Concours de Mathématiques de niveau Terminale

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Avec correction. Concours geipi 2011- eni - polytech
Concours en Mathématiques (2011) pour Terminale S, GEIPI

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• Langue: Français

Extrait

Lesujetcomporte8pagesnum´erote´esde2a`9 Ilfautchoisiretre´aliserseulementtroisdesquatreexercicespropos´es

EXERCICE I Donnerlesre´ponsesa`cetexercicedanslecadrepr´evua`lapage3

Onseplacedansleplancomplexerapport´eaurep`ere(O;u,~v~)rid,e´mronohtrot.ec Soient les pointsAetB:d’affixes respectives z A = 1z B = 3−2i Pour tout complexez, on pose : ′ z=iz+ 1−i ′ ′ Onconside`relafonctionFuqtouti,`atpoinMd’affixez, associe le pointMd’affixez.

I1

I2

2a

2b

2c

2d

I3

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I5

5a

5b

5c

5d

I6

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PlacerAetBurs.cecirexe’lederusema`aaufuretmpl`etereu’lnoocalgfiruqe

Danscettequestion,onconside`reunpointMeren,diff´tdeA, donc d’affixez6= 1. ′ z−1 De´terminerlecomplexeZ=. z−1 D´eterminerlemodule|Z|et un argumentarg(Z)deZ. −−→ −−→ ′ ′ ExprimerAMen fonction deAMD.e´glel’aninerterm(AM , AM).

End´eduirela caract´eristiques.

nature

de

la

fonction

F.

On

pre´cisera

tous

ses

e´le´ments

′ ′ D´eterminerlesaffixesz A etz B des imagesAetBparFdes pointsAetB. ′ ′ ′ SoitCle point dont l’image par la fonctionFest le pointCd’affixez C =−3−3i. ′ De´terminerl’affixez C du pointC. Justifier le calcul. ′ ′ Dessiner les trianglesABCetACBsur la figure deI1.

′ Onde´signeparIle milieu du segment[BC].

′ D´eterminerl’affixez I du pointI. Dans le triangleABCane´te,dirlamraceDissue deA. −→ −−→ ′ De´terminerlesaffixesdesvecteursAIetCB.

′ D´eterminerlapositionrelativedesdroites(AI)et(CB)itefijnsu´rpearal.onse.O

′ Querepre´senteladroiteDpour le triangleACB?

′ ′ On noteDl’image de la droite(AI)par la fonctionFmrnireD.e´etDet tracer ′ Dsur la figure deI1.

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I1

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I2b

I2c

I2d

I3

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I5a

I5b

I5c

I5d

I6

REPONSES A L’EXERCICE I

′ C

C

v~

O

I

~u

D

′ A=A

′ B

′ D

B

iz−i Z= =i z−1 π |Z|= 1arg(Z) =modulo2π 2 −−→ −−→ π ′ ′ AM=AM(AM , AM) = 2 π Frotation de centreest une Aet d’angle 2

z A = 1 =z A ′

z C =−2 + 4i i z C =−4−2i

car ⇔

z B = 3 + 2i ′

z C =i z C + 1−i=−3−3i ′ z C =−i(−4−2i) =−2 + 4i

z B +z C 5 ′ z I = =−i 2 2 −→ 5 −−→ ′ affixe deAI:z I −z A =−1−iaffixe deCB:z B −z C = 5−2i ′ 2   −→ 5 ′ Les droites(AI)et(CB)sont perpendiculaires car les vecteursAI−1 ;− 2 −−→ −→ −−→ −→ −−→ ′ ′ ′ etCB(5 ;−2)ntrifiev´eAI . CB=−5 + 5 = 0doncAI⊥CB

′ Dest la hauteur issue deAdu triangleACB.

′ Dest la droite passant parArdaletioialua`erpeericndtpe(AI).

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EXERCICE II Donnerlesre´ponses`acetexercicedanslecadrepr´evu`alapage5

Onconside`relafonctionfiefinou,p´edleuotre´rtx, par

:

2x x f(x) =e−4e+ 3

SoitCnttaenespe´rbrrecauolfnrsuandere`pe(O;ı~ , ~)oohtrmron.e´

II1a

1b

1c

II2a

2b

2c

2d

II3

II4

II5

II6a

6b

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D´eterminerlimf(x)rlar´eponse.J.suitefi x→+∞ De´terminerlimf(x).Jrlfietiusopsnrae´.e x→−∞ Onende´duitqueCadmet, au voisinage de−∞, une asymptoteΔdont on donnera unee´quation.

′ ′ fedee´vir´eadelgnsi´edfrete´D.rminef(x).

Pourtoutre´elx,

′ f(x)´’cesuolsirstme:afor

Donner l’expression deg(x).

Dresser le tableau de variation de la fonctionf.

′x f(x) =g(x) (e−2).

fointmaupnimupesr´teenmiunM(x M , y M ). De´terminerlescoordonne´es(x M , y M )deMlculdellerlecaiate´D.y M .

Une des deux courbesC 1 etC 2 ontincse´rpereofaletneesdalrurugfi´nissseef. Laquelle?Justifiervotrere´ponse.

