la moyennabilité du groupe. Que peut-1
on faire alors? Voici trois directions de recherche qui paraissent naturelles pour
contraster avec la situation des groupes moyennables :
• trouver des relations d’équivalence mesurées de type II qui se souviennent de1
tout : du groupe et de l’action;
• chercher des groupes aussi simples et familiers que possible qui admettent des
actions ergodiques non orbitalement équivalentes;
• chercher des groupes qui ne peuvent pas avoir d’actions orbitalement équiva-
lentes entre elles.
On parle souvent de « phénomènes de rigidité » pour discuter des problèmes
précédents et ce sont généralement des questions très difficiles. Donnons rapide-
ment quelques résultats illustrant chacune des directions précédentes. Tout d’abord,
la situation radicalement opposée à celle des groupes moyennables comme l’action
3linéaire de SL(3,Z)surletoreT .
Théorème 3 (Furman, [Fur99b]). Si un groupe Γauneactionlibreorbitalement
3équivalente à l’action linéaire de SL(3,Z)surT,alorsΓestvirtuellement isomorphe
àSL(3,Z)etlesactionssontvirtuellementconjuguées.
Ce résultat a ses origines dans les travaux de Zimmer (cf. [Zim80]) autour de
la super-rigidité des cocycles. Zimmer s’intéresse à des cocycles à valeurs dans des
groupes linéaires et donne des résultats de rigidité parmi ces actions de groupes li-
néaires. Furman quant à lui d