Thèse dirigée par M MIGNOTTE Maurice

Description

Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
Université Louis Pasteur de strasbourg Ecole doctorale Doctorat de  Mathématiques Par  DIOUF Ismaïla   Méthode de Dandelin?Graeffe et Méthode de Baker    Thèse dirigée par M. MIGNOTTE Maurice   Soutenue le …………………..      Jury : F. AMOROSO  (Rapporteur)  Y. BUGEAUD  (Examinateur)  V. KOMORNIK  (Rapporteur)  G.  RHIN  (Rapporteur) 

• méthode


• personnel de l'ufr de math-info et de l'irma


• système complet de géométrie


• calcul numérique au calcul formel


• généralisation aux matrices


• application du théorème de dirichlet


• calcul approché des racines

Sujets

• Eduard Heinrich Graeffe
• Louis Pasteur University
• West Germany
• Braunschweig
• Académie de Berlin
• Brussels
• Russia
• École polytechnique

Informations

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• Nombre de lectures: 118
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 9 Mo

Extrait

Université Louis Pasteur
de strasbourg
Ecole doctorale

Doctorat de 
Mathématiques

Par 
DIOUF Ismaïla
 
Méthode de Dandelin‐Graeffe et Méthode de Baker 
 
Thèse dirigée par M. MIGNOTTE Maurice
 
Soutenue le ………………….. 
 