D´eterminerunee´quationdelatangenteT 0 `lacauobreCau point d’abscisse0. TracerT 0 sur la figure deII3.

La courbeCcoupe l’asymptoteΔen un pointE.

D´eterminerlescoordonne´es(x E , y E )du pointEseaccllu.astliellr.D´e Z ln(4) SoitJ’lrape:led´efiniint´egraJ= (3−f(x))dx. 0 Calculer la valeur deJen justifiant le calcul.

Sur la figure deII3, placer le pointEet hachurer la partie du plan dont l’aire, exprime´eenunite´sd’aire,vautJ.

GEIPIPOLYTECHENIT 2011 MATHEMATIQUES

II1a

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II1c

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II2c

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II6a

II6b

REPONSES A L’EXERCICE II

x x limf(x+) = ∞carf(x) =e(e−4) + 3 x→+∞ x etlime= +∞ x→+∞ 2x x limf(x3) = carlime= 0etlime= 0 x→−∞x→−∞x→−∞

Δ :y= 3

′2x xx x f(x) = 2e−4e= 2e(e−2)

x ′ f(x)

f(x)

−∞

3

x M = ln 2

T 0

C 1

:y=−2x

−

ln 2 0

−1

II2b

+

+∞

+∞

x g(x) = 2e

ln 2 2 ln 2 y M =f(ln 2) = (e)−4e+ 3 = 4−8 + 3 =−1

T 0

~ j

O

~ i

E

C 2

C=C 1

car

le minimum est−1

et non−2

x E 4= ln y E = 3car 2xx x x x f(x E ) = 3⇔e−4e+ 3 = 3⇔e(e−4) = 0⇔e= 4⇔x= ln 4

9 J= 2

D’ou`

Z Z ln 4 ln 4 2x x carJ= (3−f(x))dx = (−e+ 4e)dx 0 0   ln 4 1 1 9 2x x J=−e+ 4e=−8 + 16 +−4 = 2 2 2 0

Utiliser la figure deII3.

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EXERCICE III Donnerlesre´ponsesa`cetexercicedanslecadrepre´vua`lapage7

Unfabricantdejouetsvendunmod`eledepoupe´equi”parleetmarche”grˆace`aunm´ecanisme ´electronique. Onappelle“dure´edevie”d’unepoup´eeletempspendantlequelleme´canismefonctionnecor rectementavantlapremi`erede´faillance. Lavariableale´atoireTes´ennnaouepund’sirpee´puae,rper´esentantladur´edeveeixerpmie´ee 1 hasarddanslaproduction,suituneloiexponentielledeparam`etre. 3 Laprobabilite´P(T≤t)e´fnitiosee´puop`areeuriuqleeviedelaadur´eedtes´ennaolsrseat donne´epar: 1 − t P(T≤t) = 1−e 3 Danscetexercice,pourchaqueprobabilite´demande´e,ondonnerasavaleur exactepuis une −4 valeurapproche´e`a10pr`es.

III1a 1b

III2

2a 2b

III3

3a 3b

III4

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4a

4b

4c

4d

De´terminerlaprobabilite´peenefoncunepoup´q’ue.´eund’nneauasutuobnoitlpen Exprimer, en fonction detbabiapro,le´tilP(T > t)uctaeaiunn’eep´ouepnu’uq d´efaillancependantta.see´nn J’aiachet´eunepoup´ee.OnnoteAuned´efaillancel’v´´eement:enpal“´puo’neecuaa pendantuneanne´e”etBnaeciall´dfeucenantpendtnemene´ve´’lau’aen´euppola:“ trois ans”. De´terminerlesprobabilite´sP(A)etP(B)sed´sve´enementAetB. Sachantquelapoupe´efonctionneparfaitementauboutd’unan,quelleestlapro babilit´eP A (B)buaedtuoortenasionefiocteennorncqeualoppue´reeltsfii?suJ calcul. Lefabricantgarantitlespoupe´espendantunanets’engagea`rembourserlespoupe´es de´fectueuses. −2 Donnerunevaleurapproch´ee`a10pudscruoe`rppoup´eesentagedee´se.erbmuosr Quelledur´eedegarantiemaximalet 0 devrait proposer le fabricant pour qu’il ne rembourse pas plus de8%´peevsneudse?deousp Calculerlavaleurexacte,exprime´eenann´ees,det 0 el´rfiireat.tselustJu. Donnerunevaleurapproch´ee,exprime´eenmois,det 0 . Uncommerc¸antache`teunlotdetroispoup´eesetlefabricantoffre,pourchaque poupe´e,unegarantied’uneanne´e. SoitXariableal´eatoirlvambnodereuppoes´eperese´ratneeltneuosrerbmuscre´se lot. Exprimer, en fonction depniefin´edIII1a´eitilab,obprlaP(X= 3)que les trois poupe´esnefonctionnentplusauboutd’unan. Exprimer, en fonction depbilit´e,laprobaP(X= 1)siortsedsee´puopnuseueelq’u ne fonctionne plus au bout d’un an. Compl´eterletableaudonnantlaloideprobabilit´edeX.eLpsorabibil´tesseront exprim´eesenfonctiondep. Derterminer, en fonction depe´htamecnare´psel’,matiqueE(X)de la variableX.

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