 
Jury :
F. AMOROSO  (Rapporteur) 
Y. BUGEAUD  (Examinateur) 
V. KOMORNIK  (Rapporteur) 
G.  RHIN  (Rapporteur) 
Remerciements
L’organisation, la réalisation et l’aboutissement de cette thèse n’aurait
pu se faire sans un cadre de travail matériel et intellectuel favorable. C’est
pourquoi je tiens tout particulièrement à remercier le Professeur Maurice
MIGNOTTE, mon directeur de thèse. Il m’a beaucoup aidé, il m’a surtout
compris et a tout mis en œuvre pour la réussite de cette thèse. Je tiens aussi à
remercier très sincèrement les membres du jury, les Professeurs AMOROSO,
KOMORNIK, et RHIN d’avoir accepté d’être les rapporteurs de cette thèse.
Surtout pour leurs corrections et contributions très pertinentes. Je remercie
beaucoup le Professeur Yann BUGEAUD d’être examinateur, de sa
gentillesse et de sa disponibilité à chaque fois que je l’ai sollicité. Je sais pas
comment remercier Madame Hannie MIGNOTTE qui a été d’un grand
soutien moral, elle est d’une gentillesse sans limite. Avec son mari, ils m’ont
presque donné un second foyer. Je pouvais passer quand je voulais chez eux,
soit pour des séances de travail avec son mari, sans que ça ne la dérange,
soit pour goûter aux succulents mets qu’elle mettait à notre disposition, sans
compter les gâteaux de Noël et autres.
Je remercie tout le personnel de l’UFR de math-Info et de l’IRMA pour leur
gentillesse et disponibilité plus particulièrement à Madame BORELL que je
ne cesserai de remercier. Elle m’a montré une grande gentillesse et une
courtoisie exceptionnelle.
Je remercie aussi le Professeur Mamadou SANGHARE de l’UCAD de
DAKAR, pour m’avoir permis d’obtenir une bourse pour terminer cette thèse.
Il n’a cessé de m’encourager et d’être disponible. Je remercie aussi les autres
collègues de DAKAR, notamment Babacar DIAKHATE, Omar DIANKHA
et Abdoul WATT.
Pour finir je tiens à remercier tous mes amis qui m’ont aidé et soutenu,
vraiment je les remercie tous : plus particulièrement, FOALENG Tela, DIOKHE
Saer et toute ma famille qui est loin, certes, mais qui n’a jamais cessé de
m’encourager et de me comprendre.
Dieureudieuf!
1Table des matières
1 Introduction 5
1.1 Problématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 La méthode de dandelin-graeffe . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Application du Théorème de Dirichlet . . . . . . . . . . . . 6
1.4 La méthode de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Lade de Baker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.6 Généralisation aux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Généralités 10
2.1 Fonctions symétriques élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Inverse de la matrice de Vandermonde . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Notions de “taille” d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 Algèbre linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Méthode de graeffe 16
3.1 Méthode classique k =2 (cas deG ) . . . . . . . . . . . . . . . 162
3.2 Généralisation de la méthode de graeffe . . . . . . . . . . . 19
3.2.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3.1 Sous maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4 Calcul approché des racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4 Questions de convergence 28
4.1 Applications : Cas des polynômes dégénérés . . . . . . . . . . 34
4.1.1 Terminologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.1.2 Recherche d’un facteur cyclotomique . . . . . . . . . . 34
4.1.3 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.1.4 Expériences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5 La méthode de Dandelin-graeffe par E. Durand 39
k5.1 Formation de l’équation aux puissances m=2 des racines . . 39
5.2 Lorsque les racines sont toutes réelles . . . . . . . . . . . . . . 41
5.3 Exemples : Calcul numérique versus calcul formel . . . . . . . 51
6 La méthode de Bernoulli 56
6.1 Une seule racine dominante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.2 Amélioration de la vitesse de convergence . . . . . . . . . . . . 60
6.3 Cas de racines multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.4 Choix des valeurs initiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
26.5 Deux racines complexes conjuguées dominantes . . . . . . . . 68
6.6 Solution du Problème 2 par M. Mignotte . . . . . . . . . . 72
6.6.1 Calcul dejz j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721
7 Utilisation de la méthode de baker 75
7.1 Notation et définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.2 Application de la méthode de baker . . . . . . . . . . . . . . 76
7.2.1 Minoration du terme général . . . . . . . . . . . . . . . 76
7.2.2 Conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
8 Valeurs propres d’une matrice 81
8.1 Définitions et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
8.2 Itération d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
8.2.1 Multiplication itérée d’un vecteur arbitraire par la
matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
8.3 Elimination d’une valeur propre par déflation . . . . . . . . . 88
8.3.1 Méthode de Hotlelling . . . . . . . . . . . . . . . . 88
8.3.2de de Wielandt . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
8.4 Analogie avec la méthode de Bernoulli . . . . . . . . . . . . 95
8.5 Calcul en chaîne des vecteurs X et valeurs propres ‚ . . . . . 97i i
8.5.1 Matrices symétriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
8.5.2 non symétriques à valeurs propres réelles . . . 98
8.6 Itération d’un vecteur complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3Historique
La méthode de Dandelin-graeffe est une méthode itérative de
recherche des racines des polynômes en une seule variable. Cette méthode a
été exposée par Dandelin en 1826. Né au Bourget le 12 Avril 1794,
Germinal Pierre D étudia à Gand et, en 1813, il entra à l’Ecole
Polytechnique de Paris. Notons que ses premiers intérêts allèrent à la
géométrie. Il découvrit en 1822 un théorème important relatif aux sections d’un
cône par un plan et aux sphères inscrites. Ce théorème montre qu’une section
plane est une conique dont les foyers sont les points de contact des sphères
inscrites. En 1826, il généralisa son théorème à un hyperboloïde de
révolution, en montrant les relations entre les théorèmes de Pascal, Brianchon et
l’hexagone formé par les génératrices de l’hyperboloïde. Il travailla également
sur la projection stéréographique d’une sphère sur un plan (1827), dans le
domaine des probabilités et dans l’algèbre. Il est mort à Bruxelles le 15
Février 1847.
IndépendammentdeDandelin,en1834,Nikolai Ivanovich
Lobaerchevsky découvrit cette méthode de recherche des racines. Né le 1
Décembre 1792, il fut l’un des fondateurs de la géométrie non-euclidienne (on
1peut également citerJanos Bolyai ) et en particulier le père de la
géométrie hyperbolique qui constitue l’une des plus belles théories de la géométrie.
Il mourut le 24 Février 1856 à Kazan en Russie.
C’estKarl Gräffe (ou Karl Graeffe pour certains), né le 7 Novembre
1799 à Brunswick en Allemagne qui, après ces deux hommes, a dévéloppé
ieme?cette méthode pour en faire l’une des méthodes les plus populaires aux 19
ieme?et 20 siècles. Et ceci, dans le but de répondre à la question du "Prix de
l’Académie de Berlin". Il mourut le 2 Décembre 1873 à Zurich en Suisse.
1